Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Transkript

1 Inför tentamen i Linjär algebra TNA Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av sådan system. (c) Övningar: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, Vektorgeometri (a) Vad är en vektor respektive en ortsvektor. (b) Bestämma en vektor mellan 2 punkter. (c) Räknelagarna för vektorer. (d) Beräkna längd av en vektor samt avstånd mellan 2 punkter. (e) Övningar: 4.1, Skalärprodukt (a) Definition av skalärprodukt med och utan vinkel. (b) Bestämma vinkeln mellan 2 vektorer. (c) Begreppet ortogonalitet. Vad menas med att 2 vektorer är ortogonala. (d) Vad är en ON-bas. (e) Ortogonalprojektion av en vektor på en annan. (f) Övningar: 6.5, 6.7, 6.8, 6.9, Linjer och plan (a) Bestämma ekvationen för en linje givet a) en punkt och en riktningsvektor b) 2 punkter (b) Bestämma skärningspunkten mellan 2 linjer (c) Kunna projicera och spegla en punkt i en linje. (d) Beräkna avståndet från en punkt till en linje, från en linje till en annan. (e) Kunna bestämma ekvationen för ett plan givet a) en punkt och en normal b) 3 punkter (f) Kunna omskrivningen från normalekvation till parameterform och vice versa. (g) Bestämma skärningen mellan a) en linje och ett plan b) två eller flera plan. (h) Kunna projicera ortogonalt och spegla en punkt i ett plan. (i) Beräkna avståndet från a) en punkt till ett plan b) en linje till ett plan c) ett plan till annat plan. (j) Övningar: 10.6, 10.9, 10.10, 10.12, 10.13, 10.14, 10.17,

2 5. Vektorgeometri (a) I planet eller rummet begrepp som i. Linjärkombination ii. Linjärt beroende och oberoende iii. Koordinater iv. Bas v. ON-bas (b) Geometriska tolkningar av bgreppen ovan. Dessa är viktiga för att bygga upp förståelsen av linjär algebran. (c) Lösa de ekvationssystem som dyker upp när Du har ställt upp dessa definitioner. (d) Övningar: 4.9, 4.10, 4.11, 4.12, Vektorprodukt (a) Definition av vektorprodukt. (b) Vad som med menas med ett högerorienterat system {e 1,e 2,e 3 }. (c) Vektorprodukt mellan basvektorerna, dvs e 1 e 2, e 1 e 3, e 2 e 3. (d) Beräkna vektorprodukt mellan 2 vektorer mha en determinant. (e) Tillämpningar: i. Bestämma en normal till ett plan ii. Beräkna arean av en parallellogram iii. Beräkna volymen av parallellpiped (f) Övningar: 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.7, Matriser (a) Räknelagarna för matriser. (b) Transponera en matris. (c) Räknelagarna för transponat. (d) Bestämma om möligt en invers till en kvadratisk matris. (e) Räknelagarna för invers. (f) Lösa matrisekvationer. (g) Övningar: 12.1, 12.3, 12.4, 12.5, 12.6, Determinanter (a) Vilka matriser man kan beräkna determinanten för. (b) Beräkna determinanten samt räknalagarna för determinanter. (c) Tillämpa determinantens värde i olika samanhang; Sats 13.8 är viktig. (d) Övningar: 14.1, 14.4, 14.6, 14.7,

3 9. Linjära rum (a) Definitionen av ett linjärt rum V. (b) Exempel på V. Speciellt R n. (c) Definition av underrum U i V. (d) Exempel på U. Speciellt linje genom origo och plan genom origo R n. (e) Låt M = {v 1,v 2,...,v n } var en mängd i V. i. Linjärkombination. Bestämma om u är en linjärkomination M. ii. Linjära höljet. Bestämma linjära höljet [M]. Tolka [M] geometriskt. iii. Linjärt beroende. Avgöra om M är linjärt beroende eller oberoende. iv. Identifiera och stryka vektorer i M som är kombinationer och därmed överflödiga. v. Bas. Bestämma en bas i M. vi. Dimension. Bestämma dim[m]. vii. Utvidga basen i [M] till en bas för hela V. (f) Självklart kan vektorer ovan vara polynom, funktioner och matriser. (g) Övningar: 16.1, 16.2, 16.3, 16.4, 16.5, (h) Övningstenta A: 1. Övningstenta C: Euklidiska rum (a) Kunna definitionen av en skalärprodukt på ett linjärt rum. (b) Kunna definitionen av euklidiska rum. (c) Behärska och använda begrepp som norm, avstånd och ortogonalitet, se Definition (d) Verifiera om en given mängd i ett euklidiska rum är en ON-mängd, se Definition (e) Vad är en ON-bas? (f) Kunna att en ON-mängd är en linjärt oberoende mängd, se Sats (g) Bestämma koordinatern för en vektor i en ON-bas, dvs utveckla vektorn i ONbasen, se också Sats (h) Kunna ortogonala projektionen av en vektor på ett underrum, se Definition (i) Veta vad ett ortogonal komploment till ett underrum är, se Anmärkning (j) Fylla ut en ON-bas i ett underrum till en ON-bas för hela rummet. (k) Dela upp en vektor i två komposanter; den ena parallell med ett undderum och den andra parallell med ortogonala komplementet. (l) Kunna Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess. (m) Övningar: 18.1, 18.2, 18.3, 18.4, 18.5, (n) Tentamen : 5. Övningstenta B: 7b,c. Övningstenta C: 7. 3

4 11. Minsta kvadratmetoden (a) Kunna härleda normalekvationen. (b) Förstå geometriskt normalekvationen. (c) Lösa ekvationssystemet som annars saknar lösning i minsta kvadratmening. (d) Anpassa en rät linje till en given mängddata. (e) Beräkna felet vid lösning i minsta kvadratmening. (f) Övningar: 20.1, 20.2, 20.3, Linjära avbildningar (a) Vad är en linjär avbildning, hur ser definitionen ut, vad är en urbild resp. en bild, vad menas med additiv samt homogen är exempel på frågor du kunna svara på. (b) Kunna avgöra om en avbildning är linjär resp. icke linjär. (c) Härleda och kunna matrisframställningen till en linjär avbildning. (d) Förstå hur en avbildning och dess avbildningsmatrisen hör ihop. (e) Bestämma avbildningsmatrisen till en linjär avbildning. (f) Bestämma avbildningsmatriser till linjära avbildningar såsom ortogonal projektion på linje eller plan, spegling i linje eller plan samt rotation i planet eller rummet. (g) Använda projektionsformeln eller egenskaperna hos avbildningen för att bestämma mastrisen. (h) Bestämma bilden hos avbildningarna ovan för någon given vektor. (i) Övningar: 22.2, 22.3, 22.4, 22.5, 22.6, 22.7, 22.8, 22.9, 22.10, 22.14, 22.16, 22.17, 22.18, 22.19, (j) Tentamen : 1, 4, 6, 7. Övningstenta A: 4, 5, 6, 7. Övningstenta B: 1, 4, 5, 6, 7a. Övningstenta C: 1,5, Egenvärden och egenvektorer (a) Definiera samt bestämma egenvärden och egenvektorer till en linjär avbildning, se Definition (b) Egenrummet till ett egenvärde, se Definition (c) Egenvärden och egenvektorer till en ortogonal projektion på samt en spegling i ett plan respektive en linje, se Exempel (d) Att en rotation endast har ett reellt egenvärde λ = 1 med tillhörande egenvektor parallell med rotaionaaxeln. (e) Att matrisen till en linjär avbildning ges, i en bas av egenvektorer, av en diagonalmatris med egenvärden på diagonalen. (f) Definition samt kunna lösa sekularekvationen, se Sats (g) Vad en diagonaliserbar matris är samt diagonalisera en sådan, se Sats (h) Att en linjär avbildning med skilda egenvärden har linjärt oberoende egenvektorer samt att antalet egenvärden är lika med dimmensionen på V, Sats

5 (i) Om F är en symmetrisk linjär avbildning på ett euklidiskt rum E n, så är i. Egenvektorer till skilda egenvärden ortogonala, se Sats ii. Egenvärdena reella, se Sats iii. Spektralsatsen: E n har en ON-bas av egenvektorer, se Sats iv. Matrisen A till F är diagonaliserbar, dvs A = TDT 1, se Sats (j) Med hjälp av egenvärdena och egenvektorerna till en avbildning F utreda den geometriska betydelsen av F, se Exempel (k) Övningar: 27.1, 27.3, Kvadratiska former (a) Definition av kvadratiska former. (b) Uttrycka en kvadratisk form på matrisform. (c) Uttrycka en kvadratisk form i en kanonisk bas, dvs i ON-bas av egenvektorer. (d) Bestämma största och minsta värde till en kvadratisk form på en given yta, t.ex. en sfär. (e) Karaktärisera om en kurva är en ellips, hyperbel eller räta linjer. (f) Bestämma punkter på kurvan som ligger närmast respektive längst bort från en given punkt, t.ex. origo. (g) Samma sak som ovan fast för ytor. (h) Övningar: 27.8, 27.9, 27.10, 27.11, 27.12, (i) Tentamen : 2. Övningstenta A: 2. Övningstenta B: 2. Övningstenta C: Linjära system (a) Skriva ett system av differentialekvationer på matrisform. (b) Diagonalisera matrisen och få ett diskritisert system. (c) Gå tillbaka och bestämma den allmänna lösningen. (d) Bestämma en speciell lösning. (e) Samma sak för differensekvationer. (f) Övningar: 27.16, 27.17, 27.18, 27,20, 27.21, (g) Tentamen : 3. Övningstenta A: 3. Övningstenta B: 3. Övningstenta C: 4. 5