Lektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln

Transkript

1 Lektion 3 Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln

2 Innehål 1. Partiella derivator (12.3) 2. Differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta (12.6)

3 Innehål 1. Partiella derivator (12.3) 2. Differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta (12.6) 3. Kedjeregeln (12.5)

4 Innehål 1. Partiella derivator (12.3) 2. Differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta (12.6) 3. Kedjeregeln (12.5)

5 1. Partiella derivator Låt (a, b) vara en punkt som tillhör till definitionsmängden D f av en funktion f av två variabler. 1. Partiella derivatan (av första ordning), med avseende på x i punkten (a, b) är. f (x, b) f (a, b) f (a + h, b) f (a, b) lim = lim. x a x a h 0 h 2. Vi använder en av följande symboler för att beteckna den: x (a, b); f x(a, b), f 1 (a, b) och är funktionens ändring i x-led. Variabeln y är fixerad, medan x a. 3. Om partiella derivatan m.v.p. första variabeln existerar i varje punkt av en mängd så pratar vi om en funktion av två variabler som betecknas likadant. Att beräkna partiella derivator innebär ingenting nytt jämför med vanliga derivator. När man deriverar m.a.p. x tänker man på y som på en konstant.

6 Låt (a, b) vara en punkt som tillhör definitionsmängden D f av en funktion f av två variabler. 1. Partiella derivatan (av första ordning), med avseende på y i punkten (a, b) är. f (a, y) f (a, b) f (a, b + k) f (a, b) lim = lim. y b y b k 0 k 2. Vi använder en av följande symboler för att beteckna den: y (a, b); f y (a, b), f 2 (a, b) och visar funktionens ändring i y-led. Den är också lutningen av skärningskurvan mellan planet x = a och funktionsytan. Variabeln x är fixerad, medan y b. 3. Om partiella derivatan m.a.p. andra variabeln existerar i varje punkt av en mängd så pratar vi om en funktion av två variabler som betecknas likadant. När man deriverar m.a.p. y tänker man på x som på en konstant.

7 Exempel 1: Låt f (x, y) = arctan x y, y 0. Då 1 x (x, y) = y ( ) 2 = 1 + x y y x 2 + y 2 och. y (x, y) = x y ( 2 ) 2 = x 1 + x x 2 + y 2 y

8 Exempel 2 (funktion med diskontinuerliga partiella derivator!): Låt f (x, y) = då x 0 och likadant För x, y 0 och likadant x2 y x 2 +y 2, x, y 0 och f (0, 0) = 0 Då f (x, 0) f (0, 0) (0, 0) = lim = 0 x x 0 (0, 0) = 0. y x (x, y) = 2xy 3 (x 2 + y 2 ) 2 y (x, y) = x 2 (x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2. Dessa funktioner är inte kontinuerliga i origo. (Välj x = 0 och y = 2x).

9 Exempel 3 (funktion med som har partiella derivator i en punkt men som själv inte är kontinuerlig (Ex. 3 sid 678)): Funktionen f (x, y) = men och likadant xy x 2 +y 2, x, y 0 är inte kontinuerlig i origo (x, 0) f (0, 0) (0, 0) = lim x 0f = 0 x x 0 (0, 0) = 0. y Jämför med endimensionella fallet där deriverbarhet medför kontinuitet! Alltså existens av partiella derivator i en punkt är inte den naturliga generaliseringen för deriverbarhet (differentierbarhet).

10 Tangentplan Anta att funktionen z = f (x, y) har partiella derivator av första ordning i en punkt och att punkten P = (a, b, c), där c = f (a, b) tillhör ytan. Planet som innehåller tangentlinjerna till alla möjliga kurvor som ligger på ytan och som går genom punkten P kallas tangentplan. Observera att det inte är tillräckligt med existens av partiella derivator i en punkt för att prata om tangentplan!

11 Tangentplan Om tangentplanet existerar i en punkt innehåler det bl.a. också tangentlinjerna till skärningskurvorna mellan ytan och planen x = a, y = b. Dessa linjer har rikningsvektorerna T 1 = (1, 0, f x (a, b)), och normalvektorn till planet är och tangentplanetsekvation Ex.6,7 sid. 685, 686. T 2 = (0, 1, f y (a, b)). n = T2 T 1 = (f x (a, b), f y (a, b), 1) z f (a, b) = f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b)

12 Tangentplan och differentierbarhet Anta att funktionen z = f (x, y) har partiella derivator av första ordning i en punkt och att punkten P = (a, b, c), där c = f (a, b) tillhör ytan. 1. Funktionen f kallas differentierbar i punkten (a, b) om f (x, y) = f (a, b) + f x(a, b)(x a) + f y (a, b)(y b)+ +o( (x a) 2 + (y b) 2 ). då (x, y) (a, b). 2. Observera att z = f (a, b) + f x(a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) är tangentplanets ekvation. 3. Med andra ord är f differentierbar MM MP 0 om MP 0, där M är en punkt på ytan och M sin projektion på tangentplanet. 4. existens av tangentplan i en punkt är samma sak som differentierbarhet..

13 kont. part. derivator differentierbarhet=tangentplan part.derivator

14 I Exemplet 2 har vi visat att funktionen f (x, y) = f (0, 0) = 0 har partiella derivator i origo som är båda 0 men x2 y x 2 +y 2, f (x, y) f (0, 0) f x(0, 0)(x 0) + f y (0, 0)(y 0) x 2 + y 2 = x 2 y (x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 0. Alltså, vi har inte något tangentplan i origo (dvs ingen differentierbarhet), trots att vi har partiella derivator och trots att funktionen är kontinuerlig i origo!!!!

15 Tillräckliga villkor för differentierbarhet, tangentplan: (Sats 4, sid. 705) Om z = f (x, y) har partiella derivator som är kontinuerliga i en punkt så är funktionen differentierbar i denna punkt och vi kan prata om tangentplan i denna punkt som har ekvationen z = f (a, b) + f x(a, b)(x a) + f y (a, b)(y b). I fall f har kontinuerliga p.d. är det alltså lätt att skriva planets ekvation!

16 Differential Den linjä funktionen av två variabler dz(a, b)(x, y) = df (a, b)(x, y) = f x(a, b)(x a) + f y (a, b)(y b). kallas differential. Vi har att felet f (x, y) f (a, b) df (a, b)(x, y) eller formelt dz = f x dx + f y dy för (x, y) nära (a, b).

17 Uppgift 2 sid. 712 eller felet Se Exempel 1! f dz = f x (3, 3)(x 3) + f y (3, 3)(y 3). y = f x(3, 3) = 1 6 alltså och, f (x, y) f (3, 3) dz x x 2 +y 2 och f x = y x 2 +y 2, f y (3, 3) = 1 6 och f (x, y) arctan (x 3) + 1 (y 3) 6 f (3, 01; 2, 99) arctan (3, 1 3) + 1 (2, 99 3) 6

18 alltså f (3, 01; 2, 99) π/ , ( 0, 01) 6 f (3, 01; 2, 99) π/

19 Kedjeregeln (12.5) Fall 1 Då och f (x, y) = sin(x 2 y 2 ) x = 2x cos(x 2 y 2 ) x = 2x cos(x 2 y 2 ).

20 Då och f (x, y) = g(x 2 y 2 ); x y = 2x dg dt = 2y dg dt g(t)

21 f (x, y) = g(t), t beror på x och y. Då (formellt) och etc. x = dg t dt x. y = dg t dt y.

22 Fall 2: g(t) = f (x, y), där x, y beror på t. Då (formellt) dg dt = dx x dt + dy y dt.

23 Fall 3: g(u, v) = f (x, y), där x, y beror båda på u, v. Då g u = x x u + y y u. och g v = x x v + y y v.

24 Ibland skrivs det, något inkorekt, u = x x u + y y u. och v = x x v + y y v.

25 Uppgift: Låt g(x, y, z) = f (u, v) där u = u(x, y, z) = x y och v = v(x, y, z) = x 2 + y z 2. Visa att 2xz g x + 2yz g y + (2x 2 + y) g z = 0

26 g x = u u x + v v x = 1 + 2x y u v, g y = u u y + v v y = x u y 2 y + v och g z = u u z + v v z Sambandet följer enkelt. = 0 2z v