Facit/lösningsförslag

Transkript

1 Facit/lösningsförslag Låt l vara linjen med parameterform x, y, z 0 s, mellan planet x y z och planet z 0 och låt l vara skärningslinjen a) Skriv l på parameterform b) Beräkna avståndet mellan l och l p p a) Minimalt lösningsförslag: Ekvationssystemet som ges av normalformerna för de två planen x y z z 0 ( fullständig, välmotiverad och ordentligt skriven lösning krävs för full poäng fyll i :) har lösningen x, y, z t, t, 0 0,, 0 t 0, blir också en parameterform för l där t Detta Svar: x y 0 t där z 0 0 t b) Svar: Det kortaste avståndet mellan de två linjerna är le (längd enheter) Låt S vara speglingen i planet x y z 0 Finn matrisen för S Beräkna sedan speglingen av planets normalvektor samt av vektorn, 8, Minimalt lösningsförslag: Speglingens matris blir 6 S 6 6 Speglingen av planets normalvektor n, blir S n, n Japp!!

2 Speglingen av 8, Svar: Speglingens matris blir, fås på samma sätt och är S 6 6, vektor, n Speglingen av, 8, är Speglingen av planets normalvektor är, Undersök om matrisen A 5 0 har några egenvärden, samt bestäm i förekommande fall dessa tillsammans med motsvarande egenvektorer Är matrisen diagonaliserbar? Minimalt lösningsförslag: Genom direkt uträkning ser man att sekularekvationen blir det( A I) 0 ( genominsättning ser 0 manatt - är en rot,division Det finns alltså ett enda egenvärde ger sen ) ( ) och dess egenvektorer är t diagonaliserbar eftersom det inte går att hitta en bas för av egenvektorer 0 Matrisen är inte Svar: Ett enda egenvärde och dess egenvektorer är t diagonaliserbar eftersom det inte går att hitta en bas för Matrisen är inte av egenvektorer

3 4 Antag att u u, u är vektorer i planet, att u 6, u 8, en vinkel på 0, att u och u bildar en vinkel på på 0 Uttryck u som en linjär kombination av u och u u, 90, och att u och u att u och u bildar bildar en vinkel Minimalt lösningsförslag: För att u är en linjär kombination av u och u sätter vi u a u b u och beräknar u u 6 8 cos0 4 u u 6 cos90 0 vidare då u a u b u blir u u u a u b u a u u b u u 6a 4 b u 8 cos vidare då u a u b u blir u u a u b u a u u b u u 4 a 64b u 8 u Ekvationssystemet 6a 4 b 0 a 6 4 a 64b 8 b 4 Svar: u u u 6 4

4 5 Låt f ( ), f ( 0, ) och f ( 0, ) a) Visa att ( f f, f ) bildar en bas för rummet och bestäm basbytesmatrisen från ( f f, f ) till ( e e, e ) Om v har koordinaterna (,, ) i basen ( f f, f ), vad är dess koordinater i basen ( e e, e )? b) Bestäm koordinaterna för u e e e f i basen f, f, ) ( f a) Minimalt lösningsförslag: 0 Låt T 0, så är f f, f e, e, e T Eftersom det T är T iverterbar (ska anges varför tydligare!!!tänk på att detta är bara Minimalt lösningsförslag) Alltså är f, f, ) en bas och T är basbytesmatrisen från f, f, ) till e, e, ) ( f ( f ( e Koordinaterna för v i e, e, ) ( e är därmed 0 T 5 (Eftersom v 0 f f, f e e, e T e e, e 5 ) Svar: Basbytesmatrisen är ( 0, 5, ) 0 T 0 v :s koordinater i basen ( e e, e ) är

5 b) Basbytesmatrisen från e, e, ) till f, f, ) är ( e ( f koordinaterna för e e e i basen f, f, ) blir ( f för u e e e f i basen f, f, ) blir alltså ( f T T 0 så 0 4 Koordinaterna Svar: Koordinaterna för u e e e f i basen f, f, ) blir alltså ( 4, ) ( f 6 En linjär avbildning från planet till rummet är en funktion F : som uppfyller att F u v F u F v F u F u för alla vektorer u och v och att och reella tal ( alltså precis samma krav som för en linjär avbildning från planet till planet eller från rummet till rummet) Varje sådan avbildning bestäms av en matris (på samma sätt som varje avbildning på rummet ges av en matris) : som avbildar vektor Bestäm matrisen för den avbildning T och vektor 0 på, 0, - Finn matrisen för denna avbildning, på, - lösningsförslag: Låt e, e vara basen i planet Då är, e e = e e och 0 e 0 e = e Följaktligen, - T, T e e T e + T e * samt, 0, - T 0 e T e alltså, 0, - T e T T e =, 0, - *

6 Nu saknar vi bara bilden av basvektor e som ges av T e, - T att T e =, 0, - e + T e T e, - T Insättningen i ekvationen ger T e, - T e =, -, 0, - 5,, - Summa summarum ges bilderna av basvektorer av T e =, 0, och e T, - Ty bilderna av respektive e och e 5 T 0 5, Från likheterna vid * fås e där från tidigare * fick vi fram utgör kolonner i avbildningens matris ges matrisen av 5 Svar: T 0 THE END