1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen.

Transkript

1 Akademin för teknik och miljö Rolf Källström telefonkontakt med examinator via tentamensvakten Matematiktentamen Ingenjörer, lärare, m fl Linjär algebra maa. 5 6 Skrivtid: 9... Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara noggrant motiverade och prydligt nedskrivna (använd svenska språket!; ofullständig motivering kan ge poängavdrag. Varje uppgift ger maximalt 5 poäng.. Bestäm matrisen X så att [ ] [ X 8 ] E, där E är identitetsmatrisen.. Bestäm belopp och argument till det komplexa talet ( + i( i ( + i 5.. En vägg är bestämd genom att mäta upp koordinaterna för tre punkter A(,,, B(,, och C(,, på väggen (som inte alla ligger längs en rät linje. Vi har ett föremål som skall placeras punkten P (,,. Hur långt från väggen kommer därmed föremålet att vara? Här skriver vi A(,, osv för att kunna prata om punkten A med koordinater (,, i det vanliga euiklidiska rummet R (Tips: projicera lämplig vektor på en normalvektor till väggen.. Givet är vektorerna och i standardbasen S {e, e ( för R. I en annan bas B har vektorerna koordinaterna respektive basen B {f, f } där f och f skall uttryckas i koordinater i standardbasen. ( }. Bestäm 5. Den linjära transformationen T : R R, (x, y T (x, y bildas genom sammansättningen av en reflexion genom origo, en rotation vinkeln π/ moturs, och ( slutligen en reflexion x i x-axeln (i den ordningen. Bestäm en matris A så att T (x, y A. y

2 6. Bestäm en bas för nollrummet till matrisen 9 7 A samt ange matrisens rang. 7. Vi har mätdata enligt tabellen x y Vi har även givet tre funktioner f (x, f (x och f (x, vars värden är kända i de x-värden som mäts upp, enligt x f (x f (x f (x Välj parametrarna β, β och β så att funktionen y β f (x+β f (x+β f (x anpassas så bra som möjligt till mätdata i meningen att summan av kvadraterna på felen i y-värdena blir minimal. 8. Låt ( 7 A 7 (a Bestäm en matris P och en diagonalmatris D sådana att A P DP. (b Beräkna A. (c Kan matrisen A diagonaliseras ortogonalt?

3 Lösningar till tentamen i Linjär algebra, Vi behöver inversen ( 8 Vi kan då lösa ut matrisen X genom X (( ( ( 8 + E ( Belopp ( + i( i ( + i 5 Argument + i i + i 5 ( + ( + i( i arg ( + i 5 arg( + i + arg( i 5 arg( + i 5π Vi lägger till en multipel av π så att argumentet blir mellan och π, vi får då argumentet π 5π π.. Vi bildar en vektor som är vinkelrät mot väggen. Avståndet ges därefter av längden av projektionen av någon vektor från P till en punkt på väggen. Sätt v AB (,, och v (AC (,, och e e e u v v e (,,. Sätt sedan w AP (,,, varvid avståndet ges av proj u (w u w u w u u u u.. Kalla vektorerna v och w. Vi har alltså i standardbasen S koordinater [v] S och a [w] S, och i basen B har vi [v] B och [w] B. Skriv f och b c a c a c f. Vi får ekvationerna + och + d b d b d. Vi får två linjära ekvationssystem med samma koefficientmatris men olika högerled: a + c, a + c samt b + d, b + d. I matrisform: a b, c d Eftersom [f ] S ( a b ( ( ( ( får vi så ( ( c, [f ] S d ( ( (.

4 . Det ger standard- 5. Vi undersöker vad T gör med standardbasvektorna e e, e e matrisen [T ]. 6. Den reducerade trappstegsformen är A 5 ( ( och e (. e som alltså har två nollskilda rader, varför matrisen A har rang. Nollrummet ges av lösningarna till Ax b, vilket är samma som lösningarna till ekvationen A x b. Dvs, om x (x, x, x, x så är x t och x s fria variabler och Det ger x En bas för nollrummet ges av 7. Designmatrisen blir x + 5 s och x t + s t s t 5 s s { t, + s / 5/ } X. Det ger XT X 6 / 5/ observationsvektorn y och XT y 7 6 normalekvationer X T Xβ X T y löses genom att ställa upp den utökade matrisen /7 /7 /7, varför Det ger minstakvadratanpassningen y 8 7 f (x 7 f (x + 7 f (x. 8. a Egenvärden: Karaktäristisk ekvation blir λ 7 λ + 7, dvs (λ 7(λ+7+8, som har rötterna λ, λ. Egenrum: λ, bestäms av 6x x, så med

5 x t fri, x t, blir E {t(, }. λ, bestäms av 8x x, med x t fri, x t, så E {t( /, }. ON-bas för E ges av (,, för E, 5 ( /,. Sätter man P ( gäller D P AP och A P DP. ( b A (P DP P D P P jämt tal, så (. Alltså D D. Till slut A P DP I, P, där vi noterar att är ett dvs vi får identitetsmatrisen! c Eftersom matrisen A inte är symmetrisk följer av spektralsatsen att A inte kan diagonaliseras ortogonalt. Detta ses också av att matrisen P inte har ortogonala kolonnvektorer, alt att A:s egenvektorer inte är ortogonala. 5