MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:

Transkript

1 Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den januari 6 Skrivtid: Inga jälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt oc skriv namn på varje papper. Skriv läsligt oc ögst en uppgift per sida. För att erålla full poäng på ett problem krävs en kortfattad men fullständig motivering samt ett tydligt oc eakt angivet svar på enklaste form. Betygsgränserna är 5 p för 3 oc godkänd, p för 4 oc 5 p för 5. e ( + ) cos. (a) Beräkna gränsvärdet lim sin arctan. (p) 4 (b) Beräkna integralen + d. (3p). Bestäm eventuella lokala etrempunkter oc terasspunkter till f() = 3 samt eventuella asymptoter till kurvan y = f(). Rita också kurvan i grova drag. (5p) 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p) { y + y + y = 6e, y() =, y () =. 4. (a) Härled derivatan av e. (p) (b) Bestäm den lösning y() till differentialekvationen ( + )y + y =, för vilken lim y() = π. 5. (a) För vilka värden på talet α är den generaliserade integralen (4p) α d konvergent? (b) Beräkna volymen av den rotationskropp som uppkommer då kurvan (p) y = ln,, roterar kring -aeln. (3p) 6. (a) Härled en lösningsformel för differentialekvationer av typen y + g()y = (). (p) (b) Ett mord ar begåtts i en liten stad i södra Sverige. När kriminalingenjören Pärlock Holm kommer till brottsplatsen kl. är kroppens temperaturen 9 C. När Pärlock två timmar senare lämnar brottsplatsen ar kroppens temperatur sjunkit till 5 C. På brottsplatsen är temperaturen konstant C. En levande människas normaltemperatur är 37 C oc en död kropps temperatur följer Newtons avsvalningslag dvs temperaturen avtar med en astiget som är proportionell mot skillnaden mellan kroppens temperatur oc omgivningens temperatur. När skedde mordet? (4p) Lycka till!

2 Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den januari 6 Skrivtid: Lösningsförslag. (a) Vi börjar med Maclaurinutveckling av nämnaren: sin arctan = 3 3! + 5 5!... ( ) = O(5 ). Eftersom den första icke-försvinnande termen i nämnaren är av ordning 3 så utvecklar vi täljaren t om ordning 3. Pga entydigeten os Maclaurinutvecklingen får vi ( då ): e ( + ) cos = ( + ( ) + ( )! Vi får till slut = O(4 ). e ( + ) cos sin arctan + ( )3 3! 3 = 3 + O(4 ) O(5 ) = (b) Substitutionen t = = t, t, ger d = tdt oc vi får 4 + d = = t + t tdt = + O( 4 ) ) ( + ) (! + O(4 ) ) 3 + O() 6 + då. O( ) t + t dt = pol.div [ t + t + ln + t ] = ln 3. ( + t + ) dt + t. Vi bestämmer först eventuella stationära punkter till f(): f() = 3 = eller = 3. f () = (4 3)( ) ( 3) ( ) = ( )( 3) ( ) = ( ) = Sedan undersöker vi derivatans tecken oc förutom de stationära punkterna tar vi även med punkten = där f oc f inte är definierade: 3 f () + + f() f() f(3) Till sist bestämmer vi eventuella asymptoter till kurvan y = f(). Eftersom f() är en rationell funktion där nämnaren är noll medan täljaren är skild från noll för = ar f() den lodräta asymptoten =. Pga att f() är rationell ger en enkel polynomdivision direkt eventuell sned asymptot: f() = 3 = + }{{} +. Sned asymptot Sammanfattning: Funktionen f() ar en lokal maimipunkt i = med värdet f() = oc en lokal minimipunkt i = 3 med värdet f(3) = 9. Kurvan y = f() ar den lodräta asymptoten = samt den sneda asymptoten y = + då ±.

3 Figur : Kurvan f() = Den allmänna lösningen ges av y = y + y p där y är den allmänna lösningen till motsvarande omogena ekvation oc y p en partikulärlösning till L(y) = y + y + y = L(y) = 6e. () Lösning till omogena ekvationen: Det karaktäristiska polynomet p(r) = r + r + = (r + ) ar nollställena r = r = oc den allmänna lösningen till L(y) = är därför y = (C + C )e. Partikulärlösning: Eftersom 6e är ett polynom multiplicerat med en eponentialfunktion inför vi jälpfunktionen z oc gör standardansatsen: Insättning i () ger nu y p = ze y p = (z z)e y p = (z z + z)e. y + y + y = (z z + z + (z z) + z)e = z e = 6e z = 6. Integrering ggr ger direkt att z = 3 är en lösning oc vi får y p = 3 e. Den allmänna lösningen till () är därför Från begynnelsvillkoren får vi y() = + C + = C = y = y + y p = (C + C + 3 )e. y () = (C + 3 )e + (C + C + 3 )e ( ) = (C C C )e y () = C C + = C C = C = C =. Den sökta lösningen är alltså y() = ( + 3 )e. 4. (a) Derivatan av en deriverbar funktion f() i en godtycklig punkt ges av Med f() = e får vi differenskvoten f f( + ) f() () = lim. dvs De = e. f( + ) f() = e+ e = e e e = e e e = e då }{{ } 3

4 (b) Detta är en separabel differentialekvation: ( + )y + y = y dy d = + y() = arctan + C Enligt gränsvärdesvillkoret i uppgiften ar vi: y() = Den sökta lösningen är alltså arctan + C π + C = π ( ) dy = y Allmän lösning y() = arctan + π. 5. (a) Vi beräknar den generaliserade integralen för olika värden på α: R α d = Resultatet visar att + d y = arctan + C då C = π α = : [ln ] R = ln R ln = ln R då R [ ] R α : α (α ) = R α α + α (b) Volymen ges av den generaliserade integralen: π d är konvergent omm α >. α ( ) ln (ln ) d = π d { α då R om α >. då R om α <. Substitutionen t = ln = e t ger d = e t dt oc med två partiella integrationer får vi: R (ln ) d = ln R t R e t et dt = ln R=R = [ t e t te t] R + Den sökta volymen är alltså π v.e. R t e t dt = [ t e t] R R + e t dt = [ (t + t + )e t] R = (R + R + )e R + då R dvs då R. }{{} då R te t dt 6. (a) Multiplikation med den integrerande faktorn e G() där G () = g() gör att vänsterledet kan skrivas som derivatan av en produkt: y + g()y = () y e G() + ye G() g() = D(ye G() ) = ()e G() ye G() = ()e G() d y() = e G() ()e G() d. 4

5 (b) Kroppens temperatur följer Newtons avsvalningslag dvs om T (t) är dess temperatur vid tiden t ar vi T (t) = k(t (t) T b ) T (t) + kt (t) = kt b där T b är temperaturen på brottsplatsen oc k > en konstant. Detta är en linjär differentialekvation av :a ordningen som kan lösas på vanligt sätt genom multiplikation med den integrerande faktorn e kt : T (t)e kt + T (t)e kt k = D(T (t)e kt ) = kt b e kt T (t)e kt = kt b e kt dt = T b e kt + C T (t) = Ce kt + T b där C är en konstant. Om begynnelsetemperaturen (dvs kroppens temperatur då Pärlock kommer till brottsplatsen) är T ar vi: oc vi får T () = Ce + T b = T C = T T b T (t) = (T T b )e kt + T b. Eftersom kroppens temperatur sjunker från 9 C till 5 C på timmar vid temperaturen T b = C får vi T () = (9 )e k + = 5 k = ln dvs T (t) = 8e ln t + = 8 t +. Vid tidpunkten för mordet, t m, var kroppstemperaturen 37 C vilket ger T (t m ) = 8 tm + = 37 tm =. Mordet skedde alltså timmar innan Pärlock anlände dvs kl.. 5