( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

Transkript

1 KTH matematik Tentamen i SF66 Flervariabelanalys den 7 juni kl 8.3. Tillåtet hjälpmedel: Endast Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga motiveringar krävs för att undvika poängavdrag. Uppgifterna poängsätts med fyra poäng vardera. Uppgifterna 3 svarar mot kontinuerliga examinationsmoment i kursen på det sätt som framgår av kurspm. en som är godkänd på ett sådant moment har automatiskt 3 poäng på motsvarande uppgift som då inte behöver lösas. För högre betyg krävs att man samlar en del poäng på uppgifterna 7 s k VGpoäng. Preliminära betygsgränser: A: 3 poäng varav minst VGpoäng B:6 poäng varav minst 7 VGpoäng C: poäng varv minst 3 VGpoäng : 8 poäng E: 6 poäng FX: poäng. + x + y i lämpliga enheter där z är höjden. Om du befinner dig i punkten ) i vilken riktning i xy planet kan du gå brantast nedåt.. En kulle beskrivs approximativt av funktionen z f x y). Låt T vara det triangulära området med hörn i punkterna ) låt vara den positivt orienterade randen av T. Beräkna kurvintegralen I x + y )dx+ x + ) dy. 3. Är punkten ) ett lokalt maximum till f x y) x + y + xy?. Beräkna Taylorpolynomet av andra graden till funktionen f x y ) och ) och ) x + y + cos x + y) omkring punkten ) och använd sedan detta ). polynom för att beräkna ett approximativt värde av funktionen f i punkten.. 5. Låt området { x y z) : x + y z } det vill säga en kon med spets i origo som begränsas av planen z och z. Beräkna z dz. 6. Beräkna arean av den del av konen z + 3 x + y över triangeln med hörnen i punkterna ) ) och ). Var god vänd

2 7. Betrakta funktionen f xy) x + y och ellipsen x + y 6. a) Förklara ange en sats) varför man i förväg kan påstå att f antar ett största och ett minsta värde på ellipsen. b) Bestäm dessa värden. 8. Låt f vara en två gånger kontinuerligt deriverbar funktion av en reell variabel. Sätt z z x y ) f x + y differentialekvationen ). Bestäm de funktioner f som uppfyller den partiella z x x z xy + x + y)z. 9. Bestäm volymen av kroppen som definieras av olikheten e x + y z e x + y.. Finns det någon kurvan C som går genom f x y) x x y ) x + y ) har ett positivt gränsvärde då x y ) ) längs C? ) sådan att funktionen Lycka till

3 Lösningsförslag till SF66 den 7 juni. u skall gå i riktning som ges av gradf ). 8x gradf x y) + x + y ) 6y. varför gradf + x + y ) svar.. P x + y Q x + Q x P y. Så Greens sats ger att y x I y) y) dy dx y y y x y T x y x x )dx x x Svar: I x + y )dx+ x + ) 3. f x y dy 6. ) x + y + har derivatan xy f x y ) ). uppfyller f Andra derivatans test med Hesses matris f f 8 8 x f x y) xy x 3 y x y 3 och f f 8 yx y x y 3 xy f ) 3 / A B B C. Eftersom principalminorerna A och det f ) om ett lokalt minimum och inte ett lokalt maximum. Svar: Nej. Taylorpolynom av grad kring origo. p x y) f ) + x f x ) + y f y ) + f x + x + y x xy y. Ett approximativt värde av f i punkten.. ) ) gradf x y ) x y 8 xy 3 som ) är strängt positiva är det fråga ) + xy f x ) + f ) y xy ) ) p..) +.) +.).).).).).5 ).5. f.. Svar f.. 5. Projektionen av kroppen på xyplanet ges av x + y. y

4 M ) z dz z dz z x +y x +y ) z x +y ) x +y * x * y ) x +y ) Nu används polära koordinater x y + * dxdy ) x // +y xrcos + * 3 dxdyrdrd * yrsin. )* 3 5 r / / rdrd 5 / rr3 )dr 5 r r + * ) ) 6. Arean ges av + z x ) + z y dxdy. z + 3 x + y z x 3x x + y z y ) 5 3y x + y z x ) + z y ) 9 etta ger att + z x ) + z y dxdy + 9 arean av triangel ). Svar : a.e 7a. Ellipsen är en kompakt mängd och funktionen är kontinuerlig på denna detta implicera att funktionen f antar ett största och ett minsta värde på ellipsen. 7b. Vi kan använda t.ex Lagranges metod för att finna största och minsta värden. Bilda Lagranges funktion L xyt ) x + y + t x + y 6) och sök stationära punkter av denna som ges va L x + tx ) L L y + ty ) L t x + y 6 3) ) och ) ger att x y in i 3) som ger x + x 6 x x ±. Stationära punkter blir x y ) ). Vi får f ) f Svar: 3 och 3. ) xx 8. För z f x y) f x + y) som i texten ger kedjeregeln ) 3 z x f x + y)x z xy f x + y)x z x f x + y)x + f x + y). Insättning i den givna diff.ekv z x x z xy + x + y)z ger

5 f x + y)x + f x + y) x f x + y)x + x + y vilket ger f x + y) + x + y Om vi sätter t x + y så fås f t ) f x + y). ) f x + y) ) + tf t) som kan lösas som en ordinär linjär diff. ekv eller separabel) vi får f t Svar: f x y ) Ke t ) Ke för en gotycklig konstant K. x + y).. ) 9. den sökta volymen ges av V e x + y e x + y dxdy e x + y ) där randen till är skärningskurvan e x + y e x + y e x + y x + y ln Vilket ger att x y) : x + y ln Vi får { }. e x + y ) e x + y ) ln e x + y x + y ln ln ) ln e r r dr + er. * + Svar : 8 ln 3 ) v.e. ln x + y ln ) x r cos + dxdy rdrd. * y r sin ln e ln ) ln 3 8ln 3). För att få ett gränsvärde måste täljaren och närmaren gå mot lika fort då x y ) ) längs kurvan C. Vi kan åstadkomma detta genom till exempel gå längs x y då blir f y y) y då y. y + y Svar: Ja. Gå längs kurvan x y.