x 1 x 2 x 3 z + i z = 2 + i. (2 + 2i)(1 i) (1 + i) 5.

Transkript

1 Akadein för teknik och iljö Sören Hector, tel , Mikael Forsberg, tel 7-44, Rolf Källströ, tel Mateatiktentaen Ingenjörer, lärare, fl Linjär algebra a4a 9 Skrivtid: 9 4 Inga hjälpedel Lösningarna skall vara noggrant otiverade och prydligt nedskrivna (använd svenska språket!; ofullständig otivering kan ge poängavdrag Varje uppgift ger axialt poäng Verifiera att atriserna A =, B = är varandras inverser och lös ekvationssyteet 6 8 7/ / 9/ / / / 6 8 7/ / 9/ / / / x x x = (a Bestä det koplexa talet z so löser ekvationen (b Bestä arguentet till det koplexa talet z + i z = + i ( + i( i ( + i Bestä h så att ekvationssysteet Ax = b, där 4 A = 7 och b = 6 6 h har oändligt ånga lösningar Fullständig otivation krävs (det är inte en bra idé att använda deterinanten 6 6,

2 4 Bestä avståndet från punkten (,, till linjen x = t L : y = + t z = t Givet är atrisen A = 6 Bestä rangen för A sat hitta baser för radruet row (A och kolonnruet col (A 6 Bestä en ortogonal bas för det ru so spänns upp av följande ängd av vektorer {,, } 7 Hookes lag i ekaniken säger att kraften f so krävs att dra ut (eller trycka ihop en fjäder är en linjär funktion av uttänjningen x av fjädern, dvs f = kx + a där k och a är aterialkonstanter so endast beror på fjädern Följande tabell ättes upp (i läpliga enheter för en speciell fjäder: x f Bestä bästa approxiationen, i insta kvadratening, av ätdata ed en sådan linjär funktion och använd detta för att uppskatta fjäderkonstanten k 8 Låt S = {e =, e =, e = vara standardbasen för R och sätt a = e + e Definiera den linjära transforationen T : R R, v T (v = a v (a Bestä atrisen A = [T ] för T i standardbasen S (b Bestä en vektor v så att T (v = e e + e (c Beskriv geoetriskt (ed en bild kolonnruet col A är }

3 Eleentära räkningar visar att AB = BA = I, identitetsatrisen ed storlek Multiplicerar an ekvataionssysteet B x = ed A får an AB x = x = A = Vi skriver ned den utökade atrisen och bildar trappstegsfor = h 6 h 64 Vi ser från sista raden att när h=64 får an en nollrad varpå vi får en fri variabel, vilket innebär att systeet för detta värde har oändligt ånga lösningar 4 Låt P = (,, Välj först en godtycklig punkt på linjen t ex R = (,, (svarar ot t = Bilda vektorn P R = Norera L:s riktningsvektor till v = varpå avståndet blir d = P R v Vi har P R v = avståndet Vi har A d = Vi ser från detta att en bas för radruet ges av { 7 9 8, = Alltså blir } Efterso kolonn nr och är pivoteringskolonnerna i den andra trappstegsforade atrisen, är dessa en bas för den andra atrisens kolonnru Däred är otsvarande kolonner i A en bas för col A, dvs an har basen Vidare har vi {, } rank A = di row A = di col A = 6 Vi använder Gra-Schidts ortogonaliseringsetod Sätt därför u = Vi bildar en

4 vektor so är ortogonal ot u ha v = u = v v u u u u =, geno = Vi bildar en vektor u so är ortogonal ot u och u ha v = u = v ( v u u + v u u u u u u = ( + / / / / / = / / / : / / Det är nu lätt att kontrollera att {, / / /, / / } är ösesidigt ortogonala vektorer i R, och tillsaans bildar de däred en ortogonal bas 7 Ekvationen för en (icke-vertikal rät linje är y = kx + Vi vill approxiera vektorn (,, k ed en vektor på foren (k +, k +, k + I atrisfor A där A = k Noralekvationerna för det val av (k, so ger insta värde på A, där k är vanliga längden av en vektor, ges av A t A = A t Utskrivet är detta: ( Vi löser ed gausseliination ( 7/6 / ( k = ( ( / ( 7/ Så välj k = och = / Vi får att fjäderkonstanten k uppätes till k = 4

5 8 (a Även o det inte efterfrågas kan vi kontrollera att T verkligen är en linjär transforation: Tag en linjärkobination c v + c v i R så får vi T (c v + c v = a (c v + c v = { kryssprodukten är en linjär operator} = c a v + c a v = c T (v + c T (v, vilket är precis vad det betyder att T är linjär Vi utnyttjar nu att e e = e sat regler för kryssprodukten Standardatrisen i basen S ges av A = [T ] = ([T (e ] S [T (e ] S [T (e ] S Vi har T (e = (e + e e = e, [T (e ] B = T (e = (e + e e = e, [T (e ] B = T (e = (e + e e = e + e, [T (e ] B = Vilket ger A = [T ] = ([T (e ] S [T (e ] S [T (e ] S = (b Ekvationen T (v = e e + e har koordinatforen (i basen S [v] S = vilken löses på vanligt sätt, eller an läser av, till [v] S = (,,, dvs v = e + e (c Kolonnruet ges av alla vektorer so kan skrivas a v för någon vektor v Detta ges av alla vektorer so är vinkelräta ot vektorn a = e + e, vilket är ett plan ed noralvektor (,, so innehåller origo