Campus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)

Transkript

1 ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg) Campus och distans Flervariabelanalys mag Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på varje inlämnat blad.. Antag att f(x, y) = e, x(u, v) = 3u sin v och y(u, v) = 4v u. Låt g(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)). Beräkna partialderivatorna g/ u och g/ v.. I vilka punkter på enhetscirkeln x + y = antar funktionen f(x, y) = sitt absoluta maximum och i vilka punkter antar funktionen sitt absoluta minimum? 3. Beräkna ytintegralen σ xzds, där σ är den del av planet x + y + z = som ligger i första oktanten. 4. Beräkna flödet av fältet F = (3y cos z, x e z, x sin y) genom begränsnings-ytan för klotet Q som har centrum i (,, ) och har radie R =. 5. Beräkna volymen av den kropp som begränsas av grafytan y = 4 x z och xz-planet. 6. Låt F = [ ax 3, by, cz ], a, b, c, vara ett vektorfält och vektorn Ā = [ b, a, ab ] c. Bestäm alla punkter sådana att graddiv F är vinkelrät mot Ā.

2 7. Låt { xu + yv = x + y, yu xv = x y, Bestäm partialderivatorna u x, u y, v x och v y, samt vektorn grad u i punkten (x, y) = (, ). () 8. Låt f(u, v) = u v + u v + u + v u = u(x, y) = och v = v(x, y) = x + y (a) Bestäm definitionsmängder av f(u, v) som en funktion av u, v och som en funktion av x, y. (b) Visa att gränsvärdena existerar och bestäm deras värde. lim f(u, v) och lim f(u, v) (x,y) (,) (x,y) (, ) (c) Visa att f(u, v) är kontinuerlig på sin definitionsmängd som en funktion av x, y.

3 Svar till tentamen i Flervariabelanalys,

4 Lösningar till tentamen i Flervariabelanalys, Vi har att Kedjeregeln ger f x = f ye, y = xe, x y = 3 sin v, u u = 4v, x y = 3u cos v, v v = 8vu, g u = f x x u + f x y u = = ye (3 sin v) + xe (4v ) = = [använd x = x(u, v), och y = y(u, v)] = [ ] = = 4v ue u v sin v sin v och på samma sätt g v = f x x v + f x y v = = [ ] = = u ve u v sin v (v cos v + sin v). Max och min existerar eftersom enhetscirkeln är sluten och begränsad. Vi ståller upp Lagrangefunktionen: L(x, y, λ) = λ(x + y ) Gradienten för lagrangefunktionen är noll i de punkter vi söker: L/ x = y λx = () L/ y = x λy = (3) L/ λ = x + y = (4) Vi löser ut λ ur () och (3) : y x = λ = x y x = y x = ±y (5) Sätter vi in detta i bivillkoret (4) så får vi x = x = ± För varje x-värde får vi nu två y-värden och det ger oss totalt sett fyra punkter: (±, ± ) : (, ), (, ), (, ), (, ) Största värdet för funktionen är / och inträffar när båda variablerna har samma tecken dvs i de två punkterna ±(, ). I de två övriga punkterna ±(, ) har variablerna olika tecken och där har vi minimum /.

5 3. Vi kan beskriva planet som grafen till funktionen z = x y. Den del av grafen vi är intresserad av ligger ovanför den y-enkla triangeln Eftersom areaelementet kan skrivas som så blir vår yt-integral T xzds = 3 = T = {(x, y) : < y < x, < x < } ds = ( z/ x) + ( z/ y) + dydx = 3dydx, x x( x y)dydx = 3 x x + x3 dx = [ ] = 3/4 4. Divergensen av fältet är noll. Gauss sats ger då att F nds = }{{ F} dv = Q Q = 5. Betrakta området som y-enkelt: x( x) {(x, y, z) : < y < 4 x z, x + z < 4}. x( x) dx Då kan volymen beskrivas som följande trippelintegral, där vi använder polära koordinater för att beskriva mängden i xz-planet 6. Vi har x +z <4 4 x z grad div F = ( F ) = dydxdz = [ Polära koordinater ] = = π π 4 r r(4 r )drdθ = [ ] = 8π div F = F = x (ax3 ) + y (by ) + z (cz ) = 3ax + by + cz = [6ax, b, c] = [3ax, b, c] rdydrdθ = [ x (3ax + by + cz), y (3ax + by + cz), ] z (3ax + by + cz) = Vektorfältet F = grad div F är vinkelrät mot Ā om skalärprodukten F Ā = 6abx + ba + ab = ab(3x + 4) =, alltså om x = 4 3 och i denna punkt har vi F = [ 4a, b, c]. 7. Vi deriverar första och andra ekvationen i () m.a.p. x och får { u + xux + yv x =, yu x v xv x =, { xux + yv x = u, yu x xv x = + v, (6) 5

6 Vi löser systemet m.a.p. u x och v x, { ux = x( u) y(+v) x +y, v x = x(+v) y( u) x +y, (7) Vi deriverar nu första och andra ekvationen i () m.a.p. y och får { xuy + v + yv y =, u + yu y xv y =, { xuy + yv y = v, yu y xv y = u, (8) Vi löser systemet m.a.p. u y och v y, { uy = x(v )+y(+u) x +y, v y = x(+u)+y( v) x +y, (9) Lös nu ekvationssystemet { xu + yv = x + y, yu xv = x y, för att bestämma u och v, och få { u = x + y x +y, v = x ++y x +y, () () u(x, y) = [u x, u y ] = I punkten (x, y) = (, ), grad u(, ) = 5 [ ] x( u) y( + v) x(v ) + y( + u) x + y, x + y = = x [x y (xu + yv), y x + xv + yu]. + y { u = x + y x +y = = 5, v = x ++y x +y [ ( ), = = 7 5, () [ ] 4, 4 5. ] = 5 8. (a) Definitionsmängden D uv av f(u, v) som en funktion av u, v är {(u, v) : v, v }. Definitionsmängden D av f(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)) = x + y + x + y + x y + x + y (b) som en funktion av x, y är alla (x, y) (, ). lim f(u(x, y), v(x, y)) = (x,y) (, ) = lim (x,y) (, ) x + y + lim = 3. + (x,y) (, ) x + y + lim (x,y) (, ) x y + x + y = 6

7 Gränsvärdet gränsvärdet lim f(x, y) existerar och lim f(x, y) = = (x,y) (,) (x,y) (,) existerar och blir noll eftersom x + y lim f (x, y) = (x,y) (,) lim (x,y) (,) x + y x + y x + y x + y = x + y, ty f (x, y) x + y och lim x + y =. (x,y) (,) (c) Funktionen f(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)) är kontinuerlig på sin definitionsmängd R \ (, ) som en superposition, dvs att de är summor av kontinuerliga funktioner: u v, u v +, u + v och, x + y, x + y, x + y + 7