TENTAMEN HF1006 och HF1008

Transkript

1 TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN jan 06 Tid 5-75 Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Inge Jovik Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär algebra och analys, HF006 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs 9 av ma poäng För betyg A, B, C, D, E, F krävs 0, 7, 5,, 9 respektive 8 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 8 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) arccos( ) b) (p) Om g( ) bestäm inversen g ( ) c) (p) Beräkna gränsvärdet lim 0 tan() d) (p) Beräkna gränsvärdet lim 0 sin( ) + sin() Uppgift (p) a) (p) Anta att y är deriverbar funktion av som satisfierar ekvationen + 6y + y 8 Bestäm derivatan y genom implicit derivering b) (p) Bestäm derivatan till / + f ( )

2 Uppgift (p) Låt f ( ) a) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) Rita funktionens graf Uppgift (p) Beräkna följande integraler a) ln d b) d + 5 Uppgift 5 (p) Lös differentialekvationen y y, y()0 Uppgift 6 (p) Bestäm den allmänna lösningen differentialekvationen y ( ) + y ( ) + 5y( ) Uppgift 7 (p) Bestäm strömmen i( och laddningen q( i nedanstående LRC krets L R C i( U om induktansen L henry, resistansen R 0 ohm, kapacitansen C 00 farad och spänningen U volt Begynnelse villkoren: i(0)0 ampere och i ( 0) ampere/sekund Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i( Lycka till

3 Facit: Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) arccos( ) b) (p) Om g( ) bestäm inversen g ( ) c) (p) Beräkna gränsvärdet lim 0 d) (p) Beräkna gränsvärdet tan() lim 0 sin( ) + sin() Lösning: a) b) Vi löser ut ur ekvationen g( ) y y y y y y y y y Därmed f y ( y) y eller (om vi betecknar oberoende var med ) f ( ) c) 0 lim [typ, L' Hospitals 0 0 ( ) lim 0 regel] d) tan() lim [typ 0 sin( ) + sin() 0 0, L' Hospitals regel] cos () lim 0 cos( ) + cos() +

4 Svar: a) b) Rättningsmall: a),b),c),d) f ( ) rätt eller fel c) d) / Uppgift (p) a) (p) Anta att y är deriverbar funktion av som satisfierar ekvationen + 6y + y 8 Bestäm derivatan y genom implicit derivering b) (p) Bestäm derivatan till Lösning / + f ( ) a) + 6y + 6y + yy 0 y ( 6 + y) 6y + 6y + y y 6 + y + y b) Lösning: Metod Vi logaritmerar båda sidor + ln f ( ) ln ln + ln Vi deriverar båda sidor ekvationen ln f ( ) ln + ln och får f '( ) f ( ) ( + ) ( ) Härav f ( ) + f '( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) / / Metod Kedjeregeln: / + ( )( + ) /

5 / + ( ) ( + ) + f ( ) / / ( ) ( ) ( ) ( + ) / Svar: a) + y + y b) f ( ) f '( ) ( / / ) ( ) ( + ) Rättningsmall: a) Korrekt derivering dvs uttrycket + 6y + 6y + yy 0 ger p Allt korrekt p f '( ) b) Metod : Korrekt till uttrycket ger p f ( ) ( + ) ( ) / + ( ) ( + ) Metod : Korrekt till uttrycket f ( ) ger p ( ) Allt korrekt p Uppgift (p) f ( ) Låt a) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) Rita funktionens graf Lösning a) Stationära punkter f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f () 0 0 ( ) 0

6 Funktionen f ( ) är inte definierad i och Förstaderivatans teckenstudie: ( ) f () + 0 ej def 0 ej def 0 + f () ma ej def terrass punkt ej def min I punkten har funktionen (lokal maimum ( ) f ( ) ( ) Punkten 0 är en terrasspunkt där f ( 0 ) 0 I punkten har funktionen (lokal minimum ( ) f ( ) ( ) b) Asymptoter till f ( ) I punkter ± är nämnaren 0 och täljaren 0 Därför f () ± då och därmed är och två vertikala asymptoter Polynomdivision: f ) + Då är y en sned asymptot ( c) Grafen till f ( )

7 Svar: a) är en maimipunkt, 0 är en terrasspunkt, är en minimipunkt b) två vertikala/lodrätta asymptoter och, samt en sned asymptot y c) se grafen Rättningsmall: a) Allt korrekt p Korrekta punkter (men fel typ för minst en av punkterna) p Korrekt en stationärpunkt och punktens typp b) rätt eller fel c) rätt eller fel Uppgift (p) Beräkna följande integraler a) ln d b) d + 5 Lösning: a) Vi använder partiell integration: f ( ) g ( ) d f ( ) g( ) f ( ) g( ) d Part int f ( ) ln f ( ) g ( ) g( )

8 d d d + C ln ln ln ln 9 b) Först delar vi i partiella bråk: + 5 ( + 5) A B + A( + 5) + B ( A + B) + 5A ( + 5) + 5 Härav 5A A + B 0, som ger A / 5 och B / 5 och därmed /5 / /5 /5 Slutligen d d ln ln C Svar: a) ln + C 9 b) ln ln C 5 5 Rättningsmall: a) Allt korrekt p b) Allt korrekt p Uppgift 5 (p) Lös differentialekvationen y y, y()0 Lösning: Ekvationen är både separabel och linjär METOD (separabel DE) dy dy d dy d y y y y + ( y + ) d y + y + ln y + ln + C Vi använder villkoret y()0 ln( y + ) ln( ) + C ln + C C ln C C y + e y + e e y + e y + ± e som vi kan skriva på C enklare sätt y + D (eftersom ± e är en konstan Vi använder villkoret y()0 och får 0 + D D Därmed y + eller y METOD (linjär DE) Från ekvationen får vi

9 P( ), Q( ) För att bestämma integrerande faktor F beräknar vi P( ) d Lägg märke till att en konstant C redan finns i formel () så att vi behöver endast en primitiv funktion P( ) d d ln [eftersom > 0] ln och därför F e P( ) d ln e Den integrerande faktorn substituerar vi i formel () y( ) F ( C + F Q( ) d) och får y ( ) F ( C + F Q( ) d) y ( ) ( C + d) y ( ) ( C + d ) y ( ) ( C ) y C (den allmänna lösningen) För att bestämma C använder vi villkoret y()0 och får 0 C C Därmed y Svar: y Rättningsmall: Korrekt till y ( ) ( C + d) ger p Allt korrektp Uppgift 6 (p)

10 Bestäm den allmänna lösningen differentialekvationen y ( ) + y ( ) + 5y( ) Lösning: i) Vi bestämmer först den homogena lösningen y H, d vs den allmänna lösningen till ekvationen y ( ) + y ( ) + 5y( ) 0 Den karakteristiska ekvationen r + r har två komplea rötter har två komplea rötter r ± i Härav får vi två baslösningar y e cos( ) och y e sin( ) y c, y c y ce ce och därför är sin( ) cos( ) H ii) För att bestämma en partikulär lösning ansätter vi + För att bestämma koefficienter A och B beräknar vi derivator y p A, y 0 p + y p A + B och substituerar i ekvationen y ( ) + y ( ) + 5y( ) 0 + A + 5( A + B) 5 A + A + 5B Identifiering av koefficienter ger följande system med två ekvationer: 5A A + 5B 0 Från första ekvationen har vi A/5andra ger B /5, Detta ger y 5 p 5 Slutligen y( ) y ( ) + y ( ) H p y( ) ce sin( ) + ce cos( ) Svar: y( ) ce sin( ) + ce cos( ) + 5 Rättningsmall: Korrekt lösning till homogena ekvationen p En partikulär lösning p Uppgift 7 (p) 5 Bestäm strömmen i( och laddningen q( i nedanstående LRC krets

11 L R C i( U om induktansen L henry, resistansen R 0 ohm, kapacitansen C 00 farad och spänningen U volt Begynnelse villkoren: i(0)0 ampere och i ( 0) ampere/sekund Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i( Lösning: METOD Från kretsen får vi följande diff ekv di( L + Ri( + q( u( ( efter subst L, R och C ) dt C i ( + 0i( + 00q( (ekv) Vi eliminerar en obekant q( genom att derivera ekvationen Derivering ger (eftersom q ( i( ) i ( + 0i ( + 00i( 0 0t 0t Härav i( C e + C e För att bestämma C och C använder vi begynnelsevillkoren i ( 0) 0 och i ( 0) som vi substituerar i i( C e + C e 0t 0t och i 0t 0t ( 0Ce 0Ce Vi får två ekvationer: C + C 0 och 0C 0C Härav C / 0 och C / 0 Slutligen i( e 0 e 0 0t 0t Metod a för laddningen

12 Från ekvationen i ( + 0i( + 00q( får vi q( ( i ( 0i( ) / 00 [ ( e [ e 0t + e 0t ]/ 00 0t 0t Alltså q( ( e + e ) / 00 0t + e Metod b för laddningen efter att vi har bestämt i ( q( kan vi få genom att integrera i ( : 0t ) 0( 0t 0t 0t 0t q( ( e e ) dt e + e + C (*) e 0t 0 e 0t ))]/ 00 Från ekvationen i ( + 0i( + 00q(, kan vi bestämma q(0) genom att substituera t0: i ( 0) + 0i(0) + 00q(0) q(0) q(0) / 00 Från (*) har vi nu C C t 0t Alltså q( e + e t e + e t METOD Man kan eliminera q( ur ekvationen i ( + 0i( + 00q( (ekv) genom att substituera q ( i( och därför q ( i ( Vi får q ( + 0q ( + 00q( (ekv) Ett begynnelse villkor för q ( får vi genom att substituera i(0)0 och i ( 0) i i ( + 0i( + 00q( (ekv) Detta gör q ( 0) / 00 Andra villkoret får vi ur q ( i( och i ( 0) 0 som gör q ( 0) i(0) Därmed löser vi ekvationen q ( + 0q ( + 00q( (ekv), med villkoren q ( 0) / 00 och q ( 0) 0t 0t Standard lösningsmetod gör q( ( e + e ) / 00 Slutligen strömmen i( q ( e 0 0t 0t e 0

13 0t 0t 0t 0t Svar: i( e e ampere, q( ( e + e ) / 00 coulomb 0 0 Rättningsmall: Korrekt upställning av ekvationen i ( + 0i( + 00q( p 0t 0t Korrekt allmän lösning i( Ce + Ce p p för korrekta konstanter C / 0, C / 0 Alt korrekt p