Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle

Transkript

1 Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle

2 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor om de uppfyller Av = λv. Samma definition för linjära avbildningar också. Om F är en linjär avbildning R n R n så kallas ett tal λ egenvärde och en vektor v 0 egenvektor om de uppfyller F (v) = λv.

3 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor om de uppfyller Av = λv. Beräkning Metod Egenvektor är lösning v 0 till (A λi )v = 0. Finns bara då egenvärde λ löser p(λ) = det(a λi ) = 0. Egenvärden λ är lösningarna till p(λ) = det(a λi ) = 0. För varje egenvärde finn sen v ( många) som löser (A λi )v = 0.

4 Egenvärde och egenvektorer Exempel A = Karakteristisk ekv 3 0 = det(a λi ) = λ λ (λ = 3 )( λ+ 3 ) ( 4 ) 2 = λ 2 1 Då λ = 1 ( ) v1 = 1 v 2 ( ) v1 = 0 med v 2 { v 1 = 2t v 2 = t

5 Egenvärde och egenvektorer Exempel A = Har egenvärde λ 1 = 1 och motsvarande egenvektor e 1 = ( 2, 1)t med t 0, och egenvärde λ 2 = 1 och motsvarande egenvektor e 2 = (1, 2)t med t 0. Koll: Ae 1 = = = = 1e 1 1, Ae 2 = = = = 1e

6 Basbyten Egenvärden och egenvektorer definitioner diagonalisering tillämpningar Sats y = F (x) linjär det finns en avbildningsmatris A så att Y = AX. I koordinatsystem O, e 1,..., e n är kolonnvektorerna i A F (e 1 ), F (e 2 ),..., F (e n ). I annat koordinatsystem O, e 1,..., e n blir avbildningsmatrisen A. Om koordinaterna för de nya basvektorerna e 1,..., e n är kända i basen e 1,..., e n och skrivs som kolonner fås basbytesmatrisen S. Sambandet mellan baserna kan skrivas E = S T E. Sambandet mellan koordinaterna är X = SX. Sambandet mellan avbildningsmatriserna är A = S 1 AS alternativt A = SA S 1.

7 Diagonalisering En n n matris A är diagonaliserbar om det finns en diagonalmatris D ( = A ) och en inverterbar matris S så att D = S 1 AS alternativt A = SDS 1. Att diagonalisera A innebär att man ska hitta sådana D och S. Exempel 1 0 A = är diagonaliserbar. 0 2 A är redan diagonal så man kan välja D = A och S = I. A = I ( D I ) 1 0 Även och är diagonaliserbara. 0 0

8 Diagonalisering Metod Sätt egenvärdena till A i diagonalen på D om de är tillräckligt många. Sätt motsvarande egenvektorer som kolonner i S om de är linjärt oberoende så S blir inverterbar. Exempel igen TIll A = sätt D = med S = och S = =

9 Diagonalisering Metoden kan krångla Om det inte finns tillräckligt många reella egenvärden. Detta kan fixas genom att man räknar med komplexa egenvärden och egenvektorer (inte i denna kurs) 0 1 Ex: A = har kar ekv λ = 0 och egenvärden ±i. Om det inte finns egenvektorer som är linjärt oberoende. (Bara om sammanfallande egenvärden.) Detta kan ( inte fixas! ) Det finns matriser som inte är inverterbara. 0 1 Ex: A = är inte inverterbar. Egenvärden λ = λ 2 = 0 ger D = 0 och A S0S 1 = 0.

10 Diagonalisering Sats Om matrisen A är symmetrisk så är alla egenvärden reella och matrisen är diagonaliserbar. S kan väljas ortogonal. Exempel igen TIll A = symmetrisk med D = är egenvektorerna automatiskt ortogonala och man kan normera dem till e 1 = 1 ( 2, 1) och e 2 = 1 (1, 2) vilket ger S = och S = 1 2 1, dvs S = S T.

11 Diagonalisering Sats Om matrisen n n-matrisen A har n olika egenvärden så är motsvarande egenvektorer automatiskt linjärt oberoende och A är diagonaliserbar. Exempel igen 3 4 För A = räcker det att beräkna egenvärdena till 1 och 1 så garanterar satsen att A är diagonaliserbar.

12 Diagonalisering Spår Spåret av en kvadratisk matris A, tr A (trace), är summan av diagonalelementen. Sats Om n n-matrisen A har egenvärdena λ 1,... λ n så är det A = λ 1 λ 2... λ n = det D och tr A = λ 1 + λ λ n = tr D Exempel igen 3 4 För A = är det A = 1 och tr A = 0.

13 Diagonalisering Sats Om n n-matrisen A har egenvärdena λ 1,... λ n så är det A = λ 1 λ 2... λ n = det D och tr A = λ 1 + λ λ n = tr D Sats För den kvadratiska matrisen A gäller att A är inverterbar alla egenvärden är 0.

14 Tillämpningar En linjär avbildning F med avbildningsmatris A kan vara lättare att begripa efter diagonalisering (=basbyte). Exempel igen 3 4 F har i bas u 1, u 2 avbildningsmatris A = 1 men i basen e 1 = 1 ( 2, 1) och e 2 = 1 (1, 2) matrisen D = u 2 e 1 e 2 e 2 u 1 4 F är spegling i linjen x 1 + 2x 2 = 0 parallell med e

15 Tillämpningar Några uttryck blir lättare att beräkna efter diagonalisering. A = SDS 1 A 2 = SDS 1 SDS 1 = SDIDS 1 = SD 2 S 1 A 3 = AA 2 = SDS 1 SD 2 S 1 = SDID 2 S 1 = SD 3 S 1 A n = SD ( n S 1 ) λ1 0 där D = 0 λ 2 λ och D 2 2 = λ 2 2 λ och D n n = λ n. 2

16 Tillämpningar Exempel igen TIll A = med D = och S = samt S = För att beräkna A 100 observera att D 100 = I varför A 100 = SD 100 S 1 = SIS 1 = SS 1 = I Detta kan man se direkt för att A 2 = I men för andra matriser spar denna typ av räkning jobb.