x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

Transkript

1 Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten AX = x + x + x + x x + x + x x + x + x i R På detta sätt ger matrisen A upphov till en funktion, eller avbildning, från R till R Vi vill skriva detta som T A : R R Och mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m 0 Exempel Matrisen A = ger en avbildning T 0 A R R Geometrisk vill avbildningen sträcka x-ledet med faktor två, och spegla y-ledet omkring x-axeln Exempel Matrisen A = ger en avbildning T A : R 0 R Punkten e = skickas till, och punkten e 0 = skickas till Detta betyder att enhets kvadratet med hörn i origo, e och e och e + e vrids med grader moturs, och sträcks med i varje led Vi kan skriva 0 = sqrt 0 Detta betyder att avbildningen T A ges som samansätningen av avbildningen T C och T B, där C = 0 B = 0 Avbildningen T C : R R ges som multiplikation med matrisen C, och denna matris är rotationsmatrisen med vinkel grader moturs Avbildningen T B : R R sträcker x och y -led med faktorn Den sammansätta avbildningen T B T C : R R som först roterar

2 planet med grader, och sedan sträcker koordinaterna med faktorn ges av att först multiplicera med C, och sedan med matrisen B Det vill säga T B T C (X) = B C X Håll ordning på vilken ordning matriserna skall multipliceras I detta exemplet är BC = CB, vilket betyder att man också kan beskriva T A som först att sträcka med faktorn och sedan rotera I allmänhet vill inte matrisprodukten vara kommutativ, och de två olika produkterna ger två olika avbildningar Exempel Tentamen , Uppgift Här är man given matrisen A = Först skall man beräkna potenserna A n med n = ±, ±, 0 Vi har att A 0 är identitetsmatrisen Inversmatrisen A = Man räknar ut A = A A och A = A A Matrisen A ger en avbildning T A : R R Andra del av uppgiften är att bestämma 0 T A (Ω), där Ω är rektangel med hörn i origo, e =, e 0 = och 6 e + e = Vi beräknar att T (e ) = A e = och att T (e ) = A e = Detta betyder att T 6 A (Ω) är rektangel med 6 8 hörn i origo,, och 6 Enhetskub och volym Vi låter enhetskuben K R n vara kuben som bestäms av hörnen e,, e n och origo I R har vi en äkta kub, i planet är enhetskuben lika med enhetskvadratet, och i linjen är enhetskuben lika med ett linjesegment Vi definerar enhetskuben K R n att ha volym Detta betyder att till varje avgränsad mängd i L R n kan vi fråga oss hur många enhetskuber som får plats i L, och detta antalet definierar vi som volymen till L Låt A vara en (n n)- matris, och betrakta den associerade avbildningen T A : R n R Vi har att det(a) = Volym(T A (K)) Exempel 6 I Exempel så vi att enhetskvadratet skickades till ett rektangel med area Och vi har att determinanten till matrisen A är -, och specielt att beloppet är I Exempel skickades enhetskvadratet till ett kvadrat med sidolängder Arean blir =, vilket också är determinantens värde

3 7 Inverterbarhet Vissa avbildningar T A : R n R n är inverterbara Detta betyder att det finns en avbildning U : R n R n sådan att de två sammansätningarna U T A och T A U båda blir lika med identitetsavbildningen Vi har att en avbildning T A : R n R n är inverterbar om och endast om matrisen A är inverterbar, vilket är ekvivalent med determinanten till A är nollskild Den inversa avbildningen till T A ges av matrismultiplikationen T A Exempel 8 Tentamen 00 0, Uppgift : Matrisen A = ger en avbildning T A : R R Området Ω skickas till ett rektangel med hörn Vi skall bestämma Ω Det är nog att bestämma urbilderna av de fyra punkterna ovan Detta ger linjära ekvationssystem Urbilden till hörnet ges av T A (X) =, vilket tillsvarar ekvationssystemet x T A (X) = A = y Detta kan man lösa ut med Gauss-Jordan, hörn för hörn Ett annat sätt att lösa uppgiften är att beräkna inversa avbildningen Matrisen A har determinant, och är således inverterbar med invers A = Inversa avbildningen till T A ges av T A Vi har att T A ( ) = = Och att T A ( ) = 8 och beskriver Ω 0 Dessa två hörn, tillsammans med origo 9 Linjär avbildning En avbildning T : R n R m kallas linjär om T (sx + ty ) = st (X) + tt (Y ) för alla vektorer X och Y i R n, och alla skalärer s och t Detta är ett viktigt begrepp som abstraherar egenskaperna vid matrismultiplikationen

4 0 Matrismultiplikation och linjära avbildningar Om A är en (m n)-matris, då är den associerade avbildningen T A : R n R m linjär Vi har nämligen att T A (sx + ty ) = A (sx + ty ) = sax + tay = st A (X) + tt A (Y ) Det omvända gäller också Låt T : R n R m vara en linjär avbildning Då finns det en (unik) matris A sådan att T = T A Matrisen ges som följer (0) A = T (e ) T (e ) T (e n ) Exempel Tentamen 009 0, Uppgift Vi skall bestämma matris för en linjär avbildning T : R R som uppfyller T ( 0 ) = T ( 0 ) = T ( 0 0 ) = Vi vill använda Formel 0, och till detta behöver vi att bestämma T (e ), T (e ) samt T (e ) Ok, den sista är klar, vi har nämligen att T (e ) = För att bestämma T (e ) skriver vi e = 0 = t 0 + t 0 + t Detta linjära ekvationssystem har lösning t = t = och t = 0 Avbildningen T : R R är linjär, och vi har att T (e ) = T ( ) = T ( 0 ) + T ( 0 0 ) = + = 7 Vi skriver sedan e som en linjär kombination av de tre vektorerna och erhåller att e = Detta ger att T (e ) = T ( 0 ) T ( 0 0 ) = = Matrisen vi söker blir A = 7 9 9

5 Exempel Låt T : R R vara den linjära avbildning som ges som ortogonal projektionen ned på linjen L = {x + y = 0} Bestäm matrisen A sådan att T A = T Det är inte lätt att läsa av T (e ) och T (e ), vilket vi behöver för att använda Formel 0 Vi skriver linjen L som L = {t tal t} Detta betyder att v = är en bas för L Vi har också att w = v är en bas Och då v har längd är w en orthonormal bas för L: Varje vektor har längd ett, och varje två olika vektorer är orthogonala Då har vi att ortogonalprojektionen av en godtycklig punkt X ges av T (X) = proj L (X) =< X, w > w x Om punkten X =, så har vi att y x y x y T (X) = w = 6 Specielt har vi att T (e ) = och att T (e ) = söker är A = Matrisen vi Exempel Låt T : R R vara spegling om linjen L = {x + y = 0} Vi har att T (X) = X + proj L (X) Av detta kan vi bestämma T (e ) och T (e ), och sedan få matrisen A sådan att T A = T Uppgifter Tentamen 006, Uppgift och Tentamen 000, Uppgift Tentamen 0007, Uppgift 7 Tentamen 000, Uppgift Tentamen 000, Uppgift Tentamen 009, Uppgift Anton-Rorres, Sektion 9: 8,9,-, Sektion 0: -0, - och Sektion :,6 Department of Mathematics, KTH, Stockholm, Sweden address: skjelnes@kthse Nionde upplagan Section : -6, 8-9 och Sektion,,