TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll Lay, kapitel , Linjära ekvationer i linjär algebra

Transkript

1 TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel , Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska objekt 2. linjärkombination av vektorer 3. matrisekvation 4. linjär avbildning. 1

2 1.1 Linjära ekvationssystem Viktiga begrepp Lösning till ekvationssystem, ekvivalens Totalmatris, utökad matris (till ett ekvationssystem) Elementär radoperation, radekvivalens Konsistent ekvationssystem Inkonsistent system Lärandemål 1.1 För betyget godkänd skall du kunna: lösa linjära ekvationssystem med eliminationsmetoden För högre betyg skall du dessutom kunna: förklara varför eliminationsmetoden leder till ekvivalenta system och vad detta innebär Exempel 1 Ett linjärt ekvationssystem: x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 2

3 Elementära radoperationer 1. Addition Ersätt en ekvation med summan av den ekvationen och en multipel av en annan ekvation. 2. Platsbyte Låt två ekvationer byta plats. 3. Skalning Multiplicera koefficienterna i en ekvation med en konstant (utom 0). Observation: Elementära radoperationer är reversibla eftersom man återfår ''det gamla'' ekvationssystemet genom en elementär radoperation på ''det nya''. De två systemen kallas radekvivalenta. Sats Radekvivalenta ekvationssystem har samma lösningsmängder, de är alltså ekvivalenta Vi skriver ES1 ES2. Exempel 1 Totalmatrisen (den utökade matrisen) till det linjära ekvationssystemet i exempel 1 är:

4 Elementära radoperationer på matriser 1. Addition Ersätt en rad med summan av raden och en multipel av en annan rad 2. Platsbyte Låt två rader byta plats 3. Skalning Multiplicera koefficienterna i en rad med en konstant (utom 0) Radekvivalens Matriser som erhålls ur varandra genom radoperationer kallas radekvivalenta. Vi skriver M 1 M 2 Radekvivalenta totalmatriser hör till ekvivalenta ekvationssystem. Två fundamentala frågor om ekvationssystem 1. Är systemet konsistent, existerar någon lösning? 2. Om det finns minst en lösning, är den i så fall unik, entydig? En viktig del i kursen är att förstå vad dessa frågor betyder i olika situationer och att kunna besvara dem. 4

5 1.2 Radreduktion och trappstegsform Viktiga begrepp Trappstegsform (echelon form) Reducerad trappstegsform (reduced row echelon form, rref) Pivot position, pivot kolonn Fri variabel Bunden variabel Lärandemål 1.2 För betyget godkänd skall du kunna: förklara hur de olika typerna av lösningsmängder uppkommer och hur de kan beskrivas. använda sats i problemlösning För högre betyg skall du dessutom kunna: Inga ytterligare mål i detta avsnitt En matris har trappstegsform om: 1. Under en rad med bara nollor finns inget annat än nollor. 2. Det första nollskilda elementet i varje rad är till höger om det första nollskilda elementet i raden ovanför. 3. Under det första nollskilda elementet i en rad (och under nollorna till vänster om detta element) finns endast nollor. 5

6 En matris har (rad)reducerad trappstegsform om Den är i trappstegsform och dessutom 1. Alla pivotelement är Över pivotelementen finns bara nollor A= B= ConcepTest redigera Vilka av matriserna är i trappstegsform? Reducerad trappstegsform? D= E= C= Sats 1: Den reducerade trappstegsformens entydighet Varje matris är radekvivalent med en och endast en (exakt en) reducerad trappstegsmatris. (Detta är inte alls självklart, beviset kräver en del begrepp och resonemang som dyker upp senare i kursen. 6

7 Definition Om matrisen A är radekvivalent med den reducerade trappstegsmatrisen E så kallas en position i A för pivotposition om elementet där svarar mot ett pivotelement i E. En kolonn i A som innehåller en pivotposition kallas en pivotkolonn. Notera att pivotpositionerna inte är entydigt bestämda men att pivotkolonnerna är det. Sats 2: Existens och entydighet för lösningar till linjära ekvationssystem. Ett linjärt ekvationssystem är konsistent (har lösning) om och endast om den högra kolonnen i totalmatrisen inte är en pivotkolonn. Detta är samma som att trappstegsformen inte innehåller en rad av typen [ 0 0 b ] därb 0 Ett konsistent system har unik lösning om och endast om alla kolonner utom den högra i totalmatrisen är pivotkolonner. 1.3 Vektorekvationer Kolonnvektor Linjärkombination Linjärt hölje (span) Viktiga begrepp 7

8 Lärandemål 1.3 För betyget godkänd skall du kunna: förklara hur ett ekvationssystem hänger samman med en vektorekvation x 1 a 1 +x 2 a 2 +x 3 a 3 + +x p a p =b avgöra om en vektor är linjärkombination av givna vektorer För högre betyg skall du dessutom kunna: redogöra för begreppet linjärkombination Rummet R n. R n n (u 1,u 2,,u n ) Vektorer i är -tipler av reella tal eller skrivna som kolonnmatriser u= u 1 u 2 u n R 2 R 3 Vektorer i och kan uppfattas som punkter eller som vektorer i planet respektive rummet där vi utgår från en ON-bas. Addition och subtraktion Addition och subtraktion av vektorer samt multiplikation med skalär sker ''koordinatvis''. Exempel: u 1 u 2 u 3 u 4 + ( 1)u=( 1) v 1 v 2 v 3 u 4 u 1 u 2 u 3 u 4 = = u 1 +v 1 u 2 +v 2 u 3 +v 3 u 4 +v 4 u 1 u 2 u 3 u 4 = u 8

9 Vanliga räknelagarna gäller För alla vektorer och gäller d u+v=v+u u, v och alla skalärer c c(u+v)=cu+cv (u+v)+w=u+(v+w) (c+d)u=cu+du u+0=0+u=u c(du)=(cd)u u+( u)=( u)+u=0 1u=u Linjärkombination En linjärkombination av vektorerna v 1,v 2,v 3,,v p med vikterna c 1, c 2, c 3,, c p är vektorn y som ges av y=c 1 v 1 +c 2 v 2 +c 3 v 3 + +c p v p Vektorekvation ekvationssystem Vektorekvationen x 1 a 1 +x 2 a 2 +x 3 a 3 + +x p a p =b har samma lösningar som ekvationssystemet vars totalmatris är [ a1 a 2 a 3 b ] 9

10 Linjära höljet Linear Span Mängden av alla linjärkombinationer av v 1,v 2,v 3,,v p kallas linjära höljet av eller delmängden av R n som spänns upp av Linjära höljet betecknas v 1,v 2,v 3,,v p Span{v 1,v 2,v 3,,v p } v 1,v 2,v 3,,v p Linjärkombination = lösning till ES. b Span{v 1, v 2, v 3,, v p } om och endast om x 1 v 1 +x 2 v 2 +x 3 v 3 + +x p v p =b har minst en lösning. Ax=b 1.4 Matrisekvationen. Multiplikation Viktig operation matris kolonnvektor 10

11 Lärandemål 1.4 För betyget godkänd skall du kunna: förklara hur ett ekvationssystem hänger samman med matrisekvationen Ax=b använda sats i problemlösning För högre betyg skall du dessutom kunna: bevisa sats Matrismultiplikation Låt vara -matrisen A= [ ] A m n a 1 a 2 a 3 a n där kolonnerna i A är vektorer i R m. Låt x vara en vektor i R n Då är produkten Ax linjärkombinationen av kolonnerna i A med vikterna x 1, x 2,, x n. x 1 Ax= [ ] a 1 a 2 a 3 a n x 2 x n =x 1 a 1 +x 2 a 2 +x 3 a 3 + +x n a n Sats Matrisekvationen Ax=b har samma lösningar som vektorekvationen x 1 a 1 +x 2 a 2 +x 3 a 3 + +x n a n =b som i sin tur har samma lösningar som ekvationssystemet vars totalmatris är [ a1 a 2 a 3 a n b ] 11

12 Sats Låt A vara en m n -matris. Då är följande utsagor logiskt ekvivalenta. a) För varje b i R m har ekvationen Ax=b minst en lösning. b) Varje b i R m är linjärkombination av kolonnerna i A. c) Kolonnerna i A spänner upp R m d) A har pivotposition i varje rad. Sats Om A är en m n-matris, u och v är vektorer i R n, och c är en skalär, så gäller: A(u+v)=Au+Av och A(cu) = c(au) Multiplikation med matris är linjär 1.5 Lösningsmängder Homogen ekvation Trivial lösning Icke-trivial lösning Viktiga begrepp 12

13 Lärandemål 1.5 För betyget godkänd skall du kunna: skriva lösningsmängden till ett ekvationssystem på vektorform För högre betyg skall du dessutom kunna: bevisa sats Fundamental observation Den homogena ekvationen Ax=0 har icke-trivial lösning om och endast om ekvationen har minst en fri variabel Sats Antag att ekvationen Ax=b är konsistent för ett visst högerled b och låt p vara en lösning. Då är ekvationens lösningsmängd alla vektorer på formen w=p+v h där v h är lösning till homogena ekvationen Ax=0 13

14 1.6 Tillämpningar Viktiga begrepp Inga nya begrepp i detta avsnitt. Kapitlet ingår inte i kursen, men väl värt att läsa kursivt. Eventuellt tas något exempel upp som illustration. Lärandemål 1.6 För betyget godkänd skall du kunna: Inga godkändmål i detta avsnitt För högre betyg skall du dessutom kunna: Inga överbetygsmål i detta avsnitt 1.7 Linjärt oberoende Linjärt oberoende Linjärt beroende Viktiga begrepp 14

15 Lärandemål 1.7 För betyget godkänd skall du kunna: avgöra om en given mängd av vektorer är linjärt beroende eller linjärt oberoende. För högre betyg skall du dessutom kunna: redogöra för begreppen linjär kombination, linjärt beroende och linjärt oberoende förklara hur begreppen ovan hänger samman med egenskaper hos ekvationssystem, matrisekvationer och vektorekvationer bevisa sats och Linjärt oberoende Mängden av vektorer {v 1,v 2,v 3,,v p } i R n sägs vara linjärt oberoende om och endast om vektorekvationen x 1 v 1 +x 2 v 2 +x 3 v 3 + +x p v p =0 endast har trivial lösning. Linjärt beroende Mängden av vektorer {v 1,v 2,v 3,,v p } i R n sägs vara linjärt beroende om och endast om vektorekvationen x 1 v 1 +x 2 v 2 +x 3 v 3 + +x p v p =0 även har icke-trivial lösning. Alltså om och endast om det finns vikter c 1, c 2,, c p, som inte alla är noll, men så att c 1 v 1 +c 2 v 2 +c 3 v 3 + +c p v p =0 15

16 Fundamental observation Kolonnerna i en matris A är linjärt oberoende om och endast om ekvationen Ax=0 endast har trivial lösning. Sats En mängd som består av två eller fler vektorer {v 1,v 2,v 3,,v p } är linjärt beroende om och endast om minst en av vektorerna är en linjärkombination av de övriga. Man kan inte veta på förhand vilken/vilka detta är. Sats Varje mängd {v 1,v 2,v 3,,v p } av vektorer i, där är större än är linjärt beroende. R n p n R n n (Högsta antalet linjärt oberoende vektorer i är.) 16

17 Sats Om en mängd vektorer {v 1,v 2,v 3,,v p } i R n innehåller nollvektorn, så är mängden linjärt beroende. 1.8 Linjära transformationer Viktiga begrepp Transformation, avbildning Linjär avbildning Definitionsmängd domän Målmängd codomän Lärandemål 1.8 För betyget godkänd skall du kunna: avgöra om en given avbildning är linjär För högre betyg skall du dessutom kunna: Inga ytterligare mål i detta avsnitt 17

18 Transformation Avbildning En funktion eller transformation eller avbildning från R n till T R m är en regel som T(x) till varje vektor x i R n ordnar en vektor i R m R n kallas funktionens definitionsmängd eller domän. R m kallas funktionens codomän eller målmängd. Beteckningen T :R n R m läses T är en avbildning från R n till R m Avbildning som ges av en matris. Om A är en m n-matris så ger varje vektor i R n en vektor Ax i R m. Vi har således en avbildning T :R n R m som ges av T(x)=Ax. Vi kan också skriva x T :R n R m ges av x Ax En avbildning Definition: Linjär avbildning T kallas linjär om i. T(u+v)=T(u)+T(v) u v T för alla och i :s domän. ii. T(cu)=cT(u) u T c för alla i :s domän och alla skalära. 18

19 Avbildning som ges av matris är linjär. A Antag att är en m n - matris. Matrismultiplikation har då följande egenskaper: i. A(u+v)=Au+Av för alla u och v i R n ii. A(cu)=c(Au) för alla u i R n och alla skalära c. Slutsats T :R n R m som ges av T(x)=Ax är en linjär avbildning. 1.9 Matrisen till en linjär transformation Viktiga begrepp Standardmatris, avbildningsmatris Injektiv, ett-ett, one-to-one Surjektiv, på, onto Lärandemål 1.9 För betyget godkänd skall du kunna: bestämma standardmatrisen till en linjär avbildning F då F(v) är givet för tillräckligt många vektorer v. För högre betyg skall du dessutom kunna: bestämma standardmatrisen till linjära avbildningar som ges av en geometrisk beskrivning besvara frågor om injektivitet och surjektivitet för linjära avbildningar. 19

20 Sats 10. Matrisen till en linjär avbildning. Låt T :R n R m vara en linjär avbildning. A Då finns en unik matris sådan att T(x)=Ax för alla x i R n Denna matris kallas standardmatrisen eller avbildningsmatrisen till avbildningen A T Matrisen är den m n -matris som bestäms på följande sätt: Låt e j vara den j :te kolonnen i enhetsmatrisen I n och a j =T(e j ). Då är A= [ ] a 1 a 2 a n Definition: T :R n R m En avbildning kallas surjektiv (eng. onto), om och endast om varje vektor b i R m är bild av minst en vektor x i R n. Värdemängden är i så fall hela R m Definition: T :R n R m En avbildning kallas injektiv eller en-entydig (eng. one-to-one) om och endast om varje vektor b i R m är bild av högst en vektor x i R n. 20

21 Låt Då är T :R n R m T Sats 11 vara en linjär avbildning. injektiv om och endast om ekvationen T(x)=0 endast har den triviala lösningen Sats 12 Låt T :R n R m vara en linjär avbildning och låt A vara standardmatrisen för T. Då gäller: T a. är surjektiv, avbildar R n på, onto R m om och endast om kolonnerna i spänner upp R m T A b. är injektiv, en-entydig, one-to-one om och endast om kolonnerna i A är linjärt oberoende. 21