SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Transkript

1 SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade 1 Bestäm samtliga vektorer som är ortogonala mot både u = (1, 2, 3) och v = (2, 2, 1) 2 Bestäm volymen av den tetraeder som spänns upp av de tre vektorerna (4, 0, 1), (6, 1, 2) och (3, 1, 1) 3 För vilka värden på konstanterna a och b har ekvationssystemet 2ax 1 + x 2 x 3 = 7 2x 1 + x 3 = 5 exakt en lösning, oändligt många lösningar, respektive ingen lösning alls? 4 Bestäm konstanterna a och b så att ( 3 ) blir inversen till matrisen a b b a a + b 5 Låt (e 1, e 2, e 3 ) vara en bas för rummets vektorer Antag att f 1 = ae 1 + 2be 2 ce 3 f 2 = 2be 1 ce 2 2ae 3 f 3 = ce 1 + ae 2 + be 3 också är en bas för rummets vektorer Låt u vara en vektor i rummet sådan att u har koordinaterna (3, 1, 2) i basen (e 1, e 2, e 3 ) och koordinaterna (14, 15, 1) i basen (f 1, f 2, f 3 ) Bestäm a, b och c

2 SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Lösningsförslag 1 Om x = (a, b, c) är en vektor som är ortogonal mot både u = (1, 2, 3) och v = (2, 2, 1), så måste skalärprodukterna x u och x v båda vara noll, dvs a + 2b + 3c = 0 2a + 2b + c = 0 Lösningen kan till detta underbestämda ekvationssystem kan på parameterform tecknas som a = 4t b = 5t c = 2t, vilket betyder att varje vektor på formen t(4, 5, 2) är ortogonal mot både u och v Alternativ lösning: Från definitionen av vektorprodukt vet vi att u v är en vektor som är ortogonal mot såväl u som v Därmed måste varje vektor som är ortogonal mot både u och v vara parallell med u v Vi har att u v = (1, 2, 3) (2, 2, 1) = ( , , ) = ( 4, 5, 2), vilket innebär att varje vektor på formen s( 4, 5, 2), där s är ett godtyckligt reellt tal, är ortogonal mot både u och v Detta överensstämmer med resultatet vi fick med den första lösningsmetoden Svar: t(4, 5, 2), t reellt tal 2 Den volym vi söker är lika med en sjättedel av volymen av den parallellepiped som spänns upp av de vektorer som omnämns i uppgiften Denna volym fås i sin tur (sånär som på tecken) genom att beräkna den determinant, vars kolonner utgörs av koordinaterna för det givna vektorerna, dvs Om Sarrus regel tillämpas på denna determinant fås resultatet ( 1) ( 2) 4 1 ( 2) ( 1) = 9 Detta betyder att tetraedern i fråga har volymen 9/6 = 3/2 Svar: 3/2 3 Vi låter 2a 1 1 A = vara ekvationssystemets koefficientmatris Ekvationssystemet kommer att ha en entydigt bestämd lösning för alla värden på a som gör att det A 0 (hur denna lösning sedan i själva verket ser ut, beror på värdet av b)

3 Med hjälp av Sarrus regel finner vi efter litet räkningar att det A = 4a, och alltså är det A = 0 om och endast om a = 0 Slutsatsen blir att entydig lösning existerar i samtliga fall då a 0 För att ta reda på vad som händer när a = 0 sätter vi in detta värde på a i ekvationssystemet och får då x 2 x 3 = 7 2x 1 + x 3 = 5 Här kan vi addera den andra ekvationen till den tredje Detta ger det ekvivalenta systemet x 2 x 3 = 7 2x 2 + 2x 3 = 5 + b Om vi i detta system multiplicerar den första ekvationen med 2, kommer den första och den sista ekvationen i systemet ha identiska vänsterled För att det överhuvudtaget ska finnas lösningar till systemet, måste därmed också motsvarande högerled vara lika, dvs 14 = 5 + b b = 9 I detta fall får vi det underbestämda systemet x 2 x 3 = 7 2x 1 2x 2 + x 3 = 9, som har oändligt många lösningar Skulle dock b 9 så kommer lösningar att saknas till ekvationssystemet Svar: Entydig lösning om a 0; oändligt många lösningar om a = 0, b = 9; inga lösningar om a = 0, b 9 4 Vi döper de givna matriserna enligt 3 1 a b b A = respektive B = 2 1 a a + b För att B ska kunna vara inversen till A, måste AB = E, dvs 2a 3b a + 2b = a + 2b a b Från detta ser vi att a = 2b och gör vi denna substitution i vänsterledet så blir båda elementen 2a 3b och a b på huvuddiagonalen lika med b Alltså måste b = 1, vilket i sin tur ger att a = 2b = 2

4 Alternativ lösning: Beräkna först A 1, genom att lösa ekvationssystemet AX = Y för allmänt högerled Y : 3x1 x 2 = y 1 2x 1 + x 2 = y 2 Adderas de två ekvationerna fås att x 1 = y 1 +y 2 Enligt den andra ekvationen blir därmed x 2 = 2x 1 + y 2 = 2(y 1 + y 2 ) + y 2 = 2y 1 + 3y 2, och alltså har vi x1 = y 1 + y 2 x 2 = 2y 1 + 3y 2 Således är A 1 = och en jämförelse med B ger vid handen att a = 2 och b = 1, precis som tidigare Svar: a = 2, b = 1 5 I basen (e 1, e 2, e 3 ) har vektorn u koordinaterna (3, 1, 2), och representeras därmed av kolonnmatrisen 3 X = 1 2 i denna bas I basen (f 1, f 2, f 3 ) representeras u istället av kolonnmatrisen Y = Sambandet mellan de kolonnmatriserna X och Y ges av X = TY, (1) där T är transformationsmatrisen som beskriver bytet av bas från (e 1, e 2, e 3 ) till (f 1, f 2, f 3 ) Vi bildar T genom att som dess kolonner i tur och ordning välja koordinaterna för vektorerna f 1, f 2 och f 3 i basen (e 1, e 2, e 3 ) Eftersom f 1 = (a, 2b, c), f 2 = (2b, c, 2a) och f 3 = ( c, a, b) blir alltså a 2b c T = 2b c a c 2a b Från sambandet (1) följer därmed att 14a 30b c = 3 a + 28b + 15c = 1 30a + b 14c = 2

5 (Observera här att koefficientmatrisen till ekvationssystemet inte är densamma som matrisen T, eftersom vi i T inte har en kolonn för a, b respektive c) Den exakta lösningen till ekvationssystemet ovan ges av a = 1644/18779 b = 1136/18779 c = 759/18779 Avrundning till två värdesiffror ger den approximativa lösningen a 0088, b 0060, c 040 Svar: a = , b = , c =