Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0

Transkript

1 Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga filer från Mathematica kommer att lämnas in. Problem 1. Bestäm koefficienten a i ekvationerna nedan så att produkten av rötterna i den första ekvationen blir densamma, som produkten av rötterna i den andra 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0 Problem 2. Beräkna x så att v u u v = 18 då v = (x,2,x och u = (2,x,2. Problem 3. Bestäm a, så att determinanten till de två matriserna A och B får samma värde 1 a a A = a 2 1 B = 2 a 1 a a 1 2 a 1 Problem 4. Lös matrisekvationen då A = ( B = AX = B C ( Problem 5. Givet ekvationen till planet på vektorform Bestäm planets ekvation på normalform C = ( (x,y,z = (1,2,3 +s(4,5,6 +t(7,8,10 Problem 6. Bestäm a, så att punkterna p 1 = (2,2,a, p 2 = (2,a,2, p 3 = (1, 1,a och p 4 = (0, 2,1 ligger i samma plan. Problem 7. Den räta linjen (x,y,z = (1, 1,2+t(3,0,2 och punkten (1,1,1 ligger på planet. Bestäm ekvationen för detta plan. Problem 8. En linje går genom punkterna P 1 = ( 2, 1,3 och P 2 = ( 1,0,5. Bestäm vinkeln mellan linjen och planet 2x y + z = 2 Problem 9. Bestäm den punkt där linjen x = 3+2t y = 1 t z = 3+t skär planet 2x y z+8 = 0 Problem 10. Bestäm för varje värde på parametern a antalet lösningar till nedanstående ekvationssystem a 2 x y z = 0 x+y z = 1 x+y+z = a+1 Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Problem 11. Ekvationerna nedan har alla komplexa rötter. Vad kan man säga om hur dessa rötter förhåller sig till varandra? a 6+8x+5x 2 +x 3 = 0 b 26+x+4x 2 +x 3 = 0 c 10+6x+3x 2 +x 4 = 0 Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Lösningar Svar 1. Det är bara att lösa ekvationerna med avseende på x. Klippa ut och klistra in rötterna i en ny ekvation. Solve[3 x^2-3 x + a == 0, x] // Simplify Solve[a x^2-2 a x + 5 == 0, x] // Simplify Solve[1/6(3-Sqrt[9-12a]*1/6(3+Sqrt[9-12 a]== (a-sqrt[(-5+aa]/a*(a+sqrt[(-5+aa]/a] Svar: ± 15 Svar 2. Jag definierar för de två vektorerna. Därefter ställer jag upp ekvationen: v = {x, 2, x}; u = {2, x, 2}; Solve[Cross[v, u].cross[u, v] == -18] Svar: x = ±1 och x = ± 7 Svar 3. Jag definierar de två matriserna och ställer upp ekvationen m1 = {{1, a, 2}, {a, -2, 1}, {a, a, 1}}; m2 = {{1, 2, -a}, {-2, a, 1}, {-2, -a, 1}}; Solve[Det[m1] == Det[m2]] som ger Svar: a = 2 3 och a = 1 2 Svar 4. Jag löser ut X ur ekvationen och har att beräkna A 1 (B C a = {{1, 2}, {3, 4}}; b = {{0, 2}, {-5, -7}}; c = {{3, 11}, {6, 10}}; Inverse[a].(b - c Detta ger X = ( Svar 5. Först bestämmer jag den vektor som är vinkelrät mot v = (4,5,6 och u = (7,8,10 genom att använda definitionen för vektorprodukt. Resultatet n = v u fungerar som normalvektor till planet. I ekvationen Ax + By + Cz + D = 0 är då A,B,C bestämda. Jag vet att punkten P = (1,2,3 ligger på planet och kan då bestämma D genom att lösa ekvationen n p+d = 0 v = {4, 5, 6}; u = {7, 8, 10}; n = Cross[u, v] p = {1, 2, 3}; Solve[n.p + d == 0] Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 När jag nu har n och D kan jag skriva ned ekvationen på normalform Svar: 2x 2y+3z 3 = 0 Svar 6. Jag börjar med att definiera de fyra punkterna. Med hjälp av tre av dem tecknar jag planets ekvation. Eftersom den fjärde punkten ska ligga i planet, måste ekvationen ge svaret p1 = {2, 2, a}; p2 = {2, a, 2}; p3 = {1, -1, a}; p4 = {0, -2, 1}; plan[s_, t_] := p1 + s (p1 - p2 + t (p1 - p3 Solve[plan[s, t] == p4] Förutom a = 3 får vi dessutom reda på s och t, men de har vi ingen nytta av. Svar: a = 3 Svar 7. Jag har redan två punkter P 1 = (1, 1,2 och P 2 = (1,1,1. Jag behöver en till, som jag får genom att till exempel sätta in t = 1 i linjens ekvation. Nu har jag tre punkter och kan bestämma planets ekvation. Eftersom det inte står på vilken form ekvationen ska ges lutar det åt att svara på vektorform (enklast. p1 = {1, -1, 2}; p2 = {1, 1, 1}; linje[t_] := p1 + t {3, 0, 2}; p3 = linje[1] plan[s_, t_] := p1 + s (p1 - p2 + t (p1 - p3 plan[s, t] Det[{{x, y, z} - p1, p1 - p2, p1 - p3}] På vektorform (x,y,z = (1 3t, 1 2s,2+s 2t = (1, 1,2+s(0, 2,1 +t( 3,0, 2 På parameterform På normalform x = 1 3t y = 1 2s z = 2+s 2t 5+4x 3y 6z = 0 Svar 8. Jag ser direkt att planet har normalvektorn n = (2, 1,1. Jag kan enkelt bestämma en riktning för linjen v = P 1 P 2. Jag startar med att bestämma vinkeln mellan n och v genom att använda formeln cosθ = n v n v n = {2, -1, 1}; p1 = {-2, -1, 3}; p2 = {-1, 0, 5}; v = p2 - p1; ArcCos[n.v/(Norm[n]*Norm[v]] Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Vinkeln jag får är alltså den mellan normalvektorn och linjen. Genom π 2 π 3 = π 6 får jag till sist svaret. π Svar: 6 Svar 9. Först definierar jag linjen. Sedan plockar jag ut planets normalvektor n. Sedan ställer jag upp en ekvation där jag tar skalärprodukten för normalvektorn och linjen för parametern t. Den plus D = 8 ska vara = 0. linje[t_] := {3, -1, 3} + t {2, -1, 1} n = {2, -1, -1}; Solve[linje[t].n + 8 == 0] ger svaret t = 3, där i sin tur linje[-3] ger den eftersökta punkten ( 3,2,0. Det kanske är fel att säga att jag använder skalärprodukten, men jag vill bilda ekvationen och då fungerar ju punktoperatorn bra! Svar: ( 3, 2, 0 2(3+2t+( 1( 1 t+( 1(3+t+8 = 0 Svar 10. Jag definierar koefficientmatrisen och tar reda på för vilka a determinanten = 0 m = {{a^2, -1, -1}, {1, 1, -1}, {-1, 1, 1}}; Solve[Det[m] == 0] Jag vet nu att systemet saknar entydig lösning då a = ±1. Jag bildar nu totalmatrisen och sätter först in a = 1. Efter Gausselimination ser jag att systemet saknar lösningar då a = 1 tm = {{1, -1, -1, 0}, {1, 1, -1, 1}, {-1, 1, 1, 2}}; RowReduce[tm] Nu sätter jag in a = 1 i totalmatrisen och får tm = {{1, -1, -1, 0}, {1, 1, -1, 1}, {-1, 1, 1, 0}}; RowReduce[tm] Då a = 1 har systemet oändligt många lösningar. Svar: a ±1 finns entydig lösning. a = 1 finns ingen lösning. a = 1 finns oändligt många lösningar. Svar 11. Jag löser ekvationerna med hjälp av Solve och får följande rötter: a x = 3 x = 1 i x = 1+i b x = 3 2i x = 3+2i x = 2 c x = 1 i x = 1+i x = 1 2i x = 1+2i Jag ser att om det finns en komplex rot a+ib så finns det alltid en rot a ib (konjugatet till den första. Jag vet att detta alltid gäller så länge koefficienterna är reella. Håkan Strömberg 5 KTH Syd