Linjär algebra Föreläsning 10

Transkript

1 Linjär algebra Föreläsning 10 IT-programmet, Chalmers 2006 Samuel Bengmark

2 Repetition Handlade om kvadratiska matriser. Kvadratiska ekvationssystem har: Unik lösning omm Det(A) 0. Har oändligt antal lösningar ( som utgör en hel linje, plan osv ) omm Det(A) = 0 och b Im(A). Saknar lösning omm Det(A) = 0 och b Im(A). A har invers omm Det(A) 0

3 Minns att allt hänger ihop! För en kvadratisk matris är följande ekvivalenta påståenden: Det(A) 0 Raderna i A är linjärt oberoende Ker(A)={0} Ax=b har unik lösning för varje högerled b A ger injektiv avbildning Förvissa dig om att du förstår varför! Vilket även är ekvivalent med Kolonner i A är linjärt oberoende A ger surjektiv avbildning A har invers.

4 En följd av detta Om vi vet hur n n-matris A verkar på n linjärt oberoende vektorer så vet vi vad A gör med varje vektor x, ty då är. vilket ger att och Vi kan också beräkna A eftersom Då v i linjärt oberoende är V inverterbar och vi får att A=W V -1

5 Repetition Egenvektorer och egenvärden. egenvektor Av=λv egenvärde Beräkna först λ genom Det(A-λI)=0 Finn sedan icketrivial lösning till (A-λ i I)v=0

6 AV=VD Om A har egenvärden λ i och egenvektorer v i så gäller: Skriver ihop all info om egenvärden och egenvektorer i ett matrissamband. Alltså : AV=VD! Vi kommer att fortsätta med beteckningarna V och D för två matriser med egenvektorerna och egenvärdena i synkroniserad ordning. Detta gäller även om vissa av egenvärdena, och därmed deras egenvektorer, visar sig vara komplexa. Kolla t ex med rotationsmatris i planet.

7 Om A har full uppsättning linjärt oberoende egenvektorer Då kan vi enkelt beräkna A A n V då är inverterbar A=VDV -1 A n =VD n V -1 ty A n =VDV -1 VDV -1 VDV -1 VDV -1 =VDD DDV -1 =VD n V -1

8 Innan vi tar några exempel en observation om A n Om A har egenvärden λ i och egenvektorer v i, dvs om Av i =λv i så er vi att A n v i =λ in v i dvs A n har samma egenvektorer som A fast med egenvärden λ in. OBS! I fallet med linjärt oberoende vektorer stämmer detta med ekvationen A n =VD n V -1.

9 Projektion i R 3 på ett plan genom origo n v u Alltså är vektorerna i planet egenvektorer med egenvärde 1. Välj två linjärt oberoende. Normalen är egenvektor med egenvärde 0. Använd nu A=VDV -1 Vad vet vi om egenvärden för A 2? Vad säger det om A 2?

10 Speglingar i R 3 i ett plan genom origo n n v u Alltså är vektorerna i planet egenvektorer med egenvärde 1. Välj två linjärt oberoende. Normalen är egenvektor med egenvärde -1. Använd nu A=VDV -1 Vad vet vi om egenvärden för A 2? Vad säger det om A 2?

11 Projektion i R 3 på en linje genom origo r v u Riktningsvektorn är egenvektor med egenvärde 1. Alla vektorer ortogonala mot r är egenvektorer egenvärde 0. Använd A=VDV -1

12 Linjärt oberoende egenvektorer? Sats Om egenvärdena λ i är parvis olika är motsvarande egenvektorer linjärt oberoende. Bevis på tavlan Lite reklam: Symmetriska matriser och kvadratiska former! Kapitel

13 Fråga 3 från föreläsning 1 Antalet (hundratal) rävar y n och kaniner x n år n i en nationalpark modelleras med Hur växer antalet djur med tiden? Kommer de, enligt denna modell, att dö ut?

14 Diskreta linjära modeller x k+1 =Ax k ger x k+1 =A k+1 x 0. A har linjärt oberoende egenvektorer v 1 och v 2 så det finna a och b så att x 0 =av 1 + bv 2. x k =A k x 0 =A k (av 1 + bv 2 )=aλ 1k v 1 +bλ 2k v 2 Gå igenom de olika fallen: λ 1 <1 λ 2 >1, A k x asymptotiskt längs v 2 då k λ 1 <1 λ 2 = 1, A k x bv 2 då k λ 1,λ 2 <1, A k x 0 då k. Komplexa egenvärden.