Tentamen i Envariabelanalys 2

Transkript

1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys , 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna och avslutade med ett svar. Varje uppgift ger högst tre poäng. En uppgift räknas som godkänd om den bedömts med minst två poäng. För betyg, 4 respektive 5 krävs dels minst åtta, tolv respektive sexton poäng totalt, dels minst tre, fyra respektive fem godkända uppgifter. Svar finns efter skrivningstidens slut på kursens hemsida.. Betrakta ekvationen y +ay +by gx) där a,b är reella konstanter och g en kontinuerlig funktion. Bestäm a,b och gx) om man vet att yx) C e x + C 2 e x +sinx, C,C 2 godtyckliga konstanter, är den allmänna lösningen till ekvationen. Ange därefter den lösning yx) sådan att y0) y 0) Det begränsade området mellan kurvan y x x 2 och linjen y x roteras ett varv kring linjen x 2. Beräkna volymen av den uppkomna rotationskroppen.. Avgör om integralen är konvergent eller inte. 0 dx p) p) p) 4. a) Bestäm taylorutvecklingen av ordning 2 med restterm i ordoform av x kring x. ln+2x)) 2 4x 2 b) Beräkna lim. x 0 x sinx +lnx 2) x c) Beräkna lim x sin 2. x ) 5. Betrakta den ordinära differentialekvationen x 2 )yy y 2, < x <. p) 2p) a) Bestäm alla lösningar y som är konstanta för x ], [. b) Bestäm den lösning y som uppfyller y0) 2. VÄND!

2 p) 6. a) För k definiera sin a k k sin k 2 om k är udda. om k är jämnt 2p) Är ) k a k konvergent eller divergent? k b) För vilka x R är serien n ) x n n konvergent? 7. Finns det en funktion f med följande egenskaper: f är kontinuerlig på [0, [ och fx) 0, för varje heltal n 0 är fx) obegränsad på [n, [, 0 fx)dx är konvergent. Motivera att en sådan funktion inte kan finnas eller konstruera en funktion med ovanstående egenskaper.

3 Lösningsförslag till TATA42, Envariabelanalys, del2, Då yx) C e x +C 2 e x +sinx är den allmänna lösningen följer det att y h C e x +C 2 e x, dvs den karakteristiska ekvationen r 2 +ar +b 0 har lösningarna och. Faktorsatsen ger då r 2 +ar +b r )r ) r 2 4r+, dvs a 4, b. Vidare följer det att y p sinx. Insättning ger Slutligen y p 4y p +y p sinx 4cosx+sinx 2sinx 4cosx gx). y0) C +C 2 0, y x) C e x +C 2 e x +cosx y 0) C +C { { { C + C 2 0 ekv2-ekv C + C 2 0 C + C 2 2C 2 C /2 så att C 2 /2 y e x e x) +sinx. 2 Svar: a 4, b, gx) 2sinx 4cosx, y e x e x) +sinx 2 2. Vi börjar med att rita en figur. y y x x+2 x y x x 2 da x x 2 x ) ) dx +2x x 2) dx dv TP:s väg da 2πx+2) +2x x 2) dx x 2 Skärningspunkterna mellan parabeln och linjen fås ur x x 2 x x 2 2x 0 x ± + ±2,.

4 Figuren ovan och Pappos-Guldins regel ger sedan dv TP:s väg da 2πx+2) +2x x 2) dx 2π 6+7x x ) dx V 2π ) [ 6+7x x dx 2π 6x+ 7 2 x2 ] 4 x4 2π Svar: V 64π π52 20) 64π )) 2π ) 4. Integralen är generaliserad i både 0 och. Vi delar därför upp ursprungsintegralen och studerar integralerna var för sig. För 0 < x gäller 0 dx och dx x+x2 ), x +x 2 x dvs integranden är jämförbar med / x. Eftersom 0 x dx är konvergent enligt Sats 0.2 b), sid 456 i boken α /2 < ) följer det ur Sats 0. Jämförelsesats I för generaliserade integraler, sid 456) att dx är konvergent. För x > gäller x + x2 ) x 0 + x 2 x + x 2 då x. Eftersom dx x x/2dx är konvergent enligt Sats 0.2 a), sid 456 i boken α /2 > ) följer det ur Sats 0. Jämförelsesats II för generaliserade integraler, sid 458) att dx är konvergent. Då båda delintegralerna är konvergenta är den ursprungliga integralen konvergent. Anmärkning: Man kan naturligtvis använda vilken som av jämförelesesatserna i båda fallen. I detta fall fungerar båda lika bra. Svar: Integralen är konvergent.

5 4. a) Vi börjar med att sätta x +t. Då x är nära blir följaktligen t nära 0 och vi kan använda maclaurinutveckling. [ ] x x +t + 2 t + + +t + ) t /2 ) ) 2 /2 t +Ot )) 2 ) [ ] t6 t2 72 +Ot ) t x + 6 x ) 72 x )2 +Ox ) ) Svar: + 6 x ) ) 72 x )2 +Ox ) ) b) Maclaurinutveckling av täljare respektive nämnare ger + t 6 8 t2 ) 9 +Ot ) ln+2x)) 2 2x 2 2x)2 +O x )) 2 2x 2x 2 +O x ))2 ln+2x)) 2 4x 2 då x 0. Svar: 48 x sinx 4x 2 8x +O x 4) x sinx x x 6 x +O x 5)) 6 x +O x 5) 4x2 8x +Ox 4 ) 4x 2 6 x +Ox 5 ) c) Byt variabel, x +t så att x t 0. Då fås ) 8+Ox) 6 +Ox2 ) 48 +lnx 2) x sin 2 x ) +ln+t) 2) +t) sin 2 t t 2 t)2 +Ot ) t sin 2 t 9 ) sint 2 +Ot) t ln+t) t sin 2 t 9 2 t2 +Ot ) t 2 t 2 sin 2 t ) sint då t 0 eftersom lim t 0 t Svar: 9 2. standard).

6 5. a) Om yx) K för alla x ],[ så är y x) 0 för alla x ],[. Insatt i ekvationen ger detta att x 2 )K 0 0 K 2 K 2 K ±. Svar: a) De lösningar som är konstanta på ],[ är y ±. b) För x ],[ och y ± gäller x 2 )yy y 2 yy y 2 x 2 y y 2 dy 2 ln y 2 x 2 dx x )x+) dx 2 x ) dx x+ 2 ln x ln x+ +C) ) ln x 2 x+ +C ln y 2 ) x ln x+ +C ln x x+ ec y 2 x x+ ec y 2 K x x+, K 0 y ± +K x x+, K 0. Villkoret K 0 beror på att K e C. I detta fall leder K 0 till att y blir någon av konstantlösningarna från a) ovan. Eftersom y0) 2 < 0 följer det att y +K x x+, y0) 2 +K 0 0+ K 4 K K y x x+ 6 Svar: b) y x+ 2 x+) 2 x+ 6 x+ 2

7 6. a) Studera delsumman S 2N 2N k ) k a k [ ] dela upp, udda k för sig, jämna för sig N a 2k k och studera J N och U N var för sig. Vi börjar med J N. Jämförelse på kvotform med /k 2 ger då k. Då att även k a 2k k 2 sin 2k) 2 k 2 4 sin 4k 2 4k 2 4 N a 2k J N U N är konvergent enligt Sats 0.5, sid 442 i boken, följer det k2 sin 2k) 2 k är konvergent enligt Sats 0.7 Jämförelsesats II för positiva serier, sid 446). Då J N är en delsumma till ovanstående serie följer det att J N har ett ändligt gränsvärde då N. På samma sätt ser vi att U N är jämförbar med /k. Eftersom är divergent k k enligt Sats 0.5, sid 442 i boken följer det att även sin 2k + k är divergent enligt Sats 0.7 Jämförelsesats II för positiva serier, sid 446). Då U N är en delsumma till ovanstående serie följer det, eftersom termerna i U N är positiva, att U N då N. Följaktligen gäller S 2N J N U N, då N och därmed är serien divergent. Svar: Divergent. Anmärkning: Observera att serien uppfyller två av tre krav i Leibniz kriterium, den är alternerande och termerna går mot noll. Leibniz kriterium är dock inte tillämpbart eftersom termernas belopp inte avtar! k

8 b) Vi använder kvotkriteriet. a n+ a n ) 2 n n+ x n ) 2 n x n x n n ) x + n n x då n ) + n+ eftersom n+ 0 och Kvotkriteriet ger då att n potensserien är absolut)konvergent om x < och divergent om x >. x ± ger serierna ) ±) n. n n Återigen, eftersom går termerna inte mot noll. Därmed är n serierna för x ± divergenta enligt divergenstestet Sats 0., sid 46). Svar: Konvergent endast för < x <. 7. Det finns en funktion som har de efterfrågade egenskaperna! Observera att detta är en avgörande skillnad mellan serier vars termer går mot noll om serien är konvergent) och generaliserade integraler. Det finns många sätt att konstruera en sån här funktion. Ett sätt är följande: Låt T k vara en triangel med bas 2 4 k och höjd 2 k, dvs basen minskar mot 0 och höjden ökar mot då k och arean av T k A k 2 bas höjd k ) 2 k 2 2) k 2 k 2 2k 2 k 2 k 0 då k. Vi avstår från att ge en formel för hur den sökta funktionen skall se ut, utan nöjer oss med att beskriva dess graf. För x < + 4 ges grafen av T, + 4 x < 2 är f 0, för 2 x < 2+ ges grafen av T 4 2 2, 2+ x < 2 är f 0, 42 för x < + ges grafen av T 4, + x < är f 0, 4 för 4 x < ges grafen av T 4, x < 4 är f 0 och så vidare. Grafen till f består alltså av x-axeln för det mesta, dvs f 0, men till höger om

9 x k ligger triangeln T k som blir högre och smalare ju större k blir. Följaktligen uppfyller f de två första kraven i uppgiften. Återstår att beräkna integralen. Då värdet av denna är den samlade arean under grafen följer det att fx)dx arean av T k ) k 2 k 2 k 2 då summan är en konvergent geometrisk serie med kvot 2. Svar: Följaktligen finns det funktioner med de specifcerade egenskaperna. Se figur på nästa sida.

10 y 2 4 x