Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.

Transkript

1 Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, , kl 8 3 5B9, Vektoranalys, för Open Uppgifterna 4 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga examinationen Av dessa uppgifter skall man bara lösa dem som svarar mot moment man inte blivit godkänd på under kursens gång Bedömning här är Godkänd/Underkänd Uppgifterna 6 poängsätts med maximalt 4 poäng per uppgift Betygsgränser: A och 5: godkänt på alla momenten 5 och 4 2 poäng på uppgifterna 6 B och 4: godkänt på alla momenten 5 och 3 poäng på uppgifterna 6 C och 4: godkänt på alla momenten 5 och 8 poäng på uppgifterna 6 och 3: godkänt på alla momenten 5 och 5 7 poäng på uppgifterna 6 E och 3: godkänt på alla momenten 5 och 3 4 poäng på uppgifterna 6 F och U: underkänt amtliga behandlade uppgifter skall förses med utförliga lösningar och motiveringar Inga hjälpmedel är tillåtna kriv program och grupp tydligt på omslaget Lycka till! 4 Beräkna linjeintegralen xy 2 + 2y dx + 2x2 y + 3x dy Γ där Γ är randen av kvadraten x, y genomlöpt i positiv led 5 Låt f(x,y,z) = x 2 z + 2y och F = (3x + z 2, 2x + y, yz) Avgör vilka av följande uttryck som har mening och beräkna dem i förekommande fall: a div grad f c grad rot F b rot grad f d div rot F Vgvänd

2 OBERVERA u får välja om du vill räkna: uppgift 6 eller uppgift 6A uppgift 8 eller uppgift 8A uppgift 9 eller uppgift 9A essutom räknar du uppgifterna 7 och 6 Beräkna volymen av den ändliga kroppen som begränsas av ytorna z = 8 x 2 + y 2 och z = x 2 + 3y 2 7 Beräkna flödesintegralen (4y, 3x, z + x 2 ) nˆ d där är den del av ytan z = 3x 2 + 4y 2 där x 2 + y 2 Enhetsnormalen nˆ har positiv z komponent 8 Bestäm konstanterna a och b så att fältet F = (axy + 3yz, x 2 + 3xz + by 2 z, bxy + y 3 ) är konservativt Bestäm för dessa värden på a och b en potential till F 9 Undersök konvergensen av den generaliserade dubbelintegralen då ges av x, y, x + y 4x + y (x 2 + 4y 2 ) dxdy 2 En tunn platta som ges av z =, x 2 + y 2 har masstätheten + x 2 + y 2 per ytenhet i varje punkt (x,y,z) på plattan Bestäm plattans totala massa ALTERNATIVA uppgifter 6A, 8A och 9A 6A Bestäm största och minsta värdet av funktionen f(x,y) = 6x + 2y på den slutna ellipsskivan 3x 2 + y 2 6 8A Visa att funktionen f(x,y) given av u = 2x + sin y f : v = sin x + y + är lokalt inverterbar i varje punkt (x,y) Bestäm inversens Jacobimatris svarande mot punkten (x,y,u,v) = (,,,) Ange de partiella derivatorna x och y i denna punkt u v 9A Undersök om det finns något tal a sådant att x 2 + 4xy + ay 2 + 2x y = är ekvationen för en parabel Lösningsförslag kommer att finnas på

3 Lösningsförslag till tentamen i 5B9 för Open, den Låt Vi har P = xy2 + 2y och Q = 2x2 y + 3x P ý = x2 y 2 + 2xy + 2 och () 2 Q x = 2x2 y 2 + 4xy + 3 () 2 Låt beteckna kvadraten x, y Enligt Greens formel får man P dx + Q dy = (Q x P ý ) dxdy = dxdy = arean av = Γ var: 5 a grad f = f = (2xz, 2, x 2 ) och div grad f = grad f = 2z b grad f = f = (2xz, 2, x 2 ) rot grad f = grad f = (,,) (vilket inträffar för alla f) c rot F är en vektor, grad är ej definierad för en vektor, alltså grad rot F ej definierad d rot F = F = (z, 2z, 2) div rot F = rot F = (vilket inträffar för alla F) var: div grad f = 2z, rot grad f = (,,), grad rot F ej definierad, div rot F = 6 Ytorna skär varandra längs kurvan z = 8 x 2 + y 2 z = x 2 + 3y 2 Kurvans projektion i xy-planet fås genom att eliminera z ur ekvationssystemet vilket ger x 2 + 3y 2 = 8 x 2 + y 2, dvs en cirkel med ekvationen x 2 + y 2 = 4 Om betecknar området inom cirkeln, får vi V = (8 x 2 + y 2 x 2 3y 2 ) dxdy = 2 (4 x 2 y 2 ) dxdy = = { polära koordinater, övergår på G: r 2, v } = = 2 G 2 (4 r 2 )r drdv = 2 2 (4r r 2 ) dr dv = 4π (4r r 2 ) dr = 6π 7 Låt beteckna cirkelskivan x 2 + y 2 Vi har nˆ d = ±( z x, z ý, ) dxdy = { nˆ har positiv z komponent } = ( 6x, 8y, ) dxdy och = (4y, 3x, z + x 2 ) nˆ d = (z + x 2 ) dxdy = (4y, 3x, z + x 2 ) ( 6x, 8y, ) dxdy = (4x 2 + 4y 2 ) dxdy = = { substitution: x = r cos v, y = r sin v, övergår på G: r, v } = = 4r 3 drdv = dv var: 6π 4r 3 dr = var:

4 9 Konvergensegenskaperna ändras inte om man istället integrerar över området x 2 + 4y 2 4, x, y ubstitutionen x = 2r cos v, y = r sin v överför detta område på G: r, v Funktionaldeterminanten för substitutionen är det d(x,y) = 2r varför den givna dubbelintegralen har samma konvergensegenskaper som d(r,v) dubbelintegralen G 8r cos v + r sin v 6r 4 = [ 2 8 3r 3/2 ] dvs en konvergrent dubbelintegral 2r drdv = 8 8 cos v + sin v dv = 2 r dr 5/2 8 cos v + sin v dv = 8 cos v + sin v dv var: Konvergrent Vi parametriserar ytan,, genom r(x,y) = (x, y, z) där z = Plattans totala massa är + x 2 + y 2 dσ Vi har dσ = r x r ý = + (z x) 2 + (z ý ) 2 dxdy = + x 2 + y 2 dxdy alltså massan är ( + x 2 + y 2 ) dxdy där är cirkelskivan x 2 + y 2 Polär substitu- tion ger dv r( + r 2 ) dr = 3π 2 var: 3π 2 6A Eftersom f(x,y) = 6x + 2y är kontinuerlig och den tillåtna mängden 3x 2 + y 2 6 är sluten och begränsad så antar f både ett största och ett minsta värde i mängden etta sker antingen i en inre kritisk punkt eller i en kritisk punkt på randen eller i en singulär punkt Inre kritiska punkter fås ur ekvationesystemet f x =, f ý = Här är f x = 6 alltså det finns inga inre kritiska punkter Kritiska punkter på randen g(x,y) = 3x 2 + y 2 6 = kan fås med hjälp av Lagranges metod dvs genom att lösa ekvationssystemet grad f = t grad g under bivillkoret g(x,y) = : f x = t g x f ý = t g ý g = dvs 6 = 6tx 2 = 2ty 3x 2 + y 2 6 = Ur den första och den andra ekvationen fås x = y vilket, insatt i den tredje ekvationen, ger x = ±2, dvs man får punkterna (2,2) och ( 2, 2) Några singulära punkter finns inte ammanfattningsvis får vi två kritiska punkter (2,2) och ( 2, 2) I dessa punkter antar f värdena 6 och 6 var: törsta värdet = 6, minsta värdet = 6 8A Vi har J f = u x u ý = 2 cos y v x v ý cos x och det J f = 2 cos x cos y för alla (x,y) vilket medför att funktionen f är lokalt inverterbar i en godtycklig punkt (x,y) Jacobimatrisen för den inversa funktionen f ges av

5 J f- = x ú x v = u x u ý y ú y v v x v ý = 2 cos y cos x = { i punkten (x,y,u,v) = (,,,) } = 2 peciellt ser vi att x ú (,) = och y v(,) = 2 = = 2 var: x ú (,) =, y v(,) = 2, J f - = 2 9A en kvadratiska delen x 2 + 4xy + ay 2 beskrivs av matrisen A = 2 Om den givna 2 a ekvationen skall vara en ekvation för en parabel så måste ett av egenvärdena till matrisen A vara lika med noll Egenvärdena fås ur ekvationen det(a λe) = : λ 2 = ( λ)(a λ) 4 = 2 a λ För λ = får vi a = 4, vilket alltså är det enda tänkbara värdet för vilket den givna ekvationen beskriver en parabel en karakteristiska ekvationen är då ( λ)(4 λ) 4 = och man får rötterna och 5 Egenvektorerna bestäms ur ekvationen (A λe)v =, v För λ = 5 får vi b c = 2b c = En motsvarande egenvektor är v = Egenvektorerna till det andra egenvärdet λ = är 2 vinkelräta mot v och en egenvektor är därför v 2 = 2 e båda valda egenvektorerna har längden 5 Koordinatbytet med transformationen x = 5 u 2 v 5 y = 2 u + v 5 5 ger ekvationen 5u 2 5v = v = 5u 2, alltså en parabel var: Parabeln a = 4