Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Transkript

1 TENTAMEN juni 0 HF006 och HF008 Tid :-7: Moment: TEN (Analys), hp, skriftlig tentamen Kurser: Analys och linjär algebra, HF008, lärare: Fredrik Bergholm och Inge Jovik, Linjär algebra och analys, HF006, lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs 0 av ma poäng För betyg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, 0 respektive 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Uppgift (p) Beräkna följande gränsvärden 6 (p) sin() 0 e (p) Uppgift (p) Bestäm inversen till funktionen + 6 f ( ) = + e (p) Bestäm definitionsmängden för inversfunktionen (p) Uppgift (6p) Beräkna d + (p) Beräkna ln( ) d (p) Var god vänd!

2 Uppgift (p) Bestäm den lösning till differentialekvationen (p) y' y = 9 +, >0 som satisfierar y()= Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen (p) + y' + y = e y 0 Uppgift (p) Vi betraktar funktionen y = e e för 0 Bestäm eventuella asymptoter Bestäm eventuella lokala etrempunkter och etremvärden till funktionen c) Rita grafen till funktionen d Bestäm funktionens värdemängd Uppgift 6 (p) Bestäm, för t > 0, strömmen i(, i nedanstående LR krets (p) om L= H, R= Ω och U = V Vid t=0 gäller följande villkor: i(0) = 0 A Beräkna i( (p) Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Lycka till!

3 FACIT: Uppgift (p) Beräkna följande gränsvärden 6 (p) sin() 0 e (p) Alternativ 6 ( ) ( = ( ) ( + + ) ( )( = ) = ( + ) = Alternativ =, L'Hospitalsregel = = 0 sin() 0 cos() =, L'Hospitalsregel = = e e Svar:, Rättningsmall: ( samma för korrekt metod, men räknefel =p Allt korrekt =p Uppgift (p) Bestäm inversen till funktionen + 6 f ( ) = + e (p) Bestäm definitionsmängden för inversfunktionen (p) Först löser vi ut ur y = + e e y = + 6 = ln y y 6 y = 6 + ln = + ln 6 Svar a: f ( y) = + ln y Anmärkning: Man brukar byta plats på och y ( för att få som oberoende variabel i ovanstående uttryck) )

4 6 Vi kan skriva svaret som f ( ) = + ln eller även med en annan bokstav 6 för oberoende variabel t e t: f ( = + ln t Definitionsmängd till inversen: y > 0 y > 0 y > Svar b: D = (, ) f Rättningsmall: ( samma för Allt korrekt =p Uppgift (6p) Beräkna d + Beräkna ln( ) d (p) (p) Först delar vi integranden i partiella bråk: A B = + = A( + ) + B (*) ( + ) + Eftersom (*) måste gälla för alla väljer vi två värde ( som leder till enkla ekvationer ) : = 0 = A(0 + ) + 0 A = / = = 0 B B = / / / Därför = ( + ) + / / d = ( ) d + + = (ln ln + ) + C ln( ) d = Förs använder vi substitutionen = ln( dt (part integration) = ( t lnt td + C t Partial integration för

5 = ( t ln t d + C = ( t ln t + C = ln + Svar: = C (ln + ln + ) + C b ) ln + C Rättningsmall: p för korrekt partiall uppdelning Allt korrekt =p poäng för korrekt substitutionen Allt korrekt =p Bortglömda integrationskonstanter i både a och b delen ger ma p Uppgift (p) Bestäm den lösning till differentialekvationen (p) y' y = 9 +, >0 som satisfierar y()= Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen (p) y + y' + y = 0e Man kan lösa ekvationen med hjälp den integrerande faktorn nedanstående formel Vi använder formeln P( ) d P( ) d y( ) = e ( C + Q( ) e d) (*) där, i vårt fall, P( ) = och Q( ) = 9 Först beräknar vi integralen F = e P( ) d eller direkt, med = D P( ) d d= ln + D= ln + ( eftersom >0) Vi använder en primitiv funktion till P() till eempel ln formeln (*) ) (eftersom konstanten C finns redan i

6 y( ) ln = e ( C + 9 e ln d) = ( C + 9 d) = ( C + 9 d) = ( C + ) = C + För att bestämma C använder vi villkoret y()= C = + C =, därmed y = + Homogena delen har karakteristiska ekvation r + r + = 0 r = ± = ± i, Därför y H = C e sin + Ce cos En partikulär lösning får vi med hjälp av ansatsen y = p Ae som ger y = ' Ae och y = Ae Vi insätter ovanstående i ekvationen y + y' + y = 0e och får : Ae + Ae + e = 0e A = och därför y p = e Den allmänna lösningen är y = yh + y p = C e sin + Ce cos + Svar: e y + = y = C e sin + Ce cos + e Rättningsmall: p för korrekt allmän lösning Allt korrekt =p En poäng för korrekt homogena delen Allt korrekt =p

7 Uppgift (p) Vi betraktar funktionen y = e e för 0 Bestäm eventuella asymptoter Bestäm eventuella lokala etrempunkter och etremvärden till funktionen c) Rita grafen till funktionen d Bestäm funktionens värdemängd Enligt uppgiften är funktionens definitionsmängd Df=[0, ) där ( e e ) = = 0 Funktionen är definierad och kontinuerlig f ör alla [ 0, ) ( och 0 dessutom ( e e ) = 0 ) Därför har funktionen ingen vertikal asymptot] 0 Nu undersöker vi f() då + ( e e ) = 0, + Därmed har funktionen en horisontell ( vågrä asymptot, y=0, då + Stationära punkter: f ( ) = e + e = 0 e = e ln(e ) = ln( e ln = ln = = ln() ) En stationär punkt = ln(), f ( ) = e = f ln ln ln ln e = e e = ger ( ) = < 0 ( ) = e 6e f ( maimum)

8 ln() Alltså = är en maimipunkt c) Grafen: d) Funktionens värdemängd är [0, /] Rättningsmall: p för korrekt a, b, c eller d Uppgift 6 (p) Bestäm, för t > 0, strömmen i(, i nedanstående LR krets (p) om L= H, R= Ω och U = V Vid t=0 gäller följande villkor: i(0) = 0 A Beräkna i( (p) Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Från kretsen får vi följande diff ekv di( L + R i( = U (ekv) dt Efter subst L, R och C har vi i ( + i( = (ekv )

9 Ekvationen har konstanta koefficienter! Först löser vi homogena delen i ( + i( = 0 som har den karakteristiska ekvationen: r + = 0 r = Härav t ih = ce En partikulär lösning har formen 0 + A = A = / i p = A som vi substituerar i ( ekv ) och får t Därför i ( = ih + ip = ce + dvs t i ( = ce + Villkoret i(0) = 0 ger 0 = c + c = Därmed t i ( = e + i ( = e t + = Svar: t i ( = e + i( = Rättningsmall: p för korrekt lösning till homogena ekvationen, p p för den partikulära lösningen, allt korrekt i a delen = p p för korrekt löst b delen