6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A ="

Rebecka Sandström
för 8 år sedan
Visningar:

1 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader och n är antalet kolumner (eller kolonner i matrisen Talen a ij kallas matrisens element Första index i betecknar den rad och andra index j den kolumn elementet a ij står på Exempel 6 Matriserna ( , (, 9 2, och (7 är av typ 2 3, 3, 3, respektive Matrisen ( är ett exempel på en radmatris medan 9 2 är ett exempel på en kolumnmatris Ofta identifieras matriser med tal så att (7 7

2 62 Matrisoperationer Matrisoperationer Exempel 62 (Addition Summan av två matriser av samma typ definieras elementvis: ( ( ( ( Exempel 63 (Multiplikation med tal Produkten av en matris med ett tal definieras elementvis: ( ( ( Exempel 64 Beräkna 3A B, om A Lösning: ( 2 och B ( Exempel 65 (Produkt Produkten mellan en matris A av typ m p med element a ij och en matris B av typ p n med element b ij är en matris C AB av typ m n med p element c ij a ik b kj på plats ij För att bestämma c, tar vi den första raden i A och k multiplicera den emelementvis med den första kolumnen i B, dvs c a b + a 2 b 2 + a 3 b a p b p För att bestämma c 2, tar vi den första raden i A och multiplicera den elementvis med den andra kolumnen i B, dvs c 2 a b 2 + a 2 b 22 + a 3 b a p b p2, och så vidare Låt oss titta på ett numeriskt exempel: 2 ( medan är ej definierad (

3 64 6 MATRISER Exempel 66 Beräkna AB och BA, om A Lösning: ( 2 och B ( Exempel 66 visar att man inte kan kasta om ordningen i en matrisprodukt, dvs AB BA Observera också att produkten av två nollskilda matriser kan bli en nollmatris Exempel 67 Vi säger att två matriser A och B kommuterar med varandra om AB BA ( Bestäm alla matriser som kommuterar med A Lösning:

4 62 Matrisoperationer 65 Definition 68 Transponatet A t av en m n-matris A är den n m-matris som fås genom att byta plats på A:s rader och kolonner Exempel 69 (Transponering Om A ( , så är A t Exempel 60 Bestäm A t om A ( Lösning: Sats 6 Räknelagar för transponat: (A t t A 2 (A + B t A t + B t 3 (λa t λa t, där λ är ett reellt tal 4 (AB t B t A t Exempel 62 Låt A ( ( Då är A t 2 2 3, dvs A t A Denna klass av matriser som har egenskapen att transponatet är matrisen igen, precis som vi såg i Exempel 62, är så pass viktig i tillämpningar att den har fått ett eget namn Definition 63 En matris A sådan att A t A kallas symmetrisk Exempel 64 Matriserna som beskriver projektion eller spegling i en linje eller ett plan är symmetriska

5 66 6 MATRISER 63 Matrisinvers Vi har tidigare lärt oss addera och multiplicera matriser Härnäst ska vi införa en operation som gör det möjligt att dela med vissa matriser Exempel 65 Betrakta det linjära ekvationssystemet vi hade i Exempel : x + y x + 2y + 3z 3x + 2y z Om vi inför A , x x y z, och b, kan systemet skrivas x y z, dvs Ax b Om A, x och b vore tal, skulle man kunna lösa ut x ur ekvationen Ax b genom att dela med A: x A b A b Nedan skall vi lösa följande problem: Problem: Hur delar man med en matris? Vad är inversen A om A är en matris? Lägg märke till att för reella tal A gäller AA A A

6 63 Matrisinvers 67 Definition 66 En matris av typen n n kallas kvadratisk av ordningen n En enhetsmatris är en kvadratisk matris E, som har ettor på huvuddiagonalen från övre vänstra hörnet till nedre högra hörnet Exempel 67 Matriserna ( 0 0, , , är enhetsmatriser av ordningen 2, 3 respektive 4 Exempel 68 Låt A och ( 2 EA AE Då är ( 0 0 ( 2 ( 2 ( 0 0 ( 2 ( 2 En enhetsmatris fungerar alltså som en etta vid multiplikation, Definition 69 En kvadratisk matris kallas inverterbar, om det finns en kvadratisk matris B av samma ordning så att AB BA E Matrisen B kallas i så fall en invers till A Inversen till matrisen A betecknas A Sats 620 (Räknelagar för invers: Om A och B är inverterbara matriser, så gäller att (A A 2 (λa λ A, där λ R och λ 0 3 (AB B A 4 (A t (A t

7 68 6 MATRISER Följande sats visar att en matris kan ha högst en invers Sats 62 Om B och C är inverser till A, så är B C Bevis: Exempel 622 Visa att matrisen A Lösning: ( 2 har inversen A ( 2

8 63 Matrisinvers 69 Exempel 623 Bestäm inversen till matrisen A ( 2 2 ( x x Lösning: Vi söker alltså en matris B 2 som uppfyller x 2 x 22 AB E x 2 ( 2 2 ( x x 2 x 2 x 22 om den existerar ( 0 0 Genom att jämföra kolonnerna i varje led så kan detta ses som två mindre ekvationssystem ( ( ( ( ( ( 2 x 2 x2 0 och Eftersom det är samma matris i båda leden leder det till samma radoperationer i båda systemen Detta utnyttjar vi genom att ställa båda höger leden bredvid varandra i ett utökat system ( ( ( /3 /3 x 22 ( 0 /3 2/3 0 2/3 /3 Eftersom vi nu har fått enhetsmatrisen i vänstra ledet i det utökade systemet, så innebär det att vi har erhållit inversen i hägra ledet vi har alltås att ( /3 2/3 B ( 2 2/3 /3 3 2 Exempel 624 Bestäm inversen till matrisen A ( om den existerar Lösning: Enligt exmplet ovan så bestämmer vi inversen till matrisen A genomm att lösa det utökade systemet ( ( Systemet saknar lösning och vi har inte kunnat lösa alla obekanta elemnet x ij i den inversa matrisen B Vi säger att matrisen saknar invers

9 70 6 MATRISER Exempel 625 Lös ekvationssystemet i Exempel 65 Lösning:

10 64 Tillämpningar 7 64 Tillämpningar I exemplen nedan antar vi att {e,e 2 } vara en ON-bas i planet och Oe e 2 ett högerorienteratsysten i detta plan ( Exempel 626 Antag att u e + e 2 e är en vektor i planet och låt matrisen ( ( 0 A Låt oss sätta den 2 kolonnmatrisen X innehålla koordinaterna 0 för vektorn u Då är multiplikationen mellan A och X väldefinierat och vi får ( ( ( 0 AX 0 ( För att tolka resutatet geometriskt kan vi tänka oss att kolonnmatrisen är koordinaterna för en vektor v, dvs v e + e 2 e Vektorerna u och v är lika långa ( och vinkeln mellan dem är π, dvs ortogonala Man erhåller vektorn v genom att vrida 90 2 vektorn u moturs För att övertyga sig om detta kan man se att ( 0 0 dvs vektorn e vrids på e 2 och att ( 0 0 dvs vektorn e 2 vrids på e Figur 627 ( 0 ( 0 ( 0 ( 0,, e 2 Ae vau u Ae 2 e e

11 72 6 MATRISER Exempel 628 Betrakta den parallellogram som spänns upp av kantvektorerna ( ( u e e och v e 0 + e 2 e ( Matrisen A multiplicerad med kolonnmatriserna 0 innehåller koordinaterna för vektorerna u respektive v ger ( ( (, ( 0 och ( som som är koordinaterna för vektorn e respektive ( ( ( 0 0 är koordinaterna för vektorn e 2, Figur 629

12 64 Tillämpningar 73 Exempel 630 Vi vet från analysen att ellipsen x2 a 2 + y2 kan parametriseras mha a2 polära koordinater enligt { x acos θ y bsin θ, 0 θ 2π ( acos θ Varje punkt P (acos θ,bsinθ på ellipsen har alltså ortsvektorn Multiplicerar bsin θ ( /a 0 vi matrisen med kolonnmatrisen som innehåller koordinaterna för ortvektorn 0 /b u OP till en punkten P på ellipsen får vi att ( ( ( /a 0 acos θ cos θ 0 /b bsin θ sin θ som är koordinater för ortsvektorn v OQ för punkten Q (cos θ,sinθ på enhetscirkeln, ty cos 2 θ + sin 2 θ Figur 63 u P v θ Q

13 74 6 MATRISER Exempel 632 The International Standard Book Number, ISBN, är en kontroll digital kod Tex, så har kurslitteraturen Lineär algebra av KG Andersson ISBN nummret Vi lägger detta nummer i en kolonnmatris (9,,4,4,0,,6,0,8,c t av ordning 0, där slutsiffran 5 är ersatt av konstanten c Kolonnmatrisen kan betraktas innehålla koordinaterna för en vektor u givna i en ON-bas Vi ska nu kontrollera att ISBN nummret är rätt geonom att kontrollera att slutsiffran c 5 Låt a vara en vektor med koordinaterna (,2,3,4,5,6,7,8,9, 0 t i en kolonnmatris av ordning 0 Kontrollen av att c 5 går nu ut på att c ska kunna väljas så att skalärprodukten blir 0, dvs vilket ger a u 0, a u c c Eftersom det är bestämt att ett ISBN nummer skall vara 0-siffrigt, så räknar vi i moduler om, dvs vi räknar bara med talen 0,,,0 Talet svarar alltså mot 0 och talet 2 svarar mot, 3 mot 2,,22 mot 0 osv Detta betyder att a u c c ( c (4 + c + 5 c Eftersom (4 + c är ett heltal gånger, så svarar detta tal mot 0 Vi får därmed att Detta visar att ISBN nummret är korrekt a u 5 c 0 c 5

14 64 Tillämpningar 75 Exempel 633 The Universal Product Code, IPU, är en digital kod för märkning IPU nummret för samma litteratur ovan är En laserpenna läser in den svart-vita streckkoden och kontrollerar att det är ett IPU nummer Idén är densamma som i fallet med ISBN Vi lägger in detta nummer i en kolonnmatris (9,7,8,9,,4,4,0,, 6, 0, 8,d t av ordning 3 som är koordinaterna för en vektor v och där slutsiffran 5 är ersatt av konstanten d Kontrollvektorn b har här koordinaterna (,3,,3,,3,, 3,,3,,3, t Kontrollsiffran d ska vara sådan att b v 0 Vi får att d d 0 Här räknar man i moduler om 0, dvs endast med talen 0,,,9 Talet 0 svarar alltså mot 0 och talet svarar mot, 2 mot 2,,20 mot 0 osv Alltså, får vi att b v 25 + d d 5 + d 0, om d 5 IPU nummret är alltså rätt

Relevanta dokument

! &'! # %&'$# ! # '! &!! #

! &'! # %&'$# ! # '! &!! # 56 6 MATRISER 6.6. Tillämpningar I exemplen nedan antar vi att {e, e 2 } är en ON-bas i planet och Oe e 2 ett högerorienterat system i detta plan. Exempel 6.39. Antag att u e + e 2 e är en vektor i planet