TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2016 Skrivtid 9:00-13:00

Transkript

1 TENTAMEN Kurs: HF9 Matematik, moment TEN (analys) Datum: 9 okt 6 Skrivtid 9:-: Eaminator: Armin Halilovic Rättande lärare: Erik Melander, Elias Said, Jonas Stenholm För godkänt betyg krävs av ma 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget F på MINA SIDOR Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten) Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Skriv klass på omslaget, A, B eller C (eller omregistrerad) Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar Uppgift (4p) (Har du klarat KS hoppar du över uppgift ) 6 a) Beräkna lim ln( ) b) Beräkna lim c) Bestäm derivatan y () där y () är implicitdefinierad genom 4 + y 8 d) Låt f (, sin( + y ) Bestäm f y (, Var god vänd!

2 + + 6 Uppgift (4p) Vi betraktar funktionen f ( ) a) Bestäm samtliga asymptoter (lodräta/vågräta/sneda) b) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/ma/terrass) c) Rita grafen Uppgift (4p) En rektangel, som vi betecknar ABCD, ligger i första kvadranten, har ett hörn i punkten A(,), sidan AB på aeln och sidan AD på y aeln Hörnet C ligger på kurvan y (se figuren) + Bestäm koordinaterna till C så att arean av rektangeln ABCD blir maimal Uppgift 4 (4p) Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området, y sin, roterar a) kring -aeln b) kring y-aeln Uppgift 5 (p) a) Bestäm Maclaurins polynom ( Taylors polynom kring ) av ordning till funktionen f ( ) ln( + ) ln( + ) b) Beräkna lim +, (med vilken metod som helst) Uppgift 6 (p): Beräkna volymen av den kropp som definieras av K (, y, z) : < <, < y <, < z < 4 + y { } Uppgift 7 (4p): För området D som definieras av y +, bestäm: a) yttröghetsmoment med avseende på -aeln, b) yttröghetsmoment med avseende på y-aeln Lycka till

3 FACIT Uppgift (4p) (Har du klarat KS hoppar du över uppgift ) 6 a) Beräkna lim ln( ) b) Beräkna lim c) Bestäm derivatan y () där y () är implicitdefinierad genom 4 + y 8 d) Låt f (, sin( + y ) Bestäm f y (, 6 a) lim L' H lim 5 typ ln( ) b) lim L' H lim typ c) Implicitderivering: + 4y y 4y y y 4y d) f y (, 6y cos( + y ) Svar: a) 5 b), c) y d) f (, ) 6 cos( ) y y y + y v 4y Rättningsmall: p för varje del Rätt eller fel Uppgift (4p) Vi betraktar funktionen f ( ) a) Bestäm samtliga asymptoter (lodräta/vågräta/sneda) b) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/ma/terrass) c) Rita grafen a) Definitionsmängd: Ekvationen saknar reella lösningar Funktionen är definierad och kontinuerlig för alla Därmed saknas lodräta (vertikala) asymptoter Eftersom / + 6 / lim f ( ) lim lim / + 8/ är y en höger vågrät (horisontell) asymptot Samma gäller om dvs lim och därmed är y också en vänster horisontell asymptot (Därmed saknas sneda asymptoter)

4 b) Stationära punkter: ( + )( f ( ) ) ( + + 6)( + 4) ( ) ( + 4 f ( ) eller 4 ( ) 5 Vi beräknar f () och f ( 4) 4 4 Derivatans teckentabell ) ( + 4) ( ) ( ) f () + + f () väer ma avtar min väer visar att 4 är en maimi punkt medan är en minimipunkt c) Grafen till funktionen Svar: a) y är en vågrät (horisontell) asymptot b) 4 är en maimi punkt ; är en minimipunkt c) Se ovan Rättningsmall: a) Korrekt horisontell asymptot y ger p b) Korrekta alla stationera punker p Korrekt en stationer punkt samt punktens karaktärp Allt korrektp c) Rätt eller fel

5 Uppgift (4p) En rektangel, som vi betecknar ABCD, ligger i första kvadranten, har ett hörn i punkten A(,), sidan AB på aeln och sidan AD på y aeln Hörnet C ligger på kurvan y (se figuren) + Bestäm koordinaterna till C så att arean av rektangeln ABCD blir maimal Punkten C (, (, ) + ligger i första kvadranten och har därmed är Arean A av rektangeln ABCD är lika med A y + + da ( + ) ( )( + ) Derivatan d ( + ) ( + ) ( + ) Derivatan är om ± Eftersom C ligger i första kvadranten har vi ( + ) Vi analyserar tecken av första derivatan i intervallet (eftersom C ligger i första kvadranten) ( +) f () + f () väer ma avtar Alltså är punkten en maimipunkt Arean är störst om C (, ) (, ) + Svar: C (, ) Rättnings mall: Korrekt till C (, ) ger p Korrekt till Arean ger p + + Korrekt derivatan ger p Allt korrekt4p ( + ) Uppgift 4 (4p) Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området,

6 roterar y sin, a) kring -aeln b) kring y-aeln V b cos() ( f ( )) d 4sin d 4 d a sin( ) / Vy f ( ) d sin d 4 sin d b a / [ 4 ( cos + sin ) ] [ 4 ( + ) ] 4 sin d ( partiell int) Anmärkning: Svar: a) ( cos()) d cos ( cos ) d cos + sin + C V, Vy 4 cos() Rättningsmall: a) Korrekt till V 4 d ger Allt korrektp b) Korrekt till Vy cos ( cos ) d ger p Allt korrektp Uppgift 5 (p) a) Bestäm Maclaurins polynom ( Taylors polynom kring ) av ordning till funktionen f ( ) ln( + ) ln( + ) b) Beräkna lim + a) f ( ) ln( + ), f ( ), + f ( ) ( + ), f ( ) ( + ) ( + ) f ( ) ln(), f ( ) f ( ), f ( ) Maclaurins polynom av ordning : f () f () P ( ) f () + f () !!!! b) Metod (L Hospitals regel) ln( + ) lim [ typ, LHospitals regel ] +

7 lim + [ typ, LHospitals regel ] 6 + ( + ) lim Metod (Vi använder resultatet i a-delen) ln( + ) - lim (enligt a - delen) lim (förkorta med ) lim Svar: a) + b) 6 Rättningsmall: Rättningsmall: p för varje del Rätt eller fel Uppgift 6 (p): Beräkna volymen av den kropp som definieras av K (, y, z) : < <, < y <, < z < 4 + y d { } [ + ] y (4 + y ) dy [4y + y ] y d (4 + ) d Svar: V Rättningsmall: Korrekt till + y [ 4y y ] y d ger p Allt korrektp Uppgift 7 (4p): För området D som definieras av y +, bestäm: a) yttröghetsmoment med avseende på -aeln, b) yttröghetsmoment med avseende på y-aeln a) Yttröghetsmoment med avseende på -aeln är + y ( + ) I y ddy d y ddy d d D ( + ) Metod för d : +

8 [subst: + t, d dt, gränser: t, t ] 4 ( + ) t t d dt Metod för samma integral: ( + ) d ( 6 8 ) d Anmärkning: ( + ) kan beräknas enligt ( + ) ( + )( + ) ( + )( ) , eller direkt med formeln Alltså I y 65 I 65 ( a + b) a + a b + ab + b + y + ddy d ddy [ y] y d + ) d ( + D Svar: a) I b) I y ( + ) Rättningsmall: a) Korrekt till b) Korrekt till ( + ) d ger p Allt korrektp d ( ) d ger Allt korrektp