Tentamen: Lösningsförslag

Transkript

1 Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar: x x 3 y 3 + y lim x,y, x + y. Lösning: Vi har x x 3 y 3 + y x + y x3 y 3 x + y. Med hjälp av polära koordinater x r cos ϕ, y r sin ϕ, ser vi att x 3 y 3 x + y r 6 cos 3 ϕ sin 3 ϕ r r4 cos 3 ϕ sin 3 ϕ r 4 då r. et följer att x x 3 y 3 + y x 3 y 3 lim x,y, x + y lim x,y, x + y. Svar: Gränsvärdet existerar och är lika med.. 4 poäng Bestäm ekvationen för tangentplanet till ytan 4z 3 5xy + xz i punkten,,. Lösning: Eftersom ytan kan uttryckas som nivåytan F till funktionen F x, y, z 4z 3 5xy + xz, så är gradienten F,, normal till tangentplanet. et följer att ekvationen för tangentplanet i,, ges av Vi beräknar x, y, z,, F,,. F x, y, z 5y + z, 5x, z + x, vilket ger F,, 3, 5, 4. Således är tangentplanets ekvation x, y, z 3, 5, 4 dvs 3x 5y + 4z. Förenkling ger ekvationen 3x 5y + 4z 6. Svar: 3x 5y + 4z 6

2 3. 4 poäng Beräkna där r x + y + z /. R3 e r r dxdydz Lösning: etta är uppgift 7.5 i övningsboken. Med hjälp av sfäriska koordinater finner vi Svar: 4π R3 e r 4. 4 poäng Betrakta den plana kurvan π e r r dxdydz r r sin θdrdθdϕ π e r dϕ sin θdθ r r dr π[ cos θ] π re r dr 4π [r e r ] e r dr 4π. rt at sin t, a cos t, t R, där a > är en konstant. [etta är en så kallad cykloid: rt beskriver kurvan som en fix punkt på en cirkel av radie a följer när cirkeln rullar längs x-axeln.] Bestäm längden L av den del av kurvan som svarar mot parameterintervallet t π. Lösning: en sökta längden ges av L a a r t dt a cos t, a sin t dt cos t + cos t + sin tdt a sin t dt a [ a cos t Svar: L 4a ] π 4a. sin t dt 5. 4 poäng För vilka reella tal α konvergerar dxdy + x + y α? Vad är integralens värde i de fall som den konvergerar? R a cos t + a sin tdt cos tdt Lösning: etta är uppgift 6.36 i övningsboken. I polära koordinater kan integralen skrivas R dxdy π + x + y α + r rdrdϕ π α r + r α dr.

3 Eftersom r + r α r α + Or då r, följer att integralen i högerledet konvergerar om och endast om α <, dvs om och endast om α >. För α > är integralens värde [ + r α ] π π α α. Svar: Integralen konvergerar för α > och divergerar för α. För α > är integralens värde π α poäng Funktionerna f, g : R 3 R ges av fx, y, z x + y + z och gx, y, z e x e y z 4. a Visa att ekvationerna fx, y, z 9/4 och gx, y, z /6 entydigt definierar y yx och z zx som funktioner av x nära punkten x, y, z,, /. Lösning: erivering av ger ekvationerna dvs Om fx, yx, zx 9, gx, yx, zx 4 6, { f x + f dy dx + f dz x + dy dx + f f det dx, dz dx, dy dx dz dx f f, f x. x så har detta ekvationssystemet en entydig lösning given av I vårt fall har vi dy dx dz dx f f f x, y, z, g e x, e y, 4z 3, f x. x f,, /,,, g,, / e, e, /. et följer att det f f det x,y,z,,/ e e, vilket enligt implicita funktionssatsen innebär att y yx och z zx är entydigt definierade nära punkten x, y, z,, / 3

4 b Beräkna dy dz och i punkten x, y, z,, /. dx dx Lösning: Ekvationerna och ger dy dx dz e dx x,y,z,,/ e Svar: I punkten x, y, z,, / är dy dx e+ e 7. 4 poäng Beräkna kurvintegralen I e e e xy dx + xydy och dz dx 4e e. e+ e 4e. e där R är triangeln med hörn i punkterna,,, och,. Lösning: Greens formel ger I x xy xy dxdy y + xydxdy. Eftersom finner vi {x, y R y, y x y} I y Svar: /3 y y + xydxdy 8. 4 poäng Beräkna integralen J [ yx + x y ] y xy dy y y + y y yy + y y dy 4y ydy 3. Y F NdS där Y är den del av sfären x + y + z 6 för vilken z, vektorfältet F är definierat av Fx, y, z y cosxz, x 3 e yz, sinyz, och N är den utåtriktade enhetsnormalen. Lösning: Stokes sats ger J Y F dr 4

5 där randen Y är cirkeln x + y 6 i xy-planet orienterad moturs. Y där är disken med radie 4 i xy-planet centrerad i origo, dvs Vi har {x, y, z R 3 x + y 6, z }. Ytterligare en applikation av Stokes sats ger därför J Fx, y,,, dxdy F x x, y, F x, y, dxdy 3x ydxdy 3x dxdy 3 x + y dxdy 3 [ ] r 4 4 3π 9π. 4 π 4 r 3 drdϕ [Alternativt kan vi beräkna kurvintegralen längs Y direkt med hjälp av parametriseringen Y : 4 cos t, 4 sin t,, t π, vilket ger samma svar även om räkningen blir något längre: π J F dr F4 cos t, 4 sin t, 4 sin t, 4 cos t, dt Y π π π 6 sin t, 64 cos 3 t, 4 sin t, 4 cos t, dt 64 sin 3 t + 56 cos 4 tdt 56 cos 4 tdt π 56 cos t cos t sin tdt π + cos t 56 sin t dt 4 π + cos t 56 cos4t dt 8 [ t sin t 56 + t ] sin 4t π π π 9π.] 4 Svar: 9π 9. 4 poäng En vätska har densitet ρ kg/m 3 och hastighetsfält vx, y, z xz, xy, z m/s. 5

6 Beräkna hur stor massa som strömmar ut ur kroppen K R 3 per sekund, där K {x, y, z R 3 x, y, z, y + z 4, 4x + y 6}. Lösning: Med hjälp av divergenssatsen ser vi att det sökta massflödet Φ ges as Φ ρ v ds div ρ vdxdydz. Eftersom finner vi K div ρ v div xz, xy, z z + x + z x, Φ K K xdxdydz. Projektionen R av kroppen K på xy-planet är en fjärdedels ellips: {x, y R x, y, 4x + y 6} {x, y R x, y 4 x }. Kroppen K består av alla punkter ovanför som ligger över planet z och under planet z 4 y. Alltså finner vi 4 y Φ xdz dxdy x4 ydxdy Svar: 4/3 kg/s 4 x x4 ydydx 8x 4 x x4 x dx [ 83 ] 4 x 3/ 4x + x / poäng Betrakta ett plan med elektrisk potential V x, y arctanx + arctany. ] 4 x [4xy xy dx y Vi vill placera ut två punkter x, y R och x, y R på avstånd från varandra så att spänningen mellan dem V x, y V x, y blir så stor som möjligt. Var ska de placeras? Var noga med att visa att din lösning ger ett globalt och inte bara ett lokalt maximum. 6

7 Lösning: Vi vill optimera funktionen f : R 4 R definierad av under bivillkoret där Eftersom och fx, y, x, y V x, y V x, y arctan x + arctan y arctan x arctan y gx, y, x, y 8, 3 gx, y, x, y x x + y y. f + x, + y, + x, + y g x x, y y, x x, y y, kan Lagranges ekvation f λ g skrivas λx +x x, λy y, +y +x +y λx x, λy y. Genom att eliminera λ finner vi att varje lokal extrempunkt är en lösning till ekvationssystemet + x x x + y y y, + x x x + x x x, 4 + y y y + y y y. Om x x eller y y så ger första ekvationen i 4 att x, y x, y, vilket bryter mot bivillkoret. Vi kan därför anta att x x och y y. e två sista ekvationerna i 4 ger då att x, y x, y vilket innebär att första ekvationen kan skrivas x + x 3 y + y 3. 5 Funktionen t t + t 3 är strängt växande den har strängt positiv derivata och är därmed injektiv. et följer att x y är enda lösningen till 5. Alltså har vi följande lösningar av systemet 4 kvar: x, y, x, y x, x, x, x, x R. Insättning i bivillkoret 3 ger x, vilket ger två möjliga lokala extrempunkter: Vi har x, y x, y, eller x, y x, y,. f,,, 4 arctan 4 π 4 π, 7

8 f,,, 4 arctan 4 π 4 π. et återstår att visa att dessa värden även är globala extremvärden. Vi kommer visa att det finns en radie R > sådan att fx 3 för alla punkter x x, y, x, y R 4 med x > 4R som uppfyller bivillkoret. Om x > 4R, så gäller att åtminstone en av koordinaterna x, y, x, y har absolutbelopp större än R. Låt oss anta att x > R; samma argument fungerar också i övriga fall. Eftersom så ger medelvärdessatsen att arctan s arctan t d dx arctan x + x, s t + s, < s < t <, och att sup arctan y arctan y. y,y R y y Om punkterna x, y och x, y ligger på avstånd från varandra och x > R, så följer att fx, y, x, y arctan x arctan x + arctan y arctan y x x + minx, x + sup arctan y arctan y y,y R y y + R +. Påståendet följer eftersom < 3 och vi kan göra den första termen på högersidan godtyckligt liten genom att välja radien R tillräckligt stor. Alltså är π och π de globala max och min värdena för f på R 4. Svar: Punkterna ska placeras i, och,. 8