Tentamen i Linjär algebra, HF1904 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Transkript

1 Tentamen i Linjär algebra, HF94 eempel Datum: Skrivtid: 4 timmar Eaminator: Armin Halilovic För godkänt betg krävs av ma 4 poäng. Betgsgränser: För betg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng. Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering betg F. Vem som har rätt till komplettering framgår av betget F på MINA SIDOR. Komplettering sker inom se veckor efter att resultat meddelats. Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad miniräknare är inte tillåten. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Skriv endast på en sida av papperet. Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, speciellt tdligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget Inlämnade uppgifter skall markeras med krss på omslaget. Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar. Uppgift. p Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift. Beräkna omkretsen av triangeln ABC där A,,, B,,, C,,. Uppgift. p Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift. Låt A vara skärningspunkten mellan linjen,, t, t, t och planet. Beräkna avståndet mellan punkten A och punkten B,,. Uppgift. p Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift. i i i Skriv om talet e π på formen abi. i Var god vänd. Sida av 8

2 Uppgift 4 p Låt F,, och a,, Bestäm två vinkelräta ortogonala vektorer u och v så att F u v och att u blir parallell med a se figuren nedan. Uppgift 5. 4p Två rmdskepp med namn Rmdfarare och Rmdfarare åker samtidigt från Jorden, vilken anses har koordinaterna,,. Efter t månader har Rmdfarare positionen t, 4t, 4t och Rmdfarare har positionen 5t, t, 4t. a p Vilket av rmdskeppen är längst från Jorden efter t månader? b p Efter en månad monterar man i Rmdfarare en svag laser som skall peka mot Rmdfarare. I vilken riktning skall lasern peka? c p Hur stor blir arean av den triangel som har Jorden och rmdskeppen i sina hörn efter t månader? Uppgift 6. p a p Rita ut i det komplea talplanet de tal som uppfller dels att Re > samt att och att π/4<arg<7π/4. b p Ekvationen 8, har en lösning i. Bestäm alla lösningar. Uppgift 7. 4p a p Lös matrisekvationen A B C med avseende på där A, B, C. b p Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen M. 4 Uppgift 8. p Ekvationen i i beskriver en rät linje i det komplea talplanet. Sätt i och skriv ekvationen på formen k m. Uppgift 9. p Låt, och vara heltal. Visa att determinanten är delbart med. Lcka till! Sida av 8

3 FACIT: Uppgift. p Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift. Beräkna omkretsen av triangeln ABC där A,,, B,,, C,,. Omkretsen O AB BC CA O,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 Svar: Omkretsen är 5 Rättningsmall: Korrekt en sidas längd p. Allt korrektp. Uppgift. p Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift. Låt A vara skärningspunkten mellan linjen,, t, t, t och planet. Beräkna avståndet mellan punkten A och punkten B,,. Skärningspunkten mellan linjen och planet ges av t t t Härav t t t 5t 5 t Skärningspunkten A fås alltså då t sätts in i linjens ekvation: A,,,, Avståndet mellan A och B fås med hjälp av avståndsformeln: d A, B AB,,,,,, Svar: Avståndet mellan punkterna A och B är Rättningsmall: Korrekt t ger p. Allt korrekt p. Uppgift. p Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift. i i i Skriv om talet e π på formen abi. i a Vi har att ee ππππ cosππ iiiiiiiiππ och ii ii ii så vi får att ii ii ii ii ii ii ii ii ee ππππ 4ii 4ii ii Sida av 8 ii ii 4ii ii 5

4 Svar: 4i i i i Rättningsmall: Korrekt e π ger p. Korrekt 4i i p ger p. Allt korrekt Uppgift 4. p Låt F,, och a,, Bestäm två vinkelräta ortogonala vektorer u och v så att F u v och att u blir parallell med a se figuren nedan. u fås som projektionen av F på a : F u,,,, u,,,,,,,, Därefter kan v beräknas: F u v v F u v,,, Svar: u,,, v,, Rättningsmall: Korrekt u ger p, korrekt v ger p.,,,,,,, Uppgift 5. 4p Två rmdskepp med namn Rmdfarare och Rmdfarare åker samtidigt från Jorden, vilken anses har koordinaterna,,. Efter t månader har Rmdfarare positionen t, 4t, 4t och Rmdfarare har positionen 5t, t, 4t. a p Vilket av rmdskeppen är längst från Jorden efter t månader? b p Efter en månad monterar man i Rmdfarare en svag laser som skall peka mot Rmdfarare. I vilken riktning skall lasern peka? c p Hur stor blir arean av den triangel som har Jorden och rmdskeppen i sina hörn efter t månader? a Avståndet dd från Jorden till Rmdfarare är dd tt 4tt 4tt 4tt och avståndet dd från Jorden till Rmdfarare är dd 5tt tt 4tt 4tt Vi kan se att oavsett värde på t så har vi att dd < dd Sida 4 av 8

5 Svar a Rmdfarare Rättningsmall: Allt rätt: p b Rmdfarare :s position när t är RR,4,4och Rmdfarare :s position är då RR 5,,4. Sökt riktning blir nu RR 5,,4,4,4,, Svar b I riktningen,,. Rättningsmall: Allt rätt: p c Låt och uu tt vv vara tt vektorerna från Jorden till Rmdfarare respektive Rmdfarare. Sökt area AA tt blir nu AA tt uu tt vv tt ee ee ee tt 4tt 4tt tt, 8tt, 7tt 497tt 5tt tt 4tt Svar c 497tt Rättningsmall: Rätt vektorer och rätt formel: p samt rätt uträkning: p Uppgift 6. p a p Rita ut i det komplea talplanet de tal som uppfller dels att Re > samt att och att π/4<arg<7π/4. b p Ekvationen 8, har en lösning i. Bestäm alla lösningar. a Vi har en kombination av tre områden: ger området på eller mellan cirklarna med radie och centrerade kring origo. π/4 <arg<7π/4 ger området med alla komplea tal med vinkel större än ππ men mindre än 4 7ππ. 4 Re> ger området med alla komplea tal där realdelen är större än, vilket är området till höger om den lodräta streckade linjen i bilden nedan. Det som söks är den del som ligger i alla tre områdena, vilket är de rödmarkerade områdena i bilden: b I och med att i är ett komplet nollställe till ett reellt polnom är även konjugatet i det. Vi har då att -i och i är faktorer till polnomet och vi får att det finns ett polnom Sida 5 av 8

6 q sådant att 8 ii iiqq 4qq. Vi har alltså att qq 8 4. Polnomdivision ger 8 4 / 8 Alltså är qq. Detta ger att den tredje roten till polnomet är Svar b i, i och /. Rättningsmall: Rätt metod och en av rötterna -i eller -/ ger p. Allt korrektp. Uppgift 7. 4p a p Lös matrisekvationen C B A med avseende på där,, C B A. b p Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen. 4 M Från C B A C B A. Beteckna B A D. Eftersom det D är D inverterbar. D. Från C D C D Svar a Rättningsmall a: Korrekt till inversen D ger p. Allt korret p b Först löser vi ekvationen det I M dvs 4 eller som ger två egenvärden, och. 5 För varje löser vi vektorekvationen v I M dvs. 4. i ger 4 som vi skriver som sstem Sida 6 av 8

7 oändligt många lösningar 4 t, t där t är ett godtckligt reellt tal och därmed v t, t notera att nollvektorn ej räknas som en egenvektor. 4 ii 5 ger som vi skriver som sstem 4 oändligt många lösningar t, t och därmed / v t, t. Svar b : med motsvarande egenvektorer v t, t R, t och 5 med motsvarande egenvektorer / v t, t R, t Rättningsmall b: Korrekta två egenvärden p. Korrekt ett egenvärde och tillhörande egenvektorer p. Allt korrektp. Uppgift 8. p Ekvationen i i beskriver en rät linje i det komplea talplanet. Sätt i och skriv ekvationen på formen k m. Vi substituerar i i ekvationen och får i i i i i efter kvadrering 4 4 förenkla. Svar c Rättningsmall: Korrekt till gerp. Allt korrektp. Uppgift 9. p Låt, och vara heltal. Visa att determinanten är delbart med. Vi använder räkneregler för determinanter och får Sida 7 av 8

8 brta ut 5 ur första raden 5 lägg till rad summan av rad och rad 5 brta ut ur sista raden 5, som visar påståendet. Rättningsmall: Brta ut 5 ur första raden ger p. Allt korrektp. Sida 8 av 8