Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten 1

Transkript

1 Linköpings universitet tekniska högskolan IEI/mekanik Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten Torsdagen den 9 april 205, klockan 4 9 Kursadministratör Anna Wahlund, anna.wahlund@liu.se, Examinator Joakim Holmberg Tentamensjour Joakim Holmberg, joakim.holmberg@liu.se, Besöker salen 5:30 Antal uppgifter 5 stycken uppgifter, där varje uppgift ger maximalt 3 poäng Antal sidor 7 stycken (inklusive försättsblad) Hjälpmedel Formelblad (medföljer tentamenstesen) samt räknedosa Betygsgränser Summa poäng Betyg 0 5 UK Svar Anslås på kurshemsidan efter skrivtidens slut

2 Tentamen i Mekanik f.k. (TMMI39) Stången OA, vars massa kan försummas, påverkas av kraften 80k N i punkten A på grund av blomkrukan. Stången hålls i läge av linorna AB och AC. I punkten O sitter stången fast i en kulled, som kan ta upp krafter i alla tre axelriktningar. Bestäm storleken på kraften i linorna AB och AC. (3p) 2 I det läge som figuren visar är vinkelhastigheten för länken AB 2 rad/s medurs. Bestäm vinkelhastigheterna ω BC och ω CD till storlek och riktning. (3p)

3 3 En bakhjulsdriven sportbil accelererar med konstant acceleration från 0 till 00 km/h. Bilens bakaxel påverkar vardera bakhjulet med en vertikal kraft, en horisontell kraft och ett moment (se figuren som visar ett av hjulen). Gravitationen påverkar hjulen med g = 9.8 m/s 2 vertikalt nedåt. Varje hjul har massan m = 20 kg, masströghetsmomentet I G =.3 kgm 2 och diametern 0.6 m. Gör en komplett friläggning av hjulet på bilden. (p) Bestäm den minsta statiska friktionskoefficienten som krävs för att hjulen ska rulla utan glidning. (p) Åt vilket håll rullar bilen? Varför? (p) 4 Den vertikala axeln med fastsatt klyka roterar kring z-axeln med den konstanta vinkelhastigheten Ω. Samtidigt roterar stången B kring sin egen axel OA med den konstanta vinkelhastigheten ω 0 och vinkeln γ ökar konstant med γ. Koordinatsystemet xyz sitter fast i klykan med origo i punkten O. Bestäm både vinkelhastighetsvektorn ω och vinkelaccelerationsvektorn α för stången B. (3p)

4 5 En masslös axel roterar fritt i sina lagringar vid A och B. Lagret vid A kan endast ta upp krafter i x- och y-led. Lagret vid B kan ta upp krafter i x-, y- och z-led. En tunn triangulär platta med massan m är svetsad på axeln. Beräkna reaktionskraften vid A precis då plattan släpps. (3p) punkt.

5 Formelblad TMMI39 Beteckningar: A, B: godtyckliga punkter P: fix punkt i rummet O: fix punkt i kroppen och i rummet G: masscentrum V : godtycklig vektor d v : vinkelräta avståndet mellan A och v G d a : vinkelräta avståndet mellan A och a G I G G : masströghetsmoment m.a.p. axeln G G genom masscentrum I D D : masströghetsmoment m.a.p. axeln D D parallell med axeln G G d: vinkelräta avståndet mellan axlarna G G och D D Kinematik Naturliga komponenter: v = ṡe t = ρ βe t, Polära koordinater: v = ṙe r +r θe θ, a = a = ṡ2 ρ e n + se t ( r r θ 2) ( ) e r + r θ +2ṙ θ e θ Derivering i roterande koordinatsystem (xyz) ( ) ( ) V dv dv = +Ω V dt dt /XYZ /xyz där Ω är vinkelhastigheten hos xyz relativt XYZ Hastighet och accelerationssamband: Låt A och B vara fixa punkter i en stel kropp. Då gäller Kinetik v B = v A +ω AB a B = a A +ω ( ω AB ) + ω AB Kraft- och momentlagar ΣF = Ġ = ma G ΣM G = H G, Momentlagar (2D) ΣM P = H P, ΣM A = H G +AG ma G ΣM G = I G α, ΣM O = I O α, ΣM A = I G α±ma G d a Förflyttningssatser H B = H A +BA mv G ΣM B = ΣM A +BA ΣF Rörelsemängdsmoment H G = I G ω, H O = I O ω H A = I G ω ±mv G d v (2D)

6 Arbete och energi Energibalans T +V g +V e +U 2 = T 2 +V g2 +V e2 där En kraft F resp. ett kraftparsmoment C utför arbetet U 2 = U 2 = Plan rörelse F dr resp. U 2 = F dr resp. U 2 = C ωdt Cdθ (2D) T = 2 mv2 G + 2 I Gω 2 T = 2 I Oω 2 Tredimensionell rörelse T = 2 mv G v G + 2 ω H G T = 2 ω H O Impuls och impulsmoment G + t2 H P + t2 t ΣFdt = G 2, G = mv G t2 ΣM P dt = H, H + P ΣM 2 G G dt = H G 2 t t Tröghetssamband I xx I xy I xz I = I xy I yy I yz I xz I yz I zz (y I xx = 2 +z 2) dm, I xy = xydm d 2 2 y +d z d x d y d x d z I A = I G +m d x d y d 2 2 x +d z d y d z d x d z d y d z d 2 2 x +d y där d x d y d z = GA (eller AG) I D D = I G G +md 2, I Dxy = I G xy +md x d y Algebra a (b c) = b (c a) a (b c) = b(a c) c(a b) a b = a b sinϕ

7 Å ØÖ Ø ÑÓÑ ÒØ Ö ÙÐÖØ Ö Ö ËØÒ I Gxx =0, I Gyy = I Gzz = ml2 2 I Gxx = I Gzz = m 2 (6r2 + h 2 ), I Gyy = mr 2 Ë Ö Ø ÐÓØ Ö Ð Ú I Gxx = I Gyy = mr2 4, I Gzz = mr2 2 I Gxx = I Gyy = I Gzz = 2 5 mr2 Ë Ö Ø Ð Ê Ò I Gxx = I Gyy = mr2 2, I Gzz = mr 2 I Gxx = I Gyy = I Gzz = 2 3 mr2 Ö ÙÐÖ ÝÐ Ò Ö Ê Ø Ò ÙÐÖØ ÐÓ I Gxx = I Gzz = m 2 (3r2 + h 2 ), I Gyy = mr2 2 I Gxx = m 2 (b2 + c 2 ), I Gyy = m 2 (a2 + c 2 ), I Gzz = m 2 (a2 + b 2 )