TENTAMEN HF1006 och HF1008

Transkript

1 TENTAMEN HF6 och HF8 Datum TEN 8 jan 9 Tid -8 Linjär algebra och analys, HF6 och HF8 Lärare: Maria Shamoun, Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs av ma poäng För betyg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, respektive 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) ln( ) ln(8 ) b) (p) Beräkna gränsvärdet sin 5 lim cos ln ln c) (p) Beräkna gränsvärdet lim cos ln() d) (p) Bestäm derivatan till funktionen f ( ) arctan() e Uppgift (p) Låt f( ) a) Bestäm funktionens definitionsmängd b) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär c) Bestäm eventuella asymptoter till f () d) Rita funktionens graf Uppgift (p) a) Bestäm Taylorpolynomet av ordning kring punkten för funktionen y sin() b) Bestäm approimativt sin() och uppskatta felet Tips: Taylors formel kring punkten A är ( n) f ( a) f ( a) f ( a) n f ( ) f ( a) f ( a)( a) ( a) ( a) ( a) R!! n! ( n) f ( c) n där R ( a) och c är ett tal som ligger mellan a och ( n )! Var god vänd

2 Uppgift (p) Beräkna följande integraler a) (p) 8 cos(5 5) d (Tips: substitution) b) (p) ( 5) cosd (Tips: part int) Uppgift 5 (p) Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av, y (dvs området som begränsas av -aeln, y aeln och kurvan y ) roterar kring a) -aeln, b ) y-aeln Uppgift 6 (p) Lös följande differentialekvation dy y y d Uppgift 7 (p) Bestäm strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L= henry, resistansen R= 5 ohm, kapacitansen C= farad och 6 spänningen U volt Dessutom gäller följande begynnelsevillkor för strömmen i ( ) och laddningen q ( ) Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i( Uppgift 8 ( p) Använd substitutionen y( ) ( z( )) /, där z() är en ny obekant funktion, för att lösa följande differentialekvation y( ) y ( ), där och y y( ) Lycka till

3 FACIT Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) ln( ) ln(8 ) b) (p) Beräkna gränsvärdet sin 5 lim cos ln ln c) (p) Beräkna gränsvärdet lim cos ln() d) (p) Bestäm derivatan till funktionen f ( ) arctan() a) f ( ) ln() ln(8 ) Funktionen måste uppfylla två villkor: V: och V: 8 8 (dela med -) Definitionsmängden blir därför b) sin5 5cos5 lim typ, l'h lim typ, l'h cos sin 5 5sin 5 5sin 5 lim cos cos c) ln ln lim typ, l'h lim typ, l'h cos sin lim cos d) ln() f ( ) arctan()

4 f arctanln arctan Svar: a) b) 5 c) arctanln d) f arctan Rättningsmall: p för varje del Uppgift (p) Låt f( ) e a) Bestäm funktionens definitionsmängd b) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär c) Bestäm eventuella asymptoter till f () d) Rita funktionens graf a) Svar: < b) e 8e f( ) gäller: för e 8e e för gäller:, ligger utanför intervallet och ska därför förkastas är en brytpunkt och man behöver därför undersöka om f ( ) är deriverbar i denna punkt

5 Funktionen är deriverbar om lim f lim f lim lim e funktionen f ( ) är inte deriverbar i punkten Teckentabell för f ( ) : värden f ( ) + Svar b: Det finns en stationär punkt: som är en mapunkt c) Undersöker om det finns horisontella asymptoter: för gäller: e e lim e lim typ,l'h lim Alltså är y en horisontell asymptot då går mot (dvs vänster horisontell asymptot (Notera att funktionen inte är definierad för ) Vertikala asymptoter: lim vilket betyder att är en vertikal asymptot Svar c: Funktionen har en (vänster) horisontell asymptot är y och en vertikal asymptot d) Vi använder ovanstående beräkningar för att rita grafen (Funktionens värde i stationära punkten är f( ) e 7)

6 Rättningsmall: p för varje del Uppgift (p) a) Bestäm Taylorpolynomet av ordning kring punkten för funktionen y sin( ) b) Bestäm approimativt sin() och uppskatta felet Tips: Taylors formel kring punkten A är f ( a) f ( a f ( ) f ( a) f ( a)( a) ( a) ) ( ) f n ( a ) ( a) ( a) n R!! n! ( n) f ( c) n där R ( a) och c är ett tal som ligger mellan a ocho ( n )! Vi beräknar f ( ) sin, f ( ) cos, f ( ) sin, f ( ) cos, f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Taylorpolynomet av ordning är P() ( ) 6 f ( a) f ( a)( a)! ( )! f ( a) ( a)! ( ) f ( a) ( a)! (där a=)

7 b) sin() Felet ges av formeln R f ( a) ( n )! ( n) ( c) n För att uppskatta felet beräknar vi även f () ( Vi har () ) sin dvs f ( c) sinc () f ( c) sinc sinc R ( ) ()!! Eftersom sin c har vi uppskattning sinc R Svar: a) b) P( ) sin( ) där 6 felet Rättningsmall: a) p om alla derivator till och med ordning är korrekta p om allt är korrekt b) p för sin( ) p för feluppskattning 6 Uppgift (p) Beräkna följande integraler a) (p) 8 cos(5 5) d (Tips: substitution) b) (p) ( 5) cosd (Tips: part int)

8 a) 8 cos(5 5) d dv 8cos( v ) sinv C sin(5 5) C 5 5 Subs: 5 5 v, 5 d dv, dv d 5 b) ( 5) cosd uv uvd ( 5)sin sin d Part int: u 5, v cos u v sin ( 5)sin 8 cos C Svar a) sin(5 5) C b) ( 5)sin cos C 5 Rättningsmall: p för varje del Uppgift 5 (p) Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av, y (dvs området som begränsas av -aeln, y aeln och kurvan y ) roterar kring a) -aeln, b ) y-aeln a) V f ( ) d 5 [ 5 b) [ 8 ] 5 Vy f ( ) d ] d ( d ( ) d ) d

9 8 Svar a) b) 5 Rättningsmall: p för varje del Uppgift 6 (p) Lös följande differentialekvation dy y y d Vi separerar variabler: dy y y d dy ( ) y d (Notera att konstanta funktionen y= är en uppenbar lösning till DE ) Om y (och ) har vi dy ( ) d y Vi integrerar båda leden dy y ( ) d dvs y dy ( ) d, och får y ln C eller ( ln C) y Lösningen kan skrivas på eplicitform: y ln C Svar: y är den allmänna lösningen (Ekvationen har dessutom en sk ln C singulär lösning y=) Rättningsmall: p om man kommer till p om man kommer till y ln C dy ( ) d y

10 Uppgift 7 (p) Bestäm strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L= henry, resistansen R= 5 ohm, kapacitansen C= farad och 6 spänningen U volt Dessutom gäller följande begynnelsevillkor för strömmen i ( ) och laddningen q ( ) Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i( Från kretsen får vi följande diff ekv di( L Ri( q( u( dt C dvs ( efter subst L, R och C) i ( 5i( 6q( (ekv ) Vi eliminerar q ( genom att derivera ekvationen (notera att q ( i( ) Vi får i ( 5i( 6i( (en homogen DE) Härav i( t t Ce Ce För att bestämma C och C använder vi begynnelsevillkoren i ( ) och q ( ) Första villkoret kan vi använda direkt: Vi substituerar i( ) i lösningen i( t t Ce Ce och får C C (ekv a)

11 För att få ett villkor som innehåller i () substituerar vi q ( ) (och i()=) i startekvationen i ( 5i( 6q( (ekv ) Vi får i ( ) 5i() 6q() dvs i ( ) 5 6 som ger i ( ) 88 Nu kan vi använda i ( C e t C e t och få andra ekv på C, C: C C 88 (ekv b) Från (ekva ) och (ekvb ) har vi C 58, C 68 Slutligen i( t t 58e 68e Svar: i( t t 58e 68e Allternativ lösningsmetod: Vi kan lösa ekvationen L q( Rq( q( u(, C där q( är en obekant funktion, och därefter bestämma strömmen i( q( Rättningsmall: Korrekt till i ( 5i( 6i( (eller till en ekvivalent ekvation med enbart q ( ) ger p Korrekt till i( t t Ce Ce ger totalt p Korrekt i ( ) 88 ger +p Allt korrekt =p

12 Uppgift 8 ( p) Använd substitutionen y( ) ( z( )) /, där z() är en ny obekant funktion, för att lösa följande differentialekvation y( ) y ( ), där och y y( ) / y( ) ( z( )) ger y z z Substitutionen y( ) Detta substitueras i ekvationen y ( ) och fås y( ) / z z z / z / Multiplikation med z ger en linjär DE z z En Integrerande faktor är F e d Pd ln ln e Nu är z F ( C F Qd) ( C d) ( C d) ( C ) Från substitutionen e e / y z har vi / Svar: y ( C ) Rättningsmall: z Korrekt till z ger p Allt korrekt=p / y ( C ) ( den allmänna lösningen)