4 McLaurin- och Taylorpolynom
|
|
- Margareta Mattsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Nr 4, 28 feb, Amelia 2 4 McLaurin- och Taylorpolynom 4. Repetition av Taylorpolynom i en variabel 4.. Förbättring av tangenten Detta avsnitt handlar om de grundläggande idéerna för Taylorpolynom i en variabel. Idéerna är nästan samma för flera variabler, bara svårare att överblicka på grund av att formlerna blir längre. I en variabel är som bekant y(x) en tangent till en deriverbar funktion f(x) i punkten a om: y(x) =f(a)+f (a)(x a). Funktionen y(x) är mycket nära f(x) nära punkten a, på så sätt att de två funktionerna har samma värde och samma derivata i punkten: f(a) =z(a) och f (a) =z (a). Däremot kan f (a) och z (a) vara olika. Men om vi lägger till en term till så får vi även f (a) =z (a). Då ska vi faktiskt lägga till 2 f (a)(x a) 2. Det ger y(x) =f(a)+f (a)(x a)+ 2 f (a)(x a) 2. Genom att derivera z(x) två gånger och sätta in x = a kan man lätt övertyga sig om att f (a) =z (a), och att f(a) =z(a) och f (a) =z (a) fortfarande gäller. För att detta ska vara möjligt måste f vara två gånger deriverbar i punkten (så f (a) finns). Vi kan fortsätta på detta sätt. Om f är tre gånger deriverbar i x = a behöver vi en term 6 f (a)(x a) 3, då kommer funktionen y(x) =f(a)+f (a)(x a)+ 2 f (a)(x a) f (a)(x a) 3 att uppfylla f(a) =z(a), f (a) =z (a), f (a) =z (a) och f (a) =z (a) alla derivator upp till tredje ordningen överensstämmer. Man kan lätt kontrollera genom att derivera och sätta in x = a. Det visar sig att ju fler derivator som överensstämmer i punkten x = a, ju större är det intervall runt a, säg intervallet [a R, a + R], där y(x) är en god approximation till f(x) (se nedanstående exempel med sin x runt x =) Notera att de olika varianterna av y(x) ovan alla är polynom av allt högre grad, och alla derivator överensstämmer med derivatorna till f(x) i punkten x = a. Dessa polynom kallas Taylorpolynom till f(x) ipunktena. Vi får ett Taylorpolyom med högre gradtal, och en bättre approximation, genom att lägga
2 till nästa term i Taylorserien, som är följande serie: f(a)+f (a)(x a)+ 2 f (a)(x a) = X k= k! f (k) (a)(x a) k. I Taylorserien har vi alltså med oändligt många termer, och vi får ett Taylorpolynom genom att stryka alla termer över ett visst gradtal. Stryker vi alla termer av grad 2 och högre får vi alltså funktionens tangent i punkten den punkt där argumentet i detta avsnitt startade. Symbolen f (k) betyder förstås derivata av ordning k : f (k) (a) = dk f dx k (a), så f (2) (a) =f (a), till exempel McLaurinserie I specialfallet a =talar man om en McLaurinserie: f() + f ()x + 2 f ()x = X k= k! f (k) ()x k. Just som för Taylorpolynom får vi ett McLaurinpolynom om vi trunkerar serien (tar bort alla termer från ett visst k och uppåt). Här nedan följer en följd McLaurinpolynom till f(x) =sinx, som illustrerar hur approximationen blir allt bättre när vi tar med fler termer. Figurerna visar sin x och dess McLauringpolynom av gradtal, 3,, 7 och x (tunn), tangenten till sin x (tjock) i x = x x3 6 (tunn) och sin x (tjock). 2
3 sin x (tjock) och x x3 6 + x 2 (tunn). sin x och x x3 3! + x! x7 7! sin x (tjock) och P 2 x2k k= ( )k+ (2k )! (tunn). Med gradtal 39 svänger polynomet som synes mycket nära funktionen sin x i mer än fyra perioder av sin x. De sammanfaller ungefär i intervallet (, ). Med högre gradtal skulle vi få överensstämmelse i ett ännu större intervall. Det går bra att göra denna konstruktion ty sin x är 39 gånger deriverbar. Funktionen sin x är t.o.m. oändligt deriverbar, vilket definitionmässigt betyder att dk dx k sin x är kontinuerlig för alla naturliga tal k, och för alla x Intervallstorlek och restterm Kan vi avgöra hur stort intervall de två överensstämmer? Vi vill då uppskatta felet max f(x) p n(x), x I där p n (x) är Taylorpolynomet av grad n till f(x), och I är det intervall vi är intresserade av. Vi kommer att betrakta intervall runt av längd 2R, alltså I =] R, R[. Det visar sig att felet kan uppskattas med nästa derivata (f (n+) ), på följande sätt: max x I f(x) p n(x) R n+ max f (n+) (x) x [ R,R] (n +)!. Man kan visa detta med upprepad partiell integration, vi utför detta för n =2: 3
4 f(x) = f() + f (y)dy = f() + = f() + [(y x) f (y)] x f (y)dy = {PI} (y x) f (y)dy = {insättning av gränser} = f() + f (x) ( x)f () (y x) f (y)dy = {PI} = f() + xf () [ 2 (y x)2 f (y)] y=x y= + 2 (y x)2 f (y)dy = f() + xf () + 2 x2 f () + 2 (y x)2 f (y)dy. Avvikelsen mellan f(x) och f() + xf () + 2 x2 f () är således 2 (y x)2 f (y)dy. Denna storhet är maximalt 2 (y x)2 f (y)dy (y x) 2 f (y) dy 2 { f (y) max f (y) } 2 max f (y) = 2 max f (y) x3 3. I intervallet [ R, R] är detta maximalt om x = R,så vi har max f(x) p 2(x) max f (3) (x) R3 x I x [ R,R] 3!. (y x) 2 dy För f(x) =sinx vet vi att max x [ R,R] f (n+) (x) (eftersom alla derivator av sin x är ± sin x eller ± cos x, så är värdet av f (n+) (x) högst)såom feletskavarahögst.såfårvikravet R n+ (n +)!., dvs vi har ett krav på R : R n+p.(n +)!. Man kan beräkna att 4. 4! = 4.886, vilket stämmer utmärkt med vad vi kundeseifiguren (ögonmått gav ). Obervera att 4! = är ett gigantiskt stort tal. 4 e Stirlings formel säger n! ( n e )n, så n n! [( n e )n ] n = n. Det stämmer bra här ty e 4. 7 och intervallens längd ökar ungefär linjärt med McLaurinpolynomets gradtal. 4
5 Man kan skriva detta som att f(x) =p n (x)+o(x n+ ), vilket betyder att skillnaden f(x) p n (x) går mot noll minst som Cx n+ då x. Detta kan också sägas som att (f(x) p n (x))x n är en begränsad funktion nära. 4.2 Taylorpolynom i n variabler 4.2. Två variabler Betrakta grafen av en funktion f(x, y), dvs planet z = f(x, y) som en yta i R 3. Funktionen är differentierbar i en punkt (a, b) om det finns konstanter A och B så att det finns ett plan z = f(a, b)+a(x a)+b(y b) som är en mycket bra approximation till f(x, y) nära (a, b). Nämligen så bra att f(x, y) (f(a, b)+a(x a)+b(y b) = p (x a) 2 +(y b) 2 ρ(x a, y b) där ρ(h, k) då (h, k) (, ). Faktorn p (x a) 2 +(y b) 2 går mot noll, och faktorn ρ gör att f(a, b)+a(x a)+b(y b) approximerar f(x, y) ännu bättre än något annat plan genom punkten. Då är A = f x(a, b) och B = f y(a, b), och planet är givetvis tangentplanet z(x, y) =f(a, b)+fx (a, b)(x a)+f y (a, b)(y b). Vi kan också tala som de två funktionerna f(x, y) och z(x, y), därz (x, y) = f(a, b)+f x(a, b)(x a)+f y(a, b)(y b) ju är ett förstagradspolynom i två variabler, som är mycket nära varandra nära punkten (a, b), om f är differentierbar i denna punkt. Funktionen z(x, y) går genom (a, b) ty sätter vi in x = a och y = b så får vi z(a, b) =f(a, b)+f x(a, b) +f y(a, b) =f(a, b), och z(x, y) har även samma partiella derivator som f(x, y) i (a, b), ty om vi deriverar z(x, y) =f(a, b)+fx(a, b)(x a)+fy(a, b)(y b) partiellt m.a.p. x så får vi zx(x, y) =+fx(a, b) +, och sedan sätter in (a, b): zx(a, b) =fx(a, b). På samma sätt kan man kontrollera att zy(a, b) =fy(a, b). Med ett Taylorpolynom kan man hitta en yta som anpassar sig ännu bättre än ett plan till f. Tangentplanet z(x, y) är Taylorpolynomet av grad ett (om inte fx(a, b) och fy(a, b) båda är noll, då det har lägre grad), vi kan beteckna
6 det med z (x, y). Man får Taylorpolynomet av grad 2 genom att lägga till andragradstermer. Det ser ut som följer: z 2 (x, y) = f(a, b)+f x(a, b)(x a)+f y(a, b)(y b) + 2 f xx(a, b)(x a) 2 + f xy(a, b)(x a)(y b)+ 2 f yy(a, b)(y b) 2. Funktionen z 2 (x, y) är (i allmänhet) inte ett plan, utan en andragradsuttryck. Eftersom z 2 inte förekommer är det en elliptisk eller hyperboloidisk paraboloid, eller en parabolisk cylinder. Men varför ser andragradstermerna ut just på detta sätt: 2 f xx(a, b)(x a) 2 + fxy(a, b)(x a)(y b)+ 2 f yy(a, b)(y b) 2? Svaret är att f och z har samma värde i punkten (a, b) och samma partiella derivator av alla ordningar t.o.m. 2. Det är klart att x z 2(x, y) = x [f(a, b)+f x(a, b)(x a)+fy(a, b)(y b) + 2 f xx(a, b)(x a) 2 + fxy(a, b)(x a)(y b)+ 2 f yy(a, b)(y b) 2 ] = fx(a, b)++fxx(a, b)(x a)+fxy(a, b)(y b), så om vi sätter in (x, y) =(a, b) får vi z 2 x (a, b) = f x(a, b)++fxx(a, b)(a a)+fxy(a, b)(b b) = fx(a, b), så även funktionerna f och z 2 har samma partiella derivator av ordning ett i punkten (a, b). Vi kontrollerar härnäst fxx och fxy : och z 2xx(x, y) = x [f x(a, b)+f xx(a, b)(x a)+f xy(a, b)(y b)] = f xx (z,b) z2xy(x, y) = [f x(a, b)+fxx(a, b)(x a)+fxy(a, b)(y b)] = fxy(z,b). Det följer att z2xx(a, b) =fxx(z,b) och z2xy(a, b) =fxy(z, b). Påsammasätt kan vi visa att z2yy yy i punkten (z, b). Vi ska se senare att om vi lägger till termen (f 6 xxx(a, b)(x a) 3 +3fxxy(a, b)(x a) 2 (y b)+fxyy(a, b)(x a)(y b) 2 +fyyy(a, b)(y b) 3 ) 6
7 till z 2 (x, y) så får vi z 3 (x, y) som har samma partiella derivator som f(x, y) upp t.o.m. ordning 3. Det är inte svårt att derivera detta polynom tre gånger och kontrollera de partiella derivatorna. Detta är Taylorpolynomet till f(x, y) av ordning 3. Vi tittar nu på ett något annorlunda sätt att beskriva Taylorpolynom. Om vi nu byter variabler, byt (x, y) mot (x + h, y + k) och (a, b) mot (x, y), så kan z 2 skrivas z 2 (x+h, y+k) =f(x, y)+f x(x, y)h+f y(x, y)k+ 2 f xx(x, y)h 2 +f xy(x, y)hk+ 2 f yy(x, y)k 2. Notera att µ x + f(x, y) = f x(x, y)+fy(x, y) och µ x + 2 f(x, y) = f xx(x, y)+2fxy(x, y)+fyy(x, y), och µ x + 3 f(x, y) = f xxx(x, y)+3fxxy(x, y)+3fxyy(x, y)+fyyy(x, y). Alltså kan man skriva z 2 som µ z 2 (x + h, y + k) =f(x, y)+ h x + k) f(x, y)+ µ h 2 x + k 2 f(x, y). Det är klart att vi även kan tala om Taylorpolynom av grad 3, som blir µ z 2 (x + h, y + k) = f(x, y)+ h + 6 µ h x + k x + k) 3 f(x, y), f(x, y)+ µ h 2 x + k 2 f(x, y)+ helt analogt med envariabelfallet. Generellt får vi Taylorpolynomet av grad n som nx µ z 2 (x + h, y + k) = h i! x + k i f(x, y). i= Detta ³ är inte säkert helt korrekt på så sätt att gradtalet är inte n, utan lägre än n, om h x + k n f(x, y) =. Exemplet sin x ovan, i envariabelfallet, har inget McLaurinpolynom av grad 2 eftersom f () = sin =. 7
8 4.2.2 Tre variabler I tre variabler får vi på analogt sätt z 2 (x + h, y + k, z + l) = nx i= µ h i! x + k + l i f(x, y, z). z Taylorpolynomet av grad 3, exempelvis, är då utskrivet som följer: z 2 (x + h, y + k, z + l) = f(x, y, z)+f x(x, y, z)h + f y(x, y, z)k + f z(x, y, z)l f xx(x, y, z)h f yy(x, y, z)k f zz(x, y, z)l 2 +f xy(x, y, z)hk + f xz(x, y, z)hl + f yz(x, y, z)kl. Man kan kontrollera detta genom derivering att se att z 2 och f har samma partiella derivator i (x, y) upp till ordning 2. Exempel (7b) Bestäm McLaurinpolynomet av andra graden till e xy cos(x+ y). Vi använder här envariabelutvecklingarna Insättning ger och vi får e x +x + 2 x2, och cos x 2 x2. e xy +xy + 2 x2 y 2, och cos(x + y) 2 (x + y)2, e xy cos(x + y) ( + xy + 2 x2 y 2 )( 2 (x + y)2 )= = +xy 2 (x + y) = 2 y2 2 x Alla termer av högre grad än 2 representeras av "...". Svar: McLaurinpolynomet är 2 y2 2 x2. Exempel 2 (72c + approximation) Bestäm Taylorpolynomet av andra graden till f(x, y) = p y x +sin(2x y) ipunkten(, 2). Vad är f(.9, 2.), approximativt? 8
9 Man kan antingen beräkna alla värden f(, 2), fx(, 2), fy(, 2), fxx(, 2), fxy(, 2) och fyy(, 2), eller beräkna McLaurinpolynomet till g(x, y) = f(x +,y+2)= p (y +2) (x +)+sin(2(x +) (y +2) = p y x ++sin(2x y). Vi har envariabelutvecklingar x+ + 2 x 8 x2, sin x x 6 x3. Så vi har sin(2x y) 2x y 6 (2x y)3, och insättning av y x +2x y 6 (2x y)3 = x 6 (2x y)3 i utvecklingen av 2x y 6 (2x y)3 ger p y x ++sin(2x y) + 2 (x 6 (2x y)3 ) 8 (x 6 (2x y)3 ) 2 = + 2 x 2 x Termen 6 (2x y)3 behöver inte tas med för den är av ordning 3. Vi får nu f(x, y) =g(x,y 2) som + 2 (x ) 8 (x )2. Approximation med Taylorpolynomet ger f(.9, 2.) + 2 (.9 ) 8 (.9 )2 = Svar: Taylorpolynomet av grad 2 är + 2 (x ) 2 (x )2, och f(.9, 2.) Vilket fel har en Taylorutveckling? Jo, f(x + h, y + k) = nx i= µ h i! x + k i f(x, y)+o(( p h 2 + k 2 ) n+ ). Felet är O(( h 2 + k 2 ) n+ ). Man säger att felet är av ordning n +. Exempel 3 (7) Bestäm Taylorutvecklingen av ordning 2 till den funktion z(x, y) som defineras av z 3 2xz + y =, i punkten (,, ). 9
10 Implicit derivering m.a.p. x ger som insatt (,, ) ger 3z 2 z x(x, y) 2z(x, y) 2xz x(x, y)+=, 3z x(, ) 2 2z x(, ) =, dvs z x(, ) = 2. Deriverar vi ekvationen ovan igen m.a.p. x så får vi 6z(x, y)zx(x, y) 2 +3z 2 zxx(x, y) 2zx(x, y) 2zx(x, y) 2xzxx(x, y) =. Vid insättning av (,, ) känner vi nu zx(, ) = 2, så vi kan bestämma zxx(, ) : zxx(, ) 4 4 2zxx(, ) =, dvs zxx(, ) = 6. Nu ger derivering m.a.p. y 3z 2 z y(x, y) 2xz y(x, y)+=, och vi får zy(, ) =. Deriverar vi denna ekvation m.a.p. x så får vi tag på zxy(, ). Deriveringen ger 6z(x, y)zx(x, y)zy(x, y)+3z 2 zyx(x, y) 2zy(x, y) 2xzyx(x, y)+= så med zx(, ) = 2 och zy(, ) = får vi 2 + 3zyx(, ) + 2 2zyx(, ) + = och zyx(, ) =. Deriverar vi den y-deriverade ekvationen en gång till m.a.p. y så fås 6z(x, y)zy(x, y) 2 +3z 2 zyy(x, y) 2xzyx(x, y) =, och insättning av (,, ) och zx(, ) = 2 och zy(, ) = ger nu 6+3zyy (, ) 2z yy (, ) =, så zyy(, ) = 6. Då blir Taylorutvecklingen z(, ). + z x(, ).(x ) + z y(, ).(y ) + 2 z xx(, ).(x ) 2 + zxy(, ).(x )(y ) + 2 z yy(, )(y ) 2 = +2(x ) (y ) 8(x ) 2 + (x )(y ) + 3(y ) 2 = +8x 7y +xy 8x 2 +3y 2. Svar: Taylorpolynomet är +8x 7y +xy 8x 2 +3y 2.
11 Exercise 4 (7) Visa att ½ x + y + z 3 +3w = x y +4z + w 3 = definierar en funktion z(x, y) i en omgivning till (x, y, z, w) =(,,, ). Bestäm dess Taylorutveckling av ordning 2. Här är jacobianen (F,F 2 ) (z,w) som i (x, y, z, w) =(,,, ) har värdet µ = µ 3z w 2 och determinant skild från noll. Så sambanden definierar lokalt både en funktion z(x, y) och w(x, y). Om vi deriverar implicit m.a.p. x får vi ½ +3z 2 z x(x, y)+3w x(x, y) = +4z x(x, y)+3w 2 w x(x, y) = och insättning av (x, y, z, w) =(,,, ) ger ½ +3z x (, ) + 3w x(, ) = +4z x(, ) + 3w x(, ) =. Lösning av det linjära ekvationssystemet ger zx(, ) = och wx(, ) = /3. Om vi deriverar implicit m.a.p. y fås ½ +3z 2 zy +3wy = +4zy +3w 2 wy = och insättning av (x, y, z, w) =(,,, ) ger ½ +3z y +3w y = +4z y +3w y =. Vi har igen ett linjärt ekvationssystem, med lösningen z y(, ) = 2 och w y(, ) = 3/7. Vi får då Taylorpolynomet av grad till +2(y ). Svar: +2(y ). Exempel (74b) Ange det största n så att f(x, y, z) = O(r n ) där r = p x2 + y 2 + z 2 och f(x, y) =cosx cos y cos z cos(x + y + z).
12 Med cos x 2 x x4 får vi så f(x, y) =O(x 2 ). Svar: n =2. ( 2 x x4 )( 2 y y4 )( 2 z z4 ) ( 2 (x + y + z) (x + y + z)4 ) = 2 x2 2 y x4 2 z2 +..., 2
5 Lokala och globala extremvärden
Nr 5, mars -5, Amelia 5 Lokala och globala extremvärden Ienvariabelinträffar lokala extremvärden i punkter där f (x) =, om f är deriverbar och det inte är en randpunkt. Vilken typ av extremvärde det är
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs mer1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08
Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht8 Omfattning och innehåll 2.7 Gradienter och riktningsderivator. 2.8 Implicita funktioner 2.9 Taylorserier och approximationer 3. Extremvärden 3.2 Extremvärden under bivillkor
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 14 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 7 Henrik Shahgholian Vid Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 3 2 / 14 SF1626 Flervariabelanalys Dagens Lektion Kap 12.8 1. Implicit definierade
Läs merUppgifter inför KS4 den 11 april Matematik II för CL. SF1613.
Uppgifter inför KS4 den 11 april 011. Matematik II för CL. SF1613. 1. En humla flyger längs kurvan (given på parameterform) x = t,y = t 3, t " 0. Då t = 1 upptäcker humlan en blomma i punkten (5,3) och
Läs mer2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner
Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till
Läs mer1 Koordinattransformationer
Nr 1, 21 feb -5, Amelia 2 Obs: "m.a.p." betyder "med avseende på". 1 Koordinattransformationer 1.1 Bakgrund (inte på denna föreläsning) 1.1.1 Från R till R 2, och R till R 3 Vi har sett att en funktion
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merLektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln
Lektion 3 Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln Innehål 1. Partiella derivator (12.3) 2. Differentierbarhet och tangentplan till
Läs mer1 Föreläsning 12, Taylors formel, och att approximera en funktion med ett polynom
red Föreläsning, Taylors formel, och att approximera en funktion med ett polynom. Taylorpolynom. Fakultet 0! =, läses noll-fakultet.! =. Vidare är! = = och 3! = 3 =. Allmänt fˆr n =,,,..., n! =... n n.
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs mer(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merLinjärisering, Jacobimatris och Newtons metod.
Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod Analys och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt, vt0 Inledning Vi skall lösa system av icke-linjära ekvationer Som exempel kan vi ta, x = 0, x = 0, som är ett system
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merLösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
Läs merLokala undersökningar
Kapitel 6 Lokala undersökningar 6.. Lokala extrempunkter: nödvändiga villkor Definition 6.. Låt f = f(x) vara en funktion med definitionsmängd D R n. f sägs att ha ett lokalt maximum i en punkt a D om
Läs merKap Implicit givna funktioner
Kap 12.8. Implicit givna funktioner A 701. Betrakta ekvationen x 2 y 2 = 0 och funktioner y = y(x). a. Hur många funktioner satisfierar ekvationen? b. Hur många kontinuerliga funktioner satisfierar ekvationen?
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys 5 hp, för STS 010-03-19 Genomgånget på föreläsningarna 6-11. Föreläsning 6, 14/4 010: Vi fortsatte med ett par exempel, där kedjeregeln
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z
Läs merSätt t = (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1). Då är f(x, y) = log(t + 1) = t 1 2 t t3 + O(t 4 ) 1 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 3
Lektion 7, Flervariabelanalys den februari 000 9 Bestäm Taylorserien till funktionen log( + x + y + xy) i punkten (0, 0) Vi kan faktorisera argumentet till logaritmen och förenkla funktionen log( + x +
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs mery + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook
Läs mer7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden
Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,
Läs merMatematiska Institutionen, K T H. B. Krakus. Matematik 1. Maplelaboration 2.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. . Kommandon, funktioner och konstanter i denna laboration: expand(uttryck) simplify(uttryck) utvecklar uttrycket. T.ex. expand((x+)*(x-)^);
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs mer2x ex dx. 0 = ln3 e
Institutionen för Matematik Lösningsförslag till tentamen i SF627, Matematik för ekonomer, del 2, 6 hp. 26..7. Räkna inte denna uppgift om du är godkänd på lappskrivning 3 Visa att funktionen f (x) = x
Läs merTentamen i TATA43 Flervariabelanalys
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter
Läs merKap Dubbelintegraler.
Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs mer= 0 genom att införa de nya
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, IT, W Flervariabelanals 9 1 19 Skrivtid: 8 13. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer.
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merTavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017
Tavelpresentation - Flervariabelanalys 1E January 2017 1 Innehåll 1 Partiella derivator 3 2 Differentierbarhet 3 3 Kedjeregeln 4 3.1 Sats 2.3.4............................... 5 3.2 Allmänna kedjeregeln........................
Läs merInterpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter
Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter Några tillämpningar Animering rörelser, t.ex. i tecknad film Bilder färger resizing Grafik Diskret representation -> kontinuerlig 2 Interpolation
Läs merTentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Läs merFöreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs mer4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merAlgebra Negativa tal, Parenteser, Potenser, Bråk, Kvadreringsreglerna, Konjugatregeln
Bastermin HT, Matematik Högskolan i Halmstad Version 00-08-0/0-08-5 Bertil Nilsson/Mats Gunnarsson Häfte A Algebra Negativa tal, Parenteser, Potenser, Bråk, Kvadreringsreglerna, Konjugatregeln. Förenkla
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Läs merTentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL
Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merAntag att du går rakt norrut i ett bergslandskap. Ibland går du uppför, ibland nerför men hela tiden rakt mot norr. Vi kallar detta bäring 0.
Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Flervariabelanalys 1. Antag att du går rakt norrut i ett bergslandskap. Ibland går du uppför, ibland nerför men hela tiden rakt mot norr. Vi kallar detta
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merVisa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)
Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 2 28-8-3. Evationen är linjär och har det arateristisa polynomet p(r) r 3 r 2 + 4r 4 (r 2 + 4)(r ). Således ges lösningarna till den homogena evationen p(d)y h av y h C
Läs merMaclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning
Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merMatlab övningsuppgifter
CTH/GU MVE5-7/8 Matematiska vetenskaper Matlab övningsuppgifter Inledning Vi skall först se hur man kan lösa system av icke-linjära ekvationer. Därefter skall vi se på optimering utan bivillkor. Vi skall
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08
Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08 12.2 Gränsvärden och kontinuitet. 12.3 Partiella derivator, tangentplan och normaler till funktionsytor. 12.4 Högre ordningens derivator. 12.5
Läs merMatematiska Institutionen, K T H. B. Krakus. Differential- och integralkalkyl, del 2. Maplelaboration 1.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Differential- och integralkalkyl, del. Maplelaboration 1. Exempel 1. Vart tog den lilla sträckan vägen? Maple är utrustad med ett avanserat ritprogram. Programet
Läs merNågot om Taylors formel och Mathematica
HH/ITE/BN Taylors formel och Mathematica Något om Taylors formel och Mathematica Bertil Nilsson 207-0-0 I am the best Ett av Brooks många ödmjuka inlägg i den infekterade striden som under början av 700
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merPartiella differentialekvationer av första ordningen
Partiella differentialekvationer av första ordningen Kjell Holmåker 23 februari 2005 En kvasilinjär partiell differentialekvation av första ordningen är av formen P (x, y, u)u x + Q(x, y, u)u y = R(x,
Läs merÖvningar till Matematisk analys III Erik Svensson
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik -8-8 Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson. För varje gränsvärde nedan bestäm gränsvärdet eller visa att gränsvärdet inte existerar.
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merR AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002
RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs mer= 0 vara en given ekvation där F ( x,
DERIVERING AV IMPLICIT GIVNA FUNKTIONER Eempel. Vi betraktar som en funktion av och,,), given på implicit form genom + + 6 0. Bestäm partiella derivator och i punkten P,, ) a) med hjälp av implicit derivering
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje
Läs mer7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter
TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA9/TEN1) 212-5-22 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs mer8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM
94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.
Läs merEuler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Läs meru(x) + xv(x) = 0 2u(x) + 3xv(x) = sin(x) xxx egentliga uppgifter xxx 1. Sök alla lösningar till den homogena differentialekvationen
Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 6 Den frivilliga uppgiften U1 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Lös funktionerna u(x) och v(x) från
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merTeori för flervariabelsanalys
Teori för flervariabelsanalys Robin Andersson 28 otober 2013 1 Innehåll 1 Differentierbarhet 3 2 Kedjeregeln 4 3 Formel för beräning av ritningsderivatan av en differentierbar funtion 5 4 Taylors formel
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det
Läs merEnvariabelanalys 2, Föreläsning 4
Envariabelanalys 2, Föreläsning 4 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Repetition: Taylors sats Sats Antag att f (x) är denierad och har kontinuerliga derivator upp till och med ordning n + 1 i någon omgivning
Läs mer