Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

Transkript

1 Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna -6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga. Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. För betyg krävs utöver godkänt resultat från -7 minst % ( poäng) från uppgift, för betyg minst 7% ( poäng). För uppgifterna -7 (godkäntdelen) gäller att ni kan välja mellan att bara ge svar eller ge fullständig lösning. Korrekt svar ger poäng, om svaret är felaktigt finns det en möjlighet att en tillräckligt korrekt bifogad lösning ger poäng. För uppgift 8- ska fullständiga, tydliga och renskrivna lösningar redovisas (använd ett blad per uppgift). Följande uppgifter bedöms för betyg godkänt (). Om inget annat anges, ger uppgifterna i denna del en poäng.. (Dugga.) (a) Bestäm v (v u) om v = och u v = Svar Enligt räknereglerna för skalärprodukt är (p) v (v u) = v v v u = v u v = ( + ( ) + ) + = 8. (b) Bestäm en ekvation på parameterform för planet som går genom punkten mot och som är vinkelrät Svar Uppgiftens information passar bra för att få fram planets ekvation på normalform, men uppgiften efterfrågar parameterform. Alltså behöver vi en punkt i planet (vilket vi får direkt från uppgiften) och två vektorer parallella med planet. De sista måste vi beräkna. Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot Enklaste är nog att undersöka vilka vektorer som har skalärprodukt noll när man multiplicerar dem med. Genom att betrakta den givna normalvektorn får vi direkt fram de mot normalen vinkelräta vektorerna och att de två erhållna vektorerna inte är parallella. Alltså är planets ekvation på parameterform x y = + r + s. z p.. Genom att välja olika koordinater noll säkerställer vi. (Dugga.) (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet x + y + z + w = y + z + w = x y z w = (p)

2 Svar Systemets koefficientmatris (systemet är homogent så vi behöver inte inkludera högerledet som aldrig blir annat än nollor) är. Gauss-Jordanreducera denna så får vi. variabler och icketriviala ekvationer gör att lösningen måste beskrivas med två parametrar. Pivotelementen är i kolonn och, så de fria variablerna som motsvarar parametrar blir x = s och w = t, s, t R. Första ekvationen ger också direkt att z =. Tillsammans ger detta att lösningen blir x y z = s t s, s, t R w t (b) För vilka värden på det reella talet k är ekvationssystemet som har koefficientmatrisen och högerledet lösbart? Svar k Ekvationssystemet har den utökade koefficientmatrisen följande radekvivalenta matris k k k k k k k k k k k k k (p). Gaussreducering ger fort Om systemet är lösbart beror på värdet på k: sista ekvationen i det radekvivalenta systemet ger att vi inte har någon lösning om k = för då blir sista ekvationen den omöjliga ekvationen =. Om k ger sista ekvationen ett specifikt värde på variabeln z som i första ekvationen kan multipliceras med k och dras från högerledet för att få värdet Trivialt ses att y =, så om k är systemet lösbart..

3 . (Dugga.) (a) Avgör om vektorn v = ligger i span,,. (p) Svar Det är antagligen enklast att bara konstatera att v = = + +, så ja, v ligger i spannet. (b) Beräkna (A T A) T + A A T om du vet att A är symmetrisk och att A T A = (p) Svar Att A är symmetrisk betyder att A T = A. Det gäller generellt att (AB) T = B T A. Då har vi att (A T A) T = A T (A T ) T = A T A = AA T, där den sista likheten kommar av att A är symmetrisk. Alltså är 8 (A T A) T + AA T = A T A =. 8 6 (c) Visa att vektorerna,, och 7 är linjärt beroende. (p) Svar Om vi bildar en matris med vektorerna som kolonner får vi matrisen 7. Denna matris har två identiska rader (de två sista), därmed har det homogena ekationssystemet med denna matris som koefficientmatris icketriviala lösningar. Eftersom en sådan lösning är koefficienterna i en linjärkombination av kolonnerna som ger resultat nollvektorn, finns det allså koefficienter, inta alla noll, som ger nollvektorn som en linjärkombination av vektorerna ovan, och alltså är de inte linjärt oberoende.. (Dugga.) (a) Beräkna inversen av Svar Genomfö r bakåtsubstitution på :. (p) så inversen är

4 (b) Bestäm en bas för kolonnrummet för matrisen. Svar Radreducera matrisen så får vi. (p). (Dugga.) Kolonnerna med pivotelement pekar ut basvektorerna bland kolonnerna i den ursprungliga matrisen. I det här fallet finns bara ett pivotelement, i kolonn, och alltså är en bas för kolonnrummet. (a) Bestäm matrisen för den sammansatta linjära avbildningen S[ T, där] S och T är linjära avbildningar från R till R och S har standardmatrisen A =, T har standardmatrisen [ ] B =. (p) [ ] [ ] [ ] Svar Sammansättningens matris är produkten A B = = av de 7 6 enskilda operatorernas matriser, (b) Finn ett egenvärde till matrisen A = 7. (p) Svar Determinanten av en övre triangulär matris är produkten av elementen på diagonalen. Så λ sekularekvationen för den aktuella matrisen blir = λ 7 = ( λ) vilket ger λ enda egenvärdet λ = (trippelrot). (c) Matrisen A = har egenvektorn. Vilket är egenvärdet för denna egenvek- tor? Svar Eftersom en egenvektor uppfyller Av = λv behöver vi bara beräkna produkten av matris och vektor och jämföra resultatet med vektorn. Produkten blir Alltså är motsvarande egenvärde λ =. = =. (p)

5 6. (Dugga.) (a) Beräkna determinanten för matrisen A = (p) tredje raden har samma två sista element. Om vi drar första raden från andra och första raden från tredje raden får vi den nya matrisen A = som enligt räknereglerna för determinant har samma determinant som den ursprungliga matrisen. Utvecklar vi nu först längs tredje raden och sedan längs andra raden i den undermatris som därmed återstår får vi [ ] A = = ( )+ = ( ) + = ( ) =, det sista enligt definitionen av determinanter för -matriser. (b) Avgör för vilka värden på k vektorerna och k k är ortogonala. Svar Vi undersöker när skalärprodukten av vektorerna är noll: k = + k + + k = + k. k Detta är noll omm k = =, så vektorerna är ortogonala omm k =. a 7. Finn en bas för rummet av alla matriser b där a, b, c R. Motivera väl att ert svar är en bas för rummet. c Svar Eftersom tre positioner alltid ska ha värdet noll måste elementen i dessa positioner vara noll även för baselementen. Så även baselementen måste vara av typen a b där a, b, c R. Eftersom en godtycklig matris av denna typ byggs upp av tre värden verkar c det troligt att basen består av tre matriser. Genom att betrakta fallen när bara en av a, b, c R skilt (p) (p)

6 från noll får vi tre matriser som, om vi väljer ickenollelementet som ett, blir,. Vi ser direkt att a b = a + b + c c och så alla matriser av denna typ kan skrivas som linjärkombinationer av dessa tre matriser. Dessutom kan ingen av dem skrivas som en linjärkombination av de andra två: om = = a + b + c = ger det direkt från definitionen av likhet mellan matriser att a = b = c =. Alltså är de tre matriserna linjärt oberoende, och det andra och sista kravet för att vara en bas är uppfyllt. Alltså är mattriserna en bas för rummet.,, a b c 6

7 Följande uppgifter bedöms för betyg och. 8. (a) Finn ekvationen på normalform för ett plan P i R som är vinkelrät mot vektorn avstånd till origo är. Hur många plan som uppfyller dessa villkor finns det? och vars Svar Vi har en vektor som är vinkelrät mot planet, nämligen n = (,, ) vilket alltså är en normalvektor till planet P. Från vad vi vet om avstånd och projektioner kan vi också dra slutsatsen att punkten som ligger närmst origo i planet måset, tillsammans med origo, vara ändpunkterna till en vektor vinkelrät mot planet och alltså parallell med n = (,, ). Om vi låter närmsta punkten vara Q = (x, y, z ) måste vektorn från origo till närmsta punkten vara Q = Q = (x, y, z ) = a(,, ) för något reelt tal a. Denna vektor har längden a(,, ) = a + = a n = a vilket också är avståndet mellan origo och planet. För att avståndet ska vara måste a = ±. Så vi har två möjliga punkter att välja mellan, och kan alltså hitt två plan som uppfyller önskemålen i uppgiften: (,, ) = (6,, 8) och (,, ) = ( 6,, 8). Väljer vi den första och stoppar in i planets ekvatione på normalform får vi (p) = n ((x, y, z) (6,, 8)) = x + z. (Det andra möjliga svaret fås naturligtvis genom att välja den andra punkten.) (b) Bestäm avståndet mellan de två planen x + y + z = och x + 6y + 7z = 8. Motivera svaren väl. (p) Svar Det första planet har normalvektor (utläses från ekvationen) (,, ) medan det andra planet har normalen (, 6, 7). Dessa normaler är inte parallella (den ena är inte en konstant gånger den andra) vilket innebär att planen inte är parallella. Eftersom två ickeparallella plan i R alltid skär varandra har de gemensamma punkter, så avståndet mellan planen är noll. (Man kan också resonera så här: planens ekvationer uppställda i ett ekvationssystem ger vid GJ-reducering minst en lösningspunkt, vilket är en punkt som ligger i båda planen och alltså är avståndet mellan planen noll.)) 9. (a) Bestäm för vilka värden på paramentern k ekvationssystemet som har totalmatrisen (eller alternativt uttryckt, den utökade koefficientmatrisen) k k k k har lösning, och för vilka värden på k det inte har någon lösning. Bestäm alla lösningar till systemet för de värden på parametern k för vilka systemet är lösbart. Svar Vi Gauss-Jordanreducerar ekvationssystemet: k k k k k (r r, r r, r r) (r r, r r) k k k k k k k + k k k (r+ r) k k (r+r) k k (6p) 7

8 k k k k k Sista ekvationen ger ingen information om k = för då blir ekvationen =. I det fallet blir näst sista ekvationen w = w =. Om k blir sista ekvationen ( k)w = k w = k =. MEN, i det här fallet ger näst k sista ekvationen att kw = k. Denna ekvation är inte lösbar om k = för då blir ekvationen den omöjliga likheten =. Och om k blir tredje ekvationen kw = k w = k k =. k I detta fall ger alltså både ekvation och villkor på w: w = respektive w = k vilket ger kravet = w = k k = k =. Alltså har ekvationssystemet bara lösning då k =, och k =. I det första fallet försvinner den sista ekvationen och vi har kvar de tre första ekvationerna som ger totalmatrisen. Sista ekvationen ger w =, som sagts innan. Tredje variabeln är en fri variabel (inget pivotelement i den kolonnen) så vi sätter z = t R. Detta ger direkt i andra ekvationen y = z = t, och i första ekvationen x + z = x = t. Så systemet har lösning då k =, och då är x y z = + t, t R. w När k = får vi istället (r r) Näst sista ekvationen ger nu w =, som sagts innan. Tredje variabeln är återigen en fri variabel (inget pivotelement i den kolonnen) så vi sätter z = t R. Detta ger direkt i andra ekvationen y = z = t, och i första ekvationen x + z = x = t. Så systemet har lösning då k =, och då är x y z = + t, t R. w (b) Bestäm en bas för radrummet för matrisen A = 9 (p) 8

9 Svar Vi radreducerar matrisen, och får A = (r r, r r, r r) 9 8 (r r) (r + r) 8 (r+r, r r, r) 8 (r+r, r r). De tre första raderna i den sista [ matrisen innehåller ] [ pivotelement och är alltså ] en bas [ för radrummet för ] matrisen A. En bas är alltså, och. (c) Bestäm en bas för nollrummet för matrisen A i (b). Svar Vi utnyttjar den redan utförda GJ-reduceringen som gav. Denna matris ger nu direkt att nollösningen till det homogena systemet med koefficientmatrisen i uppgiften har en parameter s som motsvarar den fria tredje variabeln och en parameter t som motsvarar den fria femte variabeln. Bakåtsubstituerar vi nu i den sista matrisen får vi att lösningsmängden är x s t s x + t s = s + t. x = x x x = t t Så en bas för nollrummet för matrisen är vektorerna (d) Bestäm en bas för kolonnrummet för matrisen A i (b). och Svar Resultat i kursen ger att radoperationer inte bevarar kolonnrummet, men att kolonnerna med pivotelement i den radreducerade trappstegsmatrisen pekar ut de kolonner i den ursprungliga matrisen som är en bas för matrisens kolonnrum. Pivotelementen finns i kolonn, och och ser alltså att kolonn, och i den ursprungliga matrisen är en bas för kolonnrummet: En bas för kolonnrummet är alltså, och 9.. (p) (p) 9

10 . (a) För vilka k är matrisen (6p) k k k inverterbar? Bestäm inversen för matrisen i de fall (dvs för de värden på k) som matrisen är inverterbar. Svar Det lättaste är nog att undersöka när matrisens determinant är noll. Sats i kursen ger att en matris är inverterbar dess determinasnt är skild från noll, så om determinanten för matrisen ovan är noll är matrisen inte inverterbar. Andra och fjärde raden i matrisen har element som inte är noll. Beräkning av determinanten med hjälp av utveckling längs dessa rader ger, tillsammans med definitionen av determinant för - matriser k k k k = ( ) + = ( ) + k k = k ( k). k k Alltså ser vi att matrisen är inverterbar för alla värden på k, utom k = och k =. För att beräkna inversen utökar vi matrisen med en enhetsmatris till höger och GJ-reducerar så att vi har en enhetsmatris i vänstra delen av den utökade matrisen: vi får k k k (r + r) (r r) k k k k k + k k k k + k k (r k k r) k k Alltså är inversen k k k ( k r, k r) k k k k k k k k k k k k x x + z. Låt T y = x + y + z. Beräkna T (dvs sammansättningen av T med sig z x + z själv gånger) med hjälp av diagonalisering. Svaret får ges som produkten av ett fåtal matriser, ( färre än ) men dessa matriser ska vara uträknade. k. (6p)

11 Svar T är en linjär avbildning och kan alltså beskrivas som T x = Ax där A är matrisen T ( ), T ( ), T ( ) =. Sammansättningar av denna avbildning motsvarar alltså potenser av matrisen A enligt satsen om matrisrepresentationen för sammansättningar av linjära avbildningar. Det blir alltså samma problem som när man vill bestämma höga potenser av matriser, vilket vi vet kan behandlas med diagonalisering. Att diagonalisera matrisen A innebär att vi finner en diagonalmatris D och en inverterbar matris P som uppfyller att A = P DP. Vi vet att om vi bestämmer egenvärden och egenvektorer till matrisen A (och om vi kan hitta lika många linjärt oberoende egenvektorer som antalet rader och kolonner i matrisen A,i det här fallet, så kan vi bilda D som diagonalmatrisen med egenvärdena som diagonalelement, och P som matrisen som har motsvarande egenvektorer som kolonner. Vi behöver alltså undersöka egenvärden och egenvektorer för matrisen A. Sekularekvationen som ger egenvärdena blir λ = λi A = λ λ Notera först att andra kolonnen i determinanten bara har en ickenoll-term, så utveckling längs den kolonnen ger direkt en faktor i sekularpolynomet och alltså en rot till sekularekvationen: λ λ = λi A = λ = (λ ) λ = (λ )((λ ) ) = (λ )(λ 8λ+) = λ (erhåll rötterna för andragradspolynomet från pq-formeln) = (λ ) (λ ). Frän detta ser vi direkt att egenvärdena är λ = (dubbelt) och λ =. Nu behöver vi för varje egenvärde finna en egenvektor ( för egenvärdet ). λ = Egenvektorn är lösningen till ekvationssystemet (λ I A)x =. Med λ = blir detta ekvationssystemet som representeras av matrisen. Radreducera så får vi vilket ger att y, z är fria variabler. Sätt y = s, z = t så får vi lösningarna väljer s = t = får vi att två linjärt oberoende egenvektorer är. Vi får den kvarvarande ekvationen x = z t t och. och λ = På samma sätt får vi här systemet (λ I A)x = vilket representeras av matrisen =. s. Om vi

12 Vi fårx z = x = z och y z = y = z, a är enfri variabel. Sätt z = t så får vi lösningarna t t. Om vi väljer t = får vi att en egenvektor är t (Kom ihåg att vilka egenvektorer som helst duger som kolonner i matrisen P bara de två första är egenvektor till λ och den tredje till λ. Kom också ihåg att vi inte kan välja t = eftersom en nollvektor per definition aldrig är en egenvektor.) Därmed får vi matriserna D = och P = som uppfyller att AP = P D, dvs A = P DP. Därmed har vi diagonaliserat A. Innan vi kan utnyttja detta för att genomföra beräkningen av T behöver vi beräkna P. Vi utökar P med enhetsmatrisen åt höger, och radreducerar så att vänstra delen blir en enhetsmatris: (r + r) (r r, r) Så, P = (r r, r). Alltså har vi att T = A = (P DP ) = (P DP )(P DP )... (P DP ) = P D(P P )D(P... P )DP = P D P, efterssom P P = I. Räknar vi ut vad det sista är får vi att T = P D P = = = = = =

13 . (a) Finn en bas för rummet av alla polynom av grad högst som har ett nollställe i x =. Motivera att ert svar är en bas för det aktuella rummet. Svar Alla polynom p(x) som har ett nollställe i x = innehåller en faktor (x ) som kan brytas ut: alltså är p(x) = (x )q(x) för något polynom q(x). När nu gradtalet för p är högst, kan inte q ha högre gradtal än, dvs q(x) = a + bx + cx med a, b, c reella tal. Varje q kan alltså skrivas som en linjärkombination av polynomen, x och x och dessa polynom är också linjärt oberoende (de består av en enda term som har olika gradtal för de tre polynomen, alltså kan inte en av dem skrivas som en linjärkombination av de andra). Eftersom alla p med rot i x = kan skrivas som p(x) = (x )q(x) är alltså polynomen ovan multiplicerade med x en bas för det aktuella rummet: En bas för rummet i uppgiften är (x ), x (x ) och x (x ). (b) I ett vektorrum V görs ett basbyte från basen B till C. I någon bas för V har vektorerna i B koordinaterna, och, och vektorerna i C koordinaterna, och. Finn basbytesmatrisen P C B. Svar (p) (p) Enligt resultat i kursen kan vi få basbytesmatrisen genom att bilda 6-matrisen [B, A], där kolonnerna i A är vektorerna i den givna ursprungliga basen (map någon bas E) och kolonnerna i B är vektorerna i den givna nya basen (map samma bas E), och sedan radreducera så att den vänstra -delen blir enhetsmatrisen. Då är den högra halvan den eftersökta basbytesmatrisen. Från uppgiftsformuleringen får vi att A = och B = [B, A] =. Radreducering ger nu [B, A] = (r r, r r). Och därmed har vi erhållit basbytesmatrisen P C B =. v January,