14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

Transkript

1 14 september, 2016 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess lösningar Uppgift Reducera följande totalmatris till reducerad trappstegsform med Gauss- Jordaneliminering Uppgift Följande linjära ekvationssystem är givet x 1 + x 2 + 7x 2 = 7 2x 1 + 3x x 3 = 16 x 1 + 2x 2 + (a 2 + 1)x 3 = 3a a Bestäm ett värde på a så att systemet saknar lösningar b Bestäm ett värde på a så att systemet har minst en fri variabel samt bestäm systemets lösning(ar) c Bestäm ett värde på a så att systemet har en unik lösning Bestäm systemets lösning för värdet på a IDAG 1 Följande tabell av reella tal kallas för en n k-matris n 1-matrisen a 11 a 21 a n1 är en (kolonn)vektor i Rn 1

2 2 1 k-matrisen a11 a 12 a 1k är en (rad)vektor En matris kallas för en kvadratisk matris om antalet av rader är lika med antalet kolonner (n = k) Följande n n-matris kallas för identitetsmatrisen och betecknas med I n Vad kan vi göra med matriser? I n = Om två matriser har samma storlek kan vi addera (eller subtrahera) dem Låt A och B vara n k matriser (n rader och k kolonner) b 11 b 12 b 1k b 21 b 22 b 2k B = b n1 b n2 b nk a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1k + b 1k a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2k + b 2k A + B = a n1 + b n1 a n2 + b n2 a nk + b nk a 11 b 11 a 12 b 12 a 1k b 1k a 21 b 21 a 22 b 22 a 2k b 2k A B = a n1 b n1 a n2 b n2 a nk b nk Vi kan multiplicera en matris med ett reellt tal c ca 11 ca 12 ca 1k ca 21 ca 22 ca 2k c ca n1 ca n2 ca nk Vi kan ta transponatet av en n k-matris A och få en k n-matris A T a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a nk A T = a 1k a 2k a nk

3 Notera att den i-te raden i A T är lika med den i-te kolonnen i A och den i-te kolonnen i A T är lika med den i-te raden i A Exempel: a 1 a 2 a n T = a 1 a 2 a n 3 och: a1 a 2 a n T = a 1 a 2 a n 3 Uppgift Låt Beräkna A + B, B + A och 3A 2B B = Läs om kommutativa och associativa lagar för addition, Sats 321 i Anton & Busby 4 Matrismultiplikation Låt A vara en n k-matris R 1 R 2 R n = där R i = a i1 a i2 a ik är den i-te raden i A Låt B vara en k m-matris, B = B 1 B 2 B m = b 11 b 12 b 1m b 21 b 22 b 2m b k1 b k2 b km

4 4 där B i = b 1i b 2i b ki är den i-te kolonnen i B Notera att för alla i och j så är B i och R T j vektorer i R k Det betyder att vi kan beräkna skalärprodukten mellan dem, R T j B i Matrismultiplikationen mellan A och B är den n m matris som ges av AB = R 1 R 2 R n B1 B 2 B m = R1 T B 1 R1 T B 2 R1 T B m R2 T B 1 R2 T B 2 R2 T B m Rn T B 1 Rn T B 2 Rn T B m Vad gäller för storleken på matriserna A och B för att multiplikationen mellan A och B ska vara definierad? 5 Uppgift Låt: B = Är matrismultiplikationen AB definierad? Är matrismultiplikationen BA definierad? I det fall den är definierad, beräkna produkten 6 Uppgift Låt Beräkna AB, BA, BC och CB B = Uppgift Låt A vara n k matris Bevisa att: I n A där I n och I k är identitet matriser AI k = A C = Notera att Att produkten AB är definierad är ingen garanti för att BA är definierad Både AB och BA kan vara definierade men de kan ha olika storlek Både AB och BA kan vara definierade men AB är inte nödvändigtvis lika med BA

5 8 Proposition (Se Sats 322 och Sats 3210 i Anton & Busby) Låt A och D vara n k-matriser, låt B vara en k m-matris och C vara en m l-matris Då gäller bland annat följande (1) (AB)C = A(BC) Vilken storlek har den resulterande produkten? (2) (A + D)B = AB + DB (3) (A T ) T = A (4) (AB) T = B T A T (5) (A + D) T = A T + D T (6) (A D) T = A T D T (7) (ca) T = c(a T ) 9 Matrismultiplikation och linjära ekvationer Betrakta en n k-matris A och en k 1-matris x: Matrismultiplikationen A x ges av a A x = 21 a 22 a 2k x 1 x 2 x k = x = x 1 x 2 x k a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1k x k a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2k x k a n1 x 1 + a n2 x 2 + a nk x k vilket betyder att vi kan skriva ett system av linjära ekvationer på följande sätt där b = b 1 b 2 b n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x k = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x k = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nk x k = b n A x = b 10 Proposition (se Sats 315, i Anton & Busby) Låt A och B vara n k-matriser, låt x och y vara vektorer i R k samt låt c vara ett reell tal Då gäller att 5

6 6 (1) A( x + y) = A x + A y (2) A(c x) = c(a x) = (ca) x (3) (A + B) x = A x + B x 11 Inre och yttre matrisprodukt Om u och v är två kolonnvektorer av samma storlek så är u T v en inre matrisprodukt Vad blir storleken på produkten? Känner vi igen detta sedan tidigare? u v T en yttre matrisprodukt Vad blir storleken på produkten? 12 Uppgift Låt Beräkna A x 13 Uppgift Låt Beräkna u T v samt u v T 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 u = v = 1 x = Inverterbara matriser En matris A är inverterbar om det finns en matris B så att AB och BA är identitetsmatriser Matrisen B kallas för inversen till A och betecknas med A 1 Notera att endast kvadratiska matriser är inverterbara Varför det? 15 Proposition (Se bland annat Sats 339 i Anton & Busby) (1) Låt A vara en n n-matris som är inverterbar och låt A 1 vara inversen till A Då AA 1 = I n och A 1 I n (2) Låt A vara en n n-matris Om B är en n n-matris och AB = I n, då är B = A 1 (3) Låt A vara en n n-matris Om B är en n n- matris och B I n, då är B = A 1 (4) En n n-matris A är inverterbar om och endast om rang(a) = n, dvs, antalet av pivotkolonner är lika med n (5) En n n-matris A är inverterbar om och endast om systemet A x = 0 bara har en lösning som ges av 0 (triviala lösningen) (6) En n n-matris A är inverterbar om och endast om systemet A x = b bara har en lösning för alla b

7 (7) En n n-matris A är inverterbar om och endast om kolonnerna är linjärt oberoende (detta återkommer vi till i F8) 7 16 Uppgift Bestäm om följande matris A är inverterbar Uppgift Avgör genom inspektion om följande homogena system har en icketrivial lösning och avgör om koefficientmatrisen är inverterbar 2x 1 + x 2 3x 3 + x 4 = 0 5x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 0 x 3 + 2x 4 = 0 x 4 = 0 18 Uppgift Hitta alla värden på a för vilka matrisen a a a 1 a a 1 1 a är inverterbar 19 Proposition (se Sats 327 i Anton & Busby) a b En 2 2-matris är inverterbar om och endast om ad bc 0 (ad bc c d kallas för determinanten av A) I detta fall ges inversen till A av A 1 1 d b = ad bc c a 20 Uppgift Bestäm om följande matris A är inverterbar och i så fall hitta inversen A