2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

Transkript

1 TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på varje inlämnat blad.. (a) För vilka värden på s är matrisen inverterbar? M(s) = s s (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.. Beräkna volymen av den parallellepiped som vektorerna v = (,, ), v = (,, ) och v = (,, ) spänner upp. Beräkna även arean av epipedens sidor.. Kolonnerna i matriserna A och B är två baser i R A = B = Beräkna matrisen som överför koordinatvektorer uttryckta i basen B till koordinatvektorer uttryckta i basen A. Speciellt: Uttryck koordinatvektorn [,, B med hjälp av basen A.. Beräkna baser för radrum, kolonnrum och nollrum för matrisen 6 5. Beräkna den ellips på formen ax + by = som bäst anpassar sig till punkterna (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) ; 6. Beräkna egenvärden och egenvektorer till matrisen 5 Är matrisen diagonaliserbar? index indikerar att vektorn är uttryckt i basen B

2 Svar till tentamen i Linjär algebra/matematik för ingenjörer, Volymen ges av beloppet av determinanten till matrisen som har vektorerna som rader. Denna volym blir: V = 5. Arean av sidorna ges av kryssprodukternas längder: v v = 66, v v = 59 och v v = 5.. Se lösningen x + y =

3 Lösningar till tentamen i Linjär algebra/matematik för ingenjörer, Determinanten för matrisen blir s s som har nollställena och 7 varför matrisen är inverterbar för alla övriga värden. Matrisens invers för s = blir 5 5. Volymen ges som beloppet av determinanten av matrisen M som har de tre vektorerna som rader: V = det M = det = 5 = 5 Arean av Parallellepipedens sidor ges av de tre kryssprodukternas längd:: v v = (,, 7) = 66 v v = (7,, ) = 59 v v = (5, 5, ) = 5 = 5 6. Matriserna A och B är båda uttryckta i standardbasen (eftersom inget annat sägs så får vi anta det) och detta innebär att de utgör basbytesmatriserna från basen A respektive B till standardbasen. Situationen är som i figur M.h.a. figuren kan vi se hur vi överför från basen Figure : Basbytessituationen i uppgift. Genom att följa vektorn x B (koordinaterna m.a.p. B för en vektor) så ser vi hur vi får fram dess koordinater m.a.p. först standardbasen S och till sist m.a.p. basen A. Från detta ser man att den sökta matrisen X måste vara A B! B till basen A, vilket ges av följande kedja: x B Bx B = x S A x S = A Bx B = x A Matrisen A B överför alltså koordinatvektorer m.a.p. B till koordinatvektorer m.a.p. A! Denna matrisprodukt får vi fram genom att Radreducera den utvidgade matrisen (A B):

4 vilket ger oss att vår basbytesmatris X blir X = Genom att använda denna så får vi att koordinatvektorn x B = [,, B m.a.p. A ges av x A = Xx B = Vår koordinatvektor blir alltså x A = [7, 5, B =. Radreducerar man matrisen i uppgiften (kalla uppgiftsmatrisen för A) så får man A red 9 9 Från detta får vi att de tre första raderna i A red är en bas för radrummet. Eftersom pivotelementen står i kolonn, och så är de tre första kolonnerna i ursprungsmatrisen A en bas för kolonnrummet. Nollrummet bestämmer vi från ekvationssystemet Ax = som efter radreducering blir 9 9 från vilket vi kan läsa att (om vi kallar variablerna för x,..., x 5 och där x = s och x 5 = t är fria variabler). x = s t, x = 9 s t, x = 9 s + t, vilket leder till lösningen på vektoriell parameterform:: x x x x x 5 = 9/ 9/ s + / / De två kolonnvektorerna i höger led är nu basen till nollrummet. 5. Systemet på matrisform blir Ax = b där 9 A =, b = t 7 5 A

5 Normalekvationen A T Ax = A T b blir [ 7 7 som har lösningen som ger oss ekvationen [ a b [ a b = = [ [, x + y = 6. Kalla matrisen i uppgiften för M. Vi börjar med att beräkna egenvärdena som bestäms ur den karakteristiska ekvationen det(m λi) = : det(m λi) = det λ λ 5 λ = ( λ)( λ) = vilket ger att egenvärdena är λ = och λ = som är ett dubbelt egenvärde. Vi noterar redan här att för att matrisen ska vara diagonaliserbar så måste egenrummet till λ = vara tvådimensionellt. Detta måste vi alltså hålla koll på när vi beräknar egenvektorerna i det som följer: Vi beräknar egenvektorerna till våra egenvärden: λ = :: / M I = / 5 Detta ger oss egenvektorn / / Nu beräknar vi egenvektorerna till egenvärdet λ =. Är egenrummet tvådimensionellt? M I = 5 som ger oss egenvektorn Detta ger oss alltså att egenrummet till λ = är en-dimensionellt, dvs den geometriska multipliciteten är ett. Den algebraiska multipliciteten som vi fick från karakteristiska ekvationen är. Eftersom dessa två multipliciteter inte är lika så är matrisen inte diagonaliserbar. (Thm 7 sidan i kapitel 5. i Lay.) 5