Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Transkript

1 Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och π : 2x y + z = 3. Hitta alla skärningspunkter mellan l och π. Lösning: vi måste hitta de punkter som är på formen (1 t, 3 + t, 4t) som också uppfyller ekvationen: 2(1 t) (3 + t) + (4t) = t = 3. Så där är en entydig lösning där t = 4, och det ger punkten: ( 3, 7, 16). Observera att om linjen hade varit parallell med planet hade vi hat inga lösningar eller oändligt många lösningar. Exempel: Hitta avstånden mellan punkten P : (2, 1, 2) och linjen l : (x, y, z) = (2, 0, 0) + t(1, 2, 1), t R. Hitta även punkten på linjen närmest P. Lösning: Igen använder vi projektionsformeln och en punkt Q: (2, 0, 0) på linjen, men denna gång använder riktningsvektorn = (1, 2, 1) för l och inte en normalvektor (som vi gjorde för planet i F12). P l Q QP QA Vi ser att QP = (2, 1, 2) (2, 0, 0) = (0, 1, 2) och att A proj (1,2,1) (0, 1, 2) = (1, 2, 1) = (0, 0, 0). 6 På slump ser vi att A = Q faktisk var den närmaste punkten. Idet att vektorn QP redan är ortogonal på linjen (eller att QA = (0, 0, 0)). Avstånden är då: AP = = 5 och närmaste punkten A på l är (2, 0, 0). 1

2 Hade vi valt ett annat punkt Q : (3, 2, 1) (sätt t = 1 i parameterformen av l ovan) som ju inte är A hade vi fått: och därför Q P = (2, 1, 2) (3, 2, 1) = ( 1, 3, 1) Q A = proj (1,2,1) ( 1, 3, 1) = (1, 2, 1) = (1, 2, 1) 6 Vi hade nu beräknat A s koordinater genom: OA = OQ + Q A = (3, 2, 1) (1, 2, 1) = (2, 0, 0). Alltså samma resultat, som vi ju borda få. Viktigt: Jämnför detta med lösningen förra gång för närmaste punkten och avstånd till ett plan! Eftersom att det är lättare att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan är där en viktig skillnad: För planet projicerade vi på normal vektorn och fick därför en vektor ortogonal mot planet. För linjen projicerade vi på riktnings vektorn och fick en vektor parallell med linjen. Sats För vektorer och gäller: Detta heter triangelolikheten Eftersom den följer av att den ena sidan i en triangel är kortare än summan av de två andra. För avstånden d(q, P ) mellan punkter gäller liknande: d(q, P ) d(q, A) + d(a, P ) Ett annat sätt att formulera dessa olikheter geometriskt på är: om man går i direkt linje från Q till A och så direkt linje till P, så går man åtminstone lika långt som hade man gått i direkt linje från Q till P. 2

3 Vektorprodukt Detta är något vi enbart har för vektorer och i rymden. Det heter vektorprodukt eftersom att det ger en vektor som resultat. Det skrivas och i motsättning till skalär produkten är detta alltså en vektor: R 3 R. Vi börjar med att beskriva vektorprodukten geometriskt som den vektor i R 3 där uppfyller: = sin(θ) riktningen av är ortogonal till både och och uppfyller högerhandsregeln. högerhandsregeln: peka i riktning av med tumlen (på höger hand!), peka då i riktning av med pekfingret, peka då ortogonalt på båda dessa med långfingret (som på figuren under). Det är riktningen av långfingret vi då väljer som riktningen av. Geometriskt ser vi att längden av - alltså: sin(θ) faktiskt är arean av det parallellogram som definieras av och : 3

4 sin(θ) Högden är sin(θ) och sidan i botten har längd. Observera att detta betyder att om och är parallella så är = (0, 0, 0) (den har längd 0). Det förklarar att de två krav är nog till att bestämma vektorn. Mera precist: Om och är parallella då är = 0. Om och inte är parallella då definiera de ett plan och där finns bara två vektorer med den riktiga längd där är ortogonal mot planet. Vi väljer en av dessa genom högerhandsregeln. Exempel: standard enhetsvektorerna i R 3 : i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) z i k j y x Observera att de parallellogram som varje par av dessa definiera är ett kvadrat med sidlängd 1 och har därför area 1. De uppfyller därför enligt högerhandsregeln: speciellt observeras att: i i = 0 j j = 0 k k = 0 i j = k j k = i k i = j j i = k k j = i i k = j i ( i j) = j ( i i) j = 0 Därför viktig varning: vi har inte en regel där säger vi kan flytta parenteser. 4

5 Formellt definiera vi inte geometrisk som ovan, men i stället definierar vi (v 1, v 2, v 3 ) (w 1, w 2, w 3 ) = (v 2 w 3 v 3 w 2, v 3 w 1 v 1 w 3, v 1 w 2 v 2 w 1 ) Sats 1. Denna vektor är den entydiga vektor som uppfyller de geometriska krav ovan. Vi kommer att se delar av detta bevis under loppet av i dag, men kommer inte att se hela beviset. Formeln (som vi använder från nu som definitionen) kan skrives med determinanter ( ) v (v 1, v 2, v 3 ) (w 1, w 2, w 3 ) = 2 v 3 w 2 w 3, v 1 v 3 w 1 w 3, v 1 v 2 w 1 w 2 Observera att denna formel är väldigt liknande utvecklingsformlen för determinanter och att man kan komma ihåg den genom att ta bort kolonner i matrisen ( ) v1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 och använda schackbrädemönstret för tecknet Exempel (gjord på annat sätt tidigare): Hitta en vektor i R 3 där är ortogonal till (1, 1, 1) och (1, 2, 3):. Ny lösning: Vi tar deras vektorprodukt: ( ) 1 1 (1, 1, 1) (1, 2, 3) = 2 3, , = (1, 2, 1) Vi kollar att den är ortogonal till både: (1, 1, 1) (1, 2, 1) = 0 och (1, 2, 3) (1, 2, 1) = 0. Sats för och i R 3 gäller: (a) ( ) = 0 (b) ( ) = 0 (c) 2 = 2 2 ( ) 2 Bevis. Först (a) och (b): ( ) v x ( ) = (x 1, x 2, x 3 ) 2 v 3 w 2 w 3, v 1 v 3 w 1 w 3, v 1 v 2 w 1 w 2 = v = x 2 v 3 1 w 2 w 3 x 2 v 1 v 3 w 1 w 3 + x 3 v 1 v 2 w 1 w 2 = = x 1 x 2 x 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3. 5

6 Här är utveckling efter rad 1. Detta (alltså x ( ) som är lika med denna determinant) kallas också vektor-trippel-produkten. Denna determinant är 0 för x = och x = då vi har två lika rader i matrisen. Bevis för (c): vi kollar på alla termerna: och 2 = (v 2 w 3 v 3 w 2 ) 2 + (v 3 w 1 v 1 w 3 ) 2 + (v 1 w 2 v 2 w 1 ) 2 = = v 2 2w v 2 3w 2 2 2v 2 v 3 w 2 w 3 + v 2 1w v 2 3w 2 1 2v 1 v 3 w 1 w 3 + v 2 1w v 2 2w 2 1 2v 1 v 2 w 1 w = (v v v 2 3)(w w w 2 3) ( ) 2 = (v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ) 2 Om man gånger ut ser man att man får de samma termerna på både sidorna i (c). Exempel: Beräkna en ekvation för det plan som innehåller punkterna: A: (1, 1, 1) B : (1, 2, 3) C : (2, 3, 4) Vi beräknar två vektorer där är parallella med planet men inte varandra: AB = (1, 2, 3) (1, 1, 1) = (0, 1, 2) AC = (2, 3, 4) (1, 1, 1) = (1, 2, 3) Nu hitter vi en normalvektor till planet genom att ta deras vektorprodukt: (0, 1, 2) (1, 2, 3) = (3 4, 2, 1) = ( 1, 2, 1). Nu har vi normalvektor n = (a, b, c) = ( 1, 2, 1) och en punkt i planet A: (1, 1, 1) så sätter vi in i formel från förra gången: a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 (x 1) + 2(y 1) 1(z 1) = 0 Så en ekvation för planet är x + 2y z = 0. x + 2y z = 0 Nästen bevis för sats 1: I satsen ovan del (a) och (b) så vi att är ortogonal med både och. 6

7 Enligt del (c) (i samma satsen) är 2 = 2 2 ( ) 2 = = 2 2 (1 cos(θ) 2 ) = 2 2 (sin(θ) 2 Så det enda vi faktiskt saknar att bevisa är att vektoren pekar i riktningen givet enligt högerhandsregeln. Alltså vi har inte argumenterad för om är den vektor som uppfyller kraven eller om det är minus denna vektor där uppfyller dem. Det kommer vi inte heller att göra, men fråga mig om ni är intresserad (lockbete: det involverar kontinuitet). Exempel: Beräkna arean av den triangeln där har hörnen: A: (2, 3, 4) B : (1, 3, 4) C : (4, 4, 3) Lösning: Först beräknar vi de två vektorer: AB = (1, 3, 4) (2, 3, 4) = ( 1, 6, 0) AC = (4, 4, 3) (2, 3, 4) = (2, 1, 1) Arean av triangeln är hälften av arean av parallellogramet: B AB A AC C Så vi får: Area( ABC) = 1 2 ( 1, 6, 0) (2, 1, 1) = = 1 2 6, 1, 11 = = 2 Geometrisk betydelse av determinanten Idéen om ett parallellogram definierad genom och : 7

8 har en tre-dimensionell version: Parallellepipeden med sidorna u, och är: u Som vanligt är u = (u 1, u 2, u 3 ), = (v 1, v 2, v 3 ) och = (w 1, w 2, w 3 ) i följande sats. Sats. Det absolutbeloppet av determinanten: u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 är volymen av parallellepipeden med u, och som sidor. Bevis för denna sats nästa gång. 8