Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med

Transkript

1 RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange på vektorform eller med tre skalära ekvationer. Räta linjens ekvation på parameterform (radvektorform) x, y, = ( x, y, z ) + t( v, v, ) ( Vi kan skriva vektorer som kolonner. Räta linjens ekvation på parameterform (kolonnvektorform) x x v y = y + t z z Om vi identifierar koordinater i ovanstående ekvation får vi: Räta linjens ekvationer på parameterform ( 3 skalära ekvationer) = x + t v y = y + t (*) z = z + t Om alla koordinater i linjens riktningsvektor v = ( v,, ) är skilda från 0 dvs v 0, v 0 och v 3 0 kan vi eliminera parameter t [från varje ekv i (*)] och få x x y y z z t = = =. v Därmed kan vi skriva linjens ekvation på följande sätt x x y y z z = = (**) v där P = ( x, y, är en punkt på linjen och v = ( v,, ) är en vektor parallell med linjen. Vi upprepar att formen (**) får användas endast om v, v 0 och v 0, annars blir nämnaren Anmärkning. Var och en av likhetera i (**)

2 dvs x x v y y = v och y y v z z = v 3 är ekvationen för ett plan Π respektive Π. Därmed kan linjen given på formen (**) uppfattas som skärningen mellan två plan Π och Π Räta linjer i xy-planet Räta linjens ekvation i xy- planet ges oftast på en av följande form y = kx + n explicit form [ dvs formen y = f (x) ] ax + by + c = 0 implicit form [ dvs formen F ( x, y) = 0 ] Linjen i xy-planet kan, lika som i 3D-rummet anges på parameterform. För att skriva en linje på parameterform om linjen är given på explicit eller implicit form betecknar vi en variabel ( x eller y) med t och löser ut den andra variabel. Exempel. Ange linjen 4 x + y 3 = 0 i xy-planet på parameterform. Vi väljer en variabel t. ex. x och betecknar x = t. Från 4x + y 3 = 0 4t + y 3 = 0 y = ( 3 4t) /. Därmed blir linjens ekvationer ( ekvationer i xy-planet) på parameterform: = t y = 3/ t Anmärkning. I xy-planet, dvs D- rummet, är ax + by + c = 0 en ekvation för en rät linje. Om vi betraktar 3D rummet med xyz-koordinatsystem då samma ekvation ax + by + c = 0 beskriver ett plan med en normalvektor N = ( a, b, 0). ( Eftersom z saknas i ekvationen är planet parallell med z axeln ) Samma resonemang gäller för ekvationen y = kx + n : I xy-planet beskriver y = kx + n en rät linje. I xyz-koordinatsystem beskriver y = kx + n ett plan parallell med z-axel. ==================================== Plan: P Låt π vara planet genom punkten P = x, y, ) som har normalvektorn N = ( A, B, C) 0. ( z

3 3 Planets ekvation är A ( x x ) + B( y y) + C( z Efter förenkling har vi planets ekvation på allmän form: Ax + By + Cz + D = 0 = 0 ÖVNINGAR: Uppgift. En rät linje går genom punkterna A=(,,3) och B=(3,4,0). Bestäm linjens ekvation. v = AB = (,,7) är en riktningsvektor. Linjens ekvation på parameterform : (x,y,=(,,3)+t(,,7) x y = + t z 3 7 Svar: (x,y,=(,,3)+t(,,7) Uppgift. En rät linje går genom punkterna A=(,,3) och B=(3,4,4). Bestäm linjens ekvation på a) parameterform ( x, y, = ( x, y, + t( v,, ) x x y y z z b) på formen = = ( om möjligt) v v = AB = (,, ) är en riktningsvektor. a) Linjens ekvation på parameterform är (x,y,=(,,3)+t(,,) x x y y z z b) Linjens ekvation på formen = = är v x y z 3 = =. Uppgift 3. En rät linje går genom punkten P(,,3) och har riktningsvektor v = (, 0, 5). a) Ange linjens ekvation på parameterform ( x, y, = ( x, y, + t( v,, ). x x y y z z b) Kan man ange linjens ekvation på formen = = v Svar: a) ( x, y, = (,,3) +t (, 0, 5) är linjens ekv. på parameterform. b) Nej, eftersom v =0 ( uttrycket är inte definierad om nämnaren är 0)

4 4 Uppgift 4. Vi betraktar linjen L: (x,y,=(0,,)+t(,,0) Bestäm a) en riktningsvektor, dvs en vektor (bland ändligt många) parallell med linjen b) en enhetsvektor parallell med linjen ( det finns två sådana enhetsvektorer) c) 3 punkter ( bland oändligt många) som ligger på linjen L. a) En riktningsvektor är v = (,, 0) Notera att varje vektor av typ k v = k (, 0), k 0 är också linjens riktningsvektor. T ex (0, 0, 0) eller ( 0, 0, 0) också är linjens riktningsvektorer. b) En enhets vektor parallell med linjen är e = v = (,,0). v 5 [ Den andra är e = v = (,,0) ] v 5 c) Tre punkter för vi om vi substituerar tre värden ( vilka som helst) på parametern t i ekvationen ( x, y, = ( x, y, + t( v,, ) : T ex. t = 0 (x,y,=(0,,)+0 (,,0) = (0,,) t = (x,y,=(0,,)+ (,,0) = (,4,) t = 0 (x,y,=(0,,)+0 (,,0) = (0,,) Svar: a) En riktningsvektor är v = (,,0). b) En enhets vektor parallell med linjen är e = v = (,,0). v 5 c) Tre punkter (0,,), (,4,) och (0,,). Uppgift 5. Linjen L är given på följande form x 3 y + z 3 = =. 4 a) Ange linjens ekvation på parameterform. b) Bestäm en riktningsvektor och tre punkter på linjen L c) Bestäm 3 punkter ( bland ändligt många) som ligger på linjen L. a) Vi betecknar de tre lika uttryck med t x 3 = y + = z 3 = t 4

5 5 och därefter löser x, y, z. Vi har x 3 = t x = 3 + t y + = t y = + t z 3 = t z = 3 + 4t 4 Alltså (x,y,=(3,, 3)+t(,,4) är linjens ekvation på parametersform x 3 Alternativt skrivsätt y = + t z 3 4 b) En riktningsvektor är är v =(,,4). c) Vi substituerar tre t-värden, t ex t=0, t= och t= och får tre punkter A=(3,, 3), B=(4, 0, 7) och C=( 5, ) Uppgift 6. Bestäm vilka av följande punkter A=(,0, ), B=(, 4, ), C=( 3, 8, ) ligger på linjen L: (x,y,=(0,,)+t(,,0). i) Punkten A(,0, ) ligger på linjen (x,y,=(0,,)+t(,,0) om och endast om det finns ett värde på parametern t så att (,0, ) = (0,,)+t(,,0) dvs om det finns ett t-värde så att alla tre skalära ekvationer = 0+t 0 = +t = +0 t samtidigt är uppfyllda. Från första ekvationen har vi t=. Samma t= satisfierar också andra och tredje ekvationen och därmed ligger punkten A på linjen L ( punkten svarar mot t= ) ii) För punkten B(, 4, ) har vi följande vektorekvation (, 4, ) = (0,,)+t(,,0) som är ekvivalent med de tre skalära ekvationerna = 0+t 4 = +t

6 6 = +0 t Första ekvationen ger t=. (Därmed, om det finns en lösning på t för alla tre ekvationen då är t=). Vi kollar om t= satisfierar de kvarstående ekvationer. Substitutionen i andra ekvationen ger 4=4 (OK) men insättning t= i den tredje ekvationen ger = som är inte sant. Punkten B ligger alltså inte på linjen L. iii) Med samma metod inser vi att punkten C fås ur ekvationen om t=3, dvs C ligger på linjen L Svar. A och C ligger på L medan B inte ligger på linjen L. Uppgift 7. ( D rummet) Vi betraktar den räta linje i xy-planet ( dimensionella rummet ) som har ekvationen L: x + 3y 4 = 0. a) Bestäm linjens ekvation på explicit form y = kx + n b) Ange linjen på parameterform c) Bestäm en vektor parallell med linjen L d) Bestäm två enhetsvektorer parallella med linjen. e) Bestäm en vektor i xy-planet som är vinkelrät mot linjen L a) Vi löser ut y ur ekvationen x + 3y 4 = 0, x x + 3y 4 = 0 y = y = x + ( explicit form) b) Vi betecknar x= t och får ( enkelt från explicit form) linjen på parameter form = t 4 y = t x t Vi kan också skriva ( x, y) = ( t, t + ) eller =. 3 3 y 4 / 3 t / 3 c) Vi kan välja två punkter på linjen genom att välja värden på x (eller på t i parameterform) och beräkna y. Vi kan t ex välja följande punkter A(0, 4/3 ) och B(, /3) och beräkna AB =(, / 3). Varje vektor parallell med AB är också parallell med linjen. ( Vi kan även använda parameterform och direkt välja vektorn (, / 3) ) Som en riktningsvektor (bland oändligt många) kan vi ange v = 3 AB = (3, ) med heltalskoordinater. d) Det finns två enhetsvektorer som är parallella med linjen L e, = ± v = ± (3, ) v 3 e) En vektor n = ( a, b) är vinkelrät mot linjen L om ( och endast om) den är vinkelrät mot linjens riktningsvektor v =( 3, ) och därför är skalärprodukten n v = 0.

7 7 Alltså 3a b = 0 a = b / 3. Vi söker en vinkelrät vektor ( bland oändligt många sådana vektorer) så at vi kan välja b, t ex kan vi ta b = 3 och få a=. Därmed blir n =(, 3) en vektor vinkelrät mot L. Notera att varje vektor parallell med n =(, 3) också är vinkelrät mot L. Uppgift 8. Ett plan går genom punkten A=(,3,). Planet är parallellt med vektorerna u = (,,3) och v = (,, ). Bestäm planets ekvation a) på parameterform N b) på formen Ax + By + Cz + D = 0. v a) (x,y,=(,3,)+t(,,3)+s (,,) u i j k i j k 3 3 b) N = u v = x y z = 3 = i j + k = x y z = i + j k = (,, ) Planets ekvation: A( x x) + B( y y) + C( z = 0 ( x ) + ( y 3) ( z ) = 0 x + y z 3 = 0 Svar: Planets ekvation: x + y z 3 = 0 Uppgift 9. Ett plan går genom punkterna A=(,, ) och B=(,5,) och C=(3,0,). Bestäm planets ekvation. N C = AB AC = ( 0,6, 6) Vi kan använda punkten A och vektorn N = (0,8, 3) (som är parallell med N ). A( x x) + B( y y) + C( z = 0 0( x ) + 8( y ) 3( z + ) = 0 0x + 8y 3z 4 = 0 Svar: Planets ekvation: 0 x + 8y 3z 4 = 0 Uppgift 0. Ett plan går genom punkterna A=(,,) och B=(,,3). Planet är parallell med linjen ( x, y, = (3,4,5) + t(,,) Bestäm planets ekvation.

8 8 Vektorerna u = AB = (0,, ) och linjens riktningsvektor v = (,, ) Bestäm planets ekvation. N = u v = ( 0,, ). Planets ekvation: A x x ) + B( y y ) + C( z z ) = 0 ( 0( x ) + ( y ) ( z ) = 0 y z + = 0 är parallella med planet Svar: Planets ekvation: y z + = 0 Uppgift. En rät linje går genom punkten A=(,,0). Linjen är ortogonal (vinkelrät) mot planet x + y + 3 z + = 0. Bestäm linjens ekvation. Planets normal v = (,,3 ) är en är en riktningsvektor. Linjens ekvation på parameterfårm : (x,y,=(,,0)+t(,,3) Svar: (x,y,=(,,0)+t(,,3) Uppgift. En rät linje går genom punkten A=(,,0). Linjen är parallell med skärningslinjen mellan planen x + y + z 3 = 0 och x + y + 3z + = 0 Bestäm linjens ekvation. Vi löser systemet med Gaussmetoden: + y + z 3 = 0 + y + z 3 = 0 x + y + 3z + = 0 y + z + 4 = 0 En fri variabel z=t. y = 4 t x = 3 y z x = 7 + t dvs x = 7 + t y = 4 t z=t Alltså har skärnings linje ekvation (x,y,=(7, 4,0)+t(,,) Den sökta linjen har samma riktnings vektor men går genom punkten A. Därför: (x,y,=(,,0)+t(,,) Svar: Linjens ekvation är (x,y,=(,,0)+t(,,) Uppgift 3. Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjen (x,y,=(,0,0)+t(,,) och följande plan: a) x + y + z + 3 = 0 b) x y + z = 0 c) x y + z = 0

9 9 Svar: a) x = 0, y =, z = b) Ingen lösning c) Linjen ligger i planet. Uppgift 4. Bestäm eventuella skärningspunkter mellan följande linjer (x,y,=(,,3)+t(,,) och (x,y,=(3,5,7)+s(,,3). Linjernas ekvationer kan skriva som = + t = 3 + s L : y = + t, L : y = 5 + s z = 3 + t z = 7 + 3s Vi löser systemet: + t = 3 + s t = + t = 5 + s s = 3 + t = 7 + 3s Härav x=, y=3 och z=4 Svar: Skärningspunkten är P=(,3,4). Uppgift 5. Vi betraktar två rymdfarkoster i ett lämpligt vald koordinatsystem. En rymdfarkost rör sig längs banan (x, y, =(+3t, +t, 3+7t) dvs farkosten befinner sig i punkten (x,y, vid tidpunkten t. En annan rymdfarkost rör sig länga banan (x,y,=( +3t,6 t, +4t). a) Krockar farkosterna? (Motivering krävs!) b) Skär farkosternas banor varandra? (Motivering krävs!) a) Svar: Farkosterna kolliderar ej eftersom systemet + 3t = + 3t + t = 6 t 3 + 7t = + 4t saknar lösningar b) Både farkosterna rör sig längs räta linjer. Deras banor har följande ekvationer: L: (+3t, +t, 3+7t) L: ( +3s,6 s, +4s) Vi söker skärningen mellan linjerna och får ekvationssystemet

10 + 3t = + 3s + t = 6 s 3 + 7t = + 4s 0 som har lösningen s=3, t=. Svar: Banorna skär varandra. (Farkost är i skärningspunkter vid tidpunkten t= tidsenheter; farkost är i samma punkt vid tidpunkten t=3 tidsenheter.