Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter"

Transkript

1 Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem med lika många obekanta som ekvationer. Genom n ekvationer och n obekanta uppstår alltså ett kvadratiskt system a 11 x 1 +a 1 x +...+a 1n x n = b 1 a 1 x 1 +a x +...+a n x n = b... a n1 x 1 +a n x +...+a nn x n = b n Detta system har vi tidigare påpekat att det kan skrivas om på matrisform a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n... a 31 a 3... a 3n x 1 x... x n = Den första matrisen i uttrycket, vi kallar den här A, är systemets koefficientmatris och vektorn efter likhetstecknet är dess högerled. Normalt är alla koefficienter kända. Då det(a 0 har A en invers A och därmed ekvationssystemet en lösning. Den man får genom att multiplicera, från vänster, båda leden i A x = b med A. b 1 b... b n A x = b A A x = A b E x = A b x = A b Att lösa ett ekvationssystem Linjära ekvationssystem med och 3 obekanta och lika många ekvationer klarar vi att lösa för hand utan vidare, men vi löser för säkerhets skull ett med 3 obekanta här. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 3x y +z = 7 x +y z = 3 multiplicera med -3 x 3y +z = 1 multiplicera med -3 3x y +z = 7 addera rad 1 till och 3 3x 3y +6z = 9 3x +9y 6z = 3 3x y +z = 7 4y +8z = 16 multiplicera rad med +8y 4z = 4 3x y +z = 7 8y +16z = 3 addera rad till 3 +8y 4z = 4 3x y +z = 7 8y +16z = 3 +1z = 36 Vi ser nu att z = 3, som vi kan använda för att få y = i andra raden och x = 1 i första raden. Då antalet obekanta växer blir arbetet dock mer svåröverskådligt och en, administrativt, klarare metod känns nödvändig. Gausselimination är ett exempel på en sådan metod. Vi önskar lösa ekvationssystemet 3x+y+z w = 6 x y+z+w = 4 x y+3z+w = 6 x+y z w = Innan vi startar lösningsproceduren måste vi acceptera följande påstående Håkan Strömberg KTH Syd

3 Sats 1. Det är, utan att förändra lösningen till ett linjärt ekvationssystem, möjligt att Multiplicera en ekvation med en konstant 0. Byta plats på två ekvationer Addera en multipel av en ekvation till en annan Vi skriver först om systemet i en totalmatris Vänster om det vertikala strecket finns koefficientmatrisen och på andra sidan högerledet. Genom att tillämpa de regler som finns i sats 1 ska vi nu successivt överföra denna matris till en form, från vilken vi enkelt kan avläsa lösningen. Byt plats på rad 1 och rad 4. Addera gånger rad 1 till rad Addera gånger rad 1 till rad 3. Addera 3 gånger rad 1 till rad Addera gånger rad till rad Multiplicera rad 4 med och byt plats på rad och rad Addera 3 gånger rad till rad 4. Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Addera 6 gånger rad 3 till rad Multiplicera rad 4 med 1/7 och byt plats på rad 3 och rad 4. Addera 3 gånger rad 3 till rad Multiplicera rad 4 med 1/3. Addera 7 gånger rad 3 till rad Addera 5 gånger rad 4 till rad. Addera gånger rad till rad Addera gånger rad 3 till rad Addera gånger rad 4 till rad Ur den sista matrisen kan vi så utläsa lösningen x = 1, y = 0, z = och w =. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Kvadratiska system där det(a = 0 Vi riktar nu intresset mot kvadratiska ekvationssystem där determinanten för koefficientmatrisen har värdet 0 och inleder diskussionerna med några enkla exempel Exempel 1. { x+3y = 9 x y = 1 Detta ekvationssystem har lösningen x = 3 och y = 1. Matriserna i uttrycket A x = b har följande utseende. A = ( 3 1 x = ( x y b = ( 9 1 Determinanten för koefficientmatrisen är det(a = ( 3 1 = 7, och systemet tillhör alltså inte den kategori vi tänkt studera här. Exempel. { x+y = 3x+6y = 5 Detta system har determinanten = 0 och tillhör, liksom nästa exempel, system där koefficinetmatrisens determinant är 0. Exempel 3. { 3x y = 4 9x 3y = 1 Determinanten är här 3 ( 3 ( 9 = 0. Eftersom varje ekvation i ekvationssystemen ovan motsvarar ekvationen för en rät linje kan vi grafiskt visa de tre systemen i figur 1. Figur 1: De tre systemen från ovan Vi ser att de två linjerna från exempel 1 skär varandra i punkten (3,1, vilket överensstämmer med lösningen ovan. I exempel verkar linjerna vara parallella vilket skulle betyda att lösning saknas linjerna har ingen skärningspunkt. Om vi använder tekniken från förra avsnittet för att lösa detta ekvationssystem och adderar 3 gånger rad 1 till rad får vi ( ( Från sista raden får vi att 0x+0y =, som är en omöjlighet och därför saknar ekvationssystemet lösningar. Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Ett liknande resonemang vad gäller exempel 3 ger då vi adderar 3 gånger rad 1 till rad ( ( Bara med den skillnaden att nu motsvarar sista raden 0x+0y = 0 och det är sant för alla värden på x och y. Eftersom de två linjerna blivit en, förstår vi att de två ekvationerna är identiska. Vi har egentligen endast en ekvation med två obekanta. I det läget bestämmer vi oss för att y = t och x = (4 + t/3. För varje värde på t får man en punkt på linjen, som samtidigt är en ny lösning. Det finns alltså oändligt många lösningar till det tredje ekvationssystemet. Ovan har vi med enkla exempel visat tre olika fall och redovisar nu denna sats. Sats. Linjära ekvationssystem har antingen en, ingen eller oändligt många lösningar. Homogena och inhomogena ekvationssystem Då högerledet i ekvationssystemet består av enbart nollor, kallas systemet homogent. Så fort åtminstone ett element är 0 kallas systemet däremot inhomogent 3x+4y+5z = 0 x y+3z = 0 4x+3y 4z = 0 3x+4y+5z = 1 x y+3z = 3 4x+3y 4z = Samma koefficientmatris i två olika ekvationssystem. Det vänstra är homogent och det högra är inhomogent Underbestämda ekvationssystem Då antalet obekanta är fler än antalet ekvationer kallas ekvationssystemet underbestämt. a 11 x 1 +a 1 x +...+a 1n x n = b 1 a 1 x 1 +a x +...+a n x n = b... a m1 x 1 +a m x +...+a mn x n = b m I systemet ovan är alltså m < n. Betraktar vi de n kolonnerna i koefficientmatrisen som vektorer med m element, så vet man att de n kolonnvektorena är linjärt beroende. Detta medför att det homogena systemet alltid har oändligt många lösningar där den triviala lösningen, den då x 1 = x = x 3 =... = x n = 0, är en. För det inhomogena systemet kan antalet lösningar vara ingen eller oändligt många. Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Överbestämda ekvationssystem Då antalet obekanta är mindre än antalet ekvationer kallas ekvationssystemet överbestämt. a 11 x 1 +a 1 x +...+a 1n x n = b 1 a 1 x 1 +a x +...+a n x n = b a 31 x 1 +a 3 x +...+a 3n x n = b 3 a 41 x 1 +a 4 x +...+a 4n x n = b 4... a m1 x 1 +a m x +...+a mn x n = b m I systemet ovan är m > n. Betraktar vi även här de n kolonnerna i koefficientmatrisen som vektorer med m element. Så kan dessa kolonner vara antingen linjärt beroende eller linjärt oberoende. Tar vi med både homogena och inhomogena system, så får vi fyra olika kategorier av överbestämda system. För homogena system med linjärt oberoende kolonnvektorer finns bara den triviala lösningen. För det inhomogena systemet med linjärt oberoende kolonnvektorer finns det antingen ingen eller endast en lösning. Då kolonnvektorerna är linjärt beroende har det homogena systemet oändligt många lösningar och det inhomogena ingen eller oändligt många lösningar. Sammanfattning Vi avslutar genomgången av olika typer av linjära ekvationssystem med en översiktstabell där m står för antalet ekvationer och n för antalet obekanta. n < m Kolonnerna oberoende n < m Kolonnerna beroende n = m Kolonnerna oberoende n = m Kolonnerna beroende n > m Kolonnerna beroende linjärt linjärt linjärt linjärt linjärt Homogent system Entydig lösning (den triviala Oändligt många lösningar Entydig lösning (den triviala Oändligt många lösningar Oändligt många lösningar Inhomogent system Ingen eller en enda lösning Ingen eller oändligt många lösningar Entydig lösning Ingen eller oändligt många lösningar Ingen eller oändligt många lösningar Extra 1. Givet matriserna A = ( B = ( Bestäm 4A+3B. Lösning: ( ( = ( ( = ( Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Extra. Lös ekvationssystemet med avseende på x och y { x+8y = u x+7y = v Lösning: Vi får x = 7u 8v 6 och y = u+v Den sökta inversen är ( x y 6 och kan ställa upp följande matrisuttryck = 1 ( ( 7 8 u 6 v ( Extra 3. Lös ekvationssystemet med hjälp av matrisalgebra { x+3y = 8 5x y = 1 Lösning: Vi får uppställningen ( 3 5 ( x y = ( 8 1 Vi vet nu att A till A( är 1 ( a a 1 a 11 a a 1 a 1 a 1 a 11 Eftersom A x = b har lösningen x = A b kan vi direkt skriva ( ( ( x = y ( ( x y = 1 19 ( 9 38 = ( 1 1 Vi har matrisen A nedan. Vilka värden har a 3 och a 31? A = Vilken typ är A av? 3 Utför matrismultiplikationen nedan BC = Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 4 Tre matriser A(4, B(3 4, C( 5 ska multipliceras samman till D. Ställ upp det enda möjliga uttrycket för denna multiplikation. Vilken typ får D? 5 Beskriv detta ekvationssystem med ett matrisuttryck. 3x z = 1 z+y = 0 4x = 7 1 a 3 = 1 och a 31 = A( BAC. D får typen ( x y z = Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Så beräknas en invers Vi har i tidigare föreläsning sett vikten av att känna till A, Bland annat vid lösandet av ekvationssystem. Att hitta inversen till A( är som vi vet ganska enkelt. Här ska vi först koncentrera oss på matriser av typen (3 3 och deras inverser. Ett krav, för att det ska finnas en invers till A, är att det(a 0. Vi är redan bekanta med hur determinanten till (3 3-matriser bestäms. Om vi har matrisen A = så kan vi först ange följande formel för A = 1 det(a a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 a a 33 a 3 a 3 a 13 a 3 a 1 a 33 a 1 a 3 a 13 a a 3 a 31 a 1 a 33 a 11 a 33 a 13 a 31 a 13 a 1 a 11 a 3 a 1 a 3 a a 31 a 1 a 31 a 11 a 3 a 11 a a 1 a 1 Denna formel är svår att lära sig utantill. Så här kommer man fram till den. Vi startar med A(3 3 a 11 a 1 a 13 A = a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 och bildar en tillfällig matris B a a 33 a 3 a 3 (a 1 a 33 a 3 a 31 a 1 a 3 a a 31 B = (a 1 a 33 a 13 a 3 a 11 a 33 a 13 a 31 (a 11 a 3 a 1 a 31 a 1 a 3 a 13 a (a 11 a 3 a 13 a 1 a 11 a a 1 a 1 Ett element i B bildas genom att stryka den rad och den kolumn som elementet befinner sig i och bestämma determinanten till den ( matris som återstår. Dessutom får elementen tecken enligt När vi sedan bestämmer B T får vi adj A och A = 1 det A adj A Bättre är då kanske, att försöka finna en metod att räkna sig fram till inversen. Vi använder här Jacobis metod som fungerar för alla matriser A sådana att det(a 0. Exempel Målet är nu att få en E-matris till vänster om det lodräta strecket. Matrisen till höger om strecket är då A. Samma tre regler som vid Gausselimination gäller även här. Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 Multiplicera en ekvation med en konstant 0. Byta plats på två ekvationer Addera en multipel av en ekvation till en annan Addera rad1 till rad Addera rad1 till rad3 Addera rad till rad Multiplicera rad och rad3 med Addera rad till rad1 Addera rad3 till rad1 Addera rad3 till rad Äntligen har vi kommit fram till att 6 A = Det är fritt fram att kontrollera att A A = E. Exempel 5. När vi ska lösa ekvationssystemet 3x y z = 3z+y = y x = kan man ställa upp ekvationen A x = b, söka A och till sist få lösningen genom x = A b. Det är dock enklare att lösa ekvationssystemet med Gausselimination. Vi har gjort det förut och vi gör det igen! Håkan Strömberg 11 KTH Syd

12 Multiplicera rad3 med 3 Addera rad1 till rad3 Multiplicera rad med 4 Addera rad till rad Vi få nu direkt z = och sätter in detta värde i rad och får 4y( = 8 som ger y = 1. Till slut sätter vi in z = och y = 1 i rad1 och får 3x 1( =, som ger x = 0. Svar: x = 0,y = 1 och z = Exempel 6. För att ett ekvationssystem ska ha en entydig lösning måste determinanten av koefficientmatrisen var 0. Med hjälp av denna kunskap kan vi avgöra för vilket a detta ekvationssystem har en entydig lösning x+3ay+z = 7 x+z = 3 y+z = 4 Koefficientmatrisen är När vi bestämmer det(a A = A = 3a a = 4+3a 8 deta = 0 då 4+3a 8 = 0, alltså a = 4. Svar: Då a = 4 har ekvationen ingen entydig lösning. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

13 Exempel 7. För vilka värden på a har ekvationssystemet entydiga lösningar? ax+y+3z = 4 x+y+5z = 7 3x+y+az = Koefficientmatrisen är A = a a A = a a = a a+a = a 4a 6 Ekvationen a 4a 6 = 0 har rötterna a 1 = och a = 3. Svar: Systemet saknar entydig lösning då a = eller a = 3. Exempel 8. Undersök hur många lösningar ekvationssystemet har för olika värden på a. Ange dessutom lösningarna { x+ay+ a = 0 ( ax 3y+1 = 0 Vi börjar med att hyfsa till systemet, så att vi kan hitta koefficientmatris och högerled. { x+ay = a ( ax 3y = A = ( 1 a a 3 det(a = 3 a( a. det(a = 0 då a a 3 = 0, som har rötterna a 1 = och a = 3. Systemet har entydig lösning då a 1 och a 3. x = y = 1 a 1+a 1+a Det är uppenbart att då a = så saknar systemet lösning. Addera 3 gånger rad1 till rad [ [ Vilket visar att lösning saknas. Men hur är det då a = 3? Totalmatrisen ser då ut så här [ ] Addera rad1 till rad. [ Vilket betyder oändligt många lösningar. ] ] ] Håkan Strömberg 13 KTH Syd

14 Exempel 9. Bestäm inversen till A = Lösning: Vi startar med att bestämma 1 1 det A = = = 1 Nu är det dags att bestämma adj A, men först B, eftersom vi inte orkar transponera direkt. ( B = ( 3 ( som sedan ger För säkerhets skull en test: A = 1 1 adj A = AA = = = Problem 1. Lös ekvationen Där Svar: x 1 = 8,x = 3 ( 0 1 B = 5 1 Problem. Lös tipsekvationen BC x = b C = 1 x x ( = 0 b = ( 3 Svar: x 1 = 1,x = 4 Problem 3. Lös ekvationen då Svar: x = 6 A = ( AB = BA B = ( x Håkan Strömberg 14 KTH Syd

15 1 Det är visserligen långt ifrån huvudräkning, men ändå, bestäm med Jacobis metod, A då 1 4 A = Utför du detta en gång till så sitter det sedan. Alltså, bestäm med Jacobis metod, A då A = Kan du beräkna den här determinanten i huvudet? det(a = 0 A = A = Håkan Strömberg 15 KTH Syd

16 Mer om ekvationssystem Exempel 10. I figuren ovan ser vi de åtta möjligheter som tre plan kan förhålla sig till varandra. Studera figurerna och fyll i tabellen under rubriken antal lösningar. Svaren kan Håkan Strömberg 16 KTH Syd

17 vara 0, 1, oändligt många plan eller oändligt många linje. Figur Antal lösningar System I nästa steg ska du klassificera följande åtta ekvationssystem. De beskriver var och en ett av de åtta fallen i figurerna. Fyll i tabellen ovan med bokstaven för det system som motsvarar viss figur. a c e g 3x1y+z = 4 x 4y+z = x 6y+3z = x+y z = x+y z = 0 x y+z = x+y+z = x y z = 4 x+4y+4z = 10 x+y+z = 3 x+y+z = 8 x y+3z = a b d f h x+y z = 3 6x y+4z = 6 x+y z = 3 x y z = 4 x+y = 0 x+y z = 5x+1y+z = 15x+36y+3z = 10 0x+48y+4z = 3x+y+z = 6x 4y z = 4 15x+10y+5z = 10 Addera /3 gånger rad1 till rad3 och rad /3 1/3 /3 0 7/3 7/3 0/3 Addera 7 gånger rad till rad /3 1/3 / Håkan Strömberg 17 KTH Syd

18 Systemet saknar lösning. Om vi tittar på två plan i taget får vi tre ekvationssystem { 3x1y+z = 4 x 4y+z = som har lösningen l 1 = ( 6,,0 +(3,1,1t, en linje. Sätt z = t och lös ekvationssystemet med avseende på x och y. Lös först ut x, x = 4 t+11y 3 ur första ekvationen och sätt in i den andra 4 t+11y 3 4y+t = 4 t+11yy+3t = 6 y = +t Detta ger x = 4 t+11( +t 3 x = 6+3t { 3x1y+z = 4 x 6y+3z = som har lösningen l = (46/7,10/7,0 +(3,1,1t en linje. { x 4y+z = x 6y+3z = som har lösningen l 3 = (10,,0+(3,1,1t en linje. Varje par av plan skär varandra utefter en rät linje. Riktningsvektorern (3, 1, 1 är gemensam för de tre linjerna, vilket betyder att de är parallella. Figur 3. b Addera gånger rad1 till rad. Addera /3 gånger rad1 till rad /3 4/3 Byt plats på rad och rad /3 4/ Systemet har oändligt många lösningar. Vi ser att planen i rad1 och rad är identiska, till exempel genom att dividera båda led i plan med. Det tredje planet skär dessa två efter en rät linje. Figur 5. Håkan Strömberg 18 KTH Syd

19 c Addera gånger rad1 till rad. Addera rad1 till rad Planet på rad1 är identiskt med planet på rad3. Planet på rad är parallellt med de andra två planen. Systemet har alltså ingen lösning. Figur 7. d Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad3. Addera gånger rad till rad Systemet har en entydig lösning, nämligen z =, y = och x = 1. Figur 8 e Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad3. Addera rad till rad Systemet har oändligt många lösningar. Då vi som i a löser ekvationen mellan två plan i sänder får vi varje gång samma linje: l = (,3,0 +(0,,1t. Figur 6 Håkan Strömberg 19 KTH Syd

20 f Addera 3 gånger rad1 till rad. Addera 4 gånger rad1 till rad Systemet saknar lösning. Vi ser att det handlar om tre parallella plan. Figur. g Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad Byt rad med rad Systemet saknar lösning. Vi ser att planet i rad 1 är parallellt med planet i rad. Det tredje planet skär de andra två. Figur 4. h Addera gånger rad1 till rad. Addera 5 gånger rad1 till rad Systemet har oändligt många lösningar. De tre planen är identiska. Figur 1. Håkan Strömberg 0 KTH Syd

21 Här har vi den ifyllda tabellen Figur Antal lösningar System 1 plan h ingen f 3 ingen a 4 ingen g 5 linje b 6 linje e 7 ingen c 8 punkt d Exempel 11. Lös ekvationen Från determinanten får vi x 1 x x 3 = 0 Som har rötterna x 1 = 5 och x = 3 Exempel 1. Lös olikheten Från determinanten får vi ekvationen 1x +455x 6x = 0 3x +45 6x = 0 x +x5 = 0 3 x 1 1 x 3 > x x x8 = 0 x x 4 = 0 x x = 0 som har rötterna x 1 = 3 och x = 4. Vi kan nu skriva olikheten (x+3(x 4 > 0 Med gammal känd teknik får vi x < 3 eller x > 4 Håkan Strömberg 1 KTH Syd

22 Problem 4. Bestäm inversen till Addera rad1 till rad3. Multiplicera rad med Addera 3 gånger rad till rad3. C = Multiplicera rad3 med Addera rad3 till rad Addera gånger rad till rad1 Den sökta inversen är C = 4 3 Håkan Strömberg KTH Syd

23 Exempel 13. Lös för alla möjliga a, ekvationssystemet ax+y+z = 1 x+ay+z = a x+z+az = a Först bestämmer vi determinanten för koefficientmatrisen. a a a = a (1+a+1 a (1+a = a 3 +a a Ekvationen a 3 +a a = 0 har rötterna a 1 = 0, a = 1 och a 3 =. För dessa tre värden på a finns ingen entydig lösning till systemet. Vi ställer nu upp totalmatrisen och ser vad Gausseliminationen leder till för de tre fallen. Då a = 0 By plats på rad 1 och rad. Addera gånger rad1 till rad När a = 0 har vi oändligt många lösningar. För att se vad dessa lösningar bildar sätter vi z = t, som ger y = 1 t och till sist x = t. Lösningarna bildar alltså linjen (x,y,z = (0,1,0 +(1,,t Då a = Vi får totalmatrisen Byt plats på rad1 och rad Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad Håkan Strömberg 3 KTH Syd

24 Addera /3 gånger rad till rad Ur totalmatrisen får vi då att för a = saknas lösning. Då a = Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad3. Byt plats på rad och rad Systemet har oändligt många lösningar. Som tidigare sätter vi z = t och får då y+t = 0, y = t. Till sist får vi x + t + t = 1, som ger x = 1 t. Lösningarna ligger utefter linjen: (x,y,z = (1,0,0 +(,1,1t För a då det(a 0 Detta blir den mest krävande beräkningen. Vår totalmatris är a a 1 a a a Byt plats på rad1 och rad a a 1 a 1 a a Addera gånger rad1 till rad. Addera a gånger rad1 till rad a a 0 a a a a a a 1 a 3 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

25 Addera /a gånger rad till rad a a 0 a a a a 0 0 a a a 3 +a Jaha! Vi får z = a3 +a a a+ = a(a(a+1 = a(a+1 (a(a+ a+ Detta z substituerar vi nu i rad och får ay a (a+1 a+ y = y = y = y = = a a a a + a (a+1 a+ a (a a (a++a (a+1 a+ a (a a (a++a (a+1 a+ a a+ a a y = a+ Återstår så att lösa ut x. Vi får genom substitution x+ a(a+1 a+ = a x = a (a+ a(a+1 a+ x = a a+ Till sist får vi lösningen: x = a a+ y = a+ z = a(a+1 a+ Håkan Strömberg 5 KTH Syd

26 Exempel 14. Bestäm under vilken vinkel linjen x = 3 t y = 1+t z = t skär planet 3x+y z = 0. Vi har linjens riktningsvektor r = (,1, och planets normalvektor n = (3,,. Vi startar med att med hjälp av formeln θ = arccos bestämma vinkeln mellan dessa två vektorer n r n r θ = arccos (3,, (,1, (3,, (,1, Detta leder till θ = arccos 3 7 Slår vi detta resultat på dosa får vi θ Vinkeln mellan de två vektorerna kan ses som både och Vi är intresserade av ett resultat som är < 90 och väljer därför Vinkeln mellan planet och linjen blir då Exempel 15. Lös ekvationssystemet { x 3y+z = 8 4x 6y+z = 17 Lösningen kan ses som skärningen mellan två plan. Systemet är underbestämt, det finns fler obekanta än ekvationer. Vi vet att detta system inte kan ge en entydig lösning två plan kan inte skära varandra i endast en punkt! Vi tar till Gausselimination och ställer upp totalmatrisen [ ] Addera gånger rad1 till rad [ Detta betyder att systemet saknar lösning. Planen är parallella vilket vi lätt kan se när vi betraktar planens normalvektorer ] Håkan Strömberg 6 KTH Syd

27 Exempel 16. Vi tar ett till liknande { x+3y z = 5 4x+6y+z = 8 Upp med totalmatrisen Addera gånger rad1 till rad [ [ ] ] Ur detta får vi att z = 3. Men sedan? Vi substituerar z i första ekvationen och får x+3y+ 3 = 5 x+3y = 13 3 Sätt y = t och lös ekvationen med avseende på x Lösningen är som väntat en linje x+3t = 13 3 x = t x = 13 9t 6 y = t z = 3 Exempel 17. Lös ekvationssytemet x+y+z+w = 1 x y+z w = 1 x y+z+w = 1 Åter ett underbestämt problem med följande totalmatris Addera gånger rad1 till rad. Addera rad1 till rad Sätt w = t ger z = 1 t. Sätt in w = t i rad, ger y t = 0, y = t. Till sist får vi x genom x t+(1 t+t = 1 och x = t. Svar: x = t,y = t,z = 1 t,w = t Håkan Strömberg 7 KTH Syd

28 Exempel 18. Lös det underbestämda ekvationssystemet x+y+z+w = 8 x+y+3z+4w = 10 3x+4y+5z+6w = 18 Vi får totalmatrisen Byt plats på rad1 och rad Addera gånger rad1 till rad. Addera 3 gånger rad1 till rad Addera gånger rad till rad Sätt z = s och w = t ger från rad ekvationen y 4s 6t =, y = 6 3t s. In med y,z och w i rad1 ger x+(6 3t s+3s+4t = 10, x = +s+t. Svar: x = +s+t y = 6 3t s z = s w = t Exempel 19. Denna uppgift består i att först bestämma två tredjegradspolynom och därefter ta reda på i vilka punkter de skär varandra. Man vet att det första polynomet går genom följande punkter och att det andra har följande data x y x y Vi första polynomet har följande utseende p 1 (xa 3 x 3 +a x +a 1 x+a 0 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

29 Det andra p (xb 3 x 3 +b x +b 1 x+b 0 Det är de 8 koefficienterna som ska bestämmas. Det första polynomet med tillhörande data ger ekvationssystemet 15a 3 +5a +5a 1 +a 0 = 50 51a 3 +64a +8a 1 +a 0 = 838 7a 3 +9a +3a 1 +a 0 = 68 8a 3 +4a +a 1 +a 0 = Har en lösning som leder fran till polynomet Över till det andra polynomet som har en lösning som leder till p 1 (x = x 3 +5x +x0 b 3 +b +b 1 +b 0 = 64b 3 +16b +4b 1 +b 0 = b 3 +5b +5b 1 +b 0 = 306 8b 3 +4b b 1 +b 0 = p (x = x 3 +3x 3x 4 För att se var dessa polynom skär varandra sätter vi p 1 (x = p (x x 3 +5x +x0 = x 3 +3x 3x 4 x 3 x 5x+6 = 0 Här kan man gissa all tre rötterna om man har tur! x =, x = 1 och x = 3. Återstår att bestämma p 1 ( =,p 1 (1 = och p 1 (3 = 68, som ger skärningspunkterna (,, (1,, (3, Håkan Strömberg 9 KTH Syd

30 Extra 4. Beräkna A, A 3, A 4, A 5 och gissa vad A n blir då ( 0 A = 0 3 Lösning: En korrekt gissning är ( A 4 0 = 0 9 ( A = 0 81 A n = ( n n Extra 5. För vilka värden på a har matrisen A en invers a 1 a ( A = 0 7 ( A = 0 43 Lösning: Bestäm a 1 a = a a a då a a 3 = 0 saknar matrisen invers. Ekvationen har rötterna a 1 = och a = 3. Svar: för a och a 3 har matrisen en invers. Håkan Strömberg 30 KTH Syd

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Komplexa tal med Mathematica

Komplexa tal med Mathematica Komplexa tal med Mathematica Vi startar med att lösa en andragradsekvation Solve[x^ - x + == 0] Vi får de komplexa rötterna x 1 = 1 i och x = 1 + i. När vi plottar funktionen f(x) = x x+ ser vi tydligt

Läs mer

x+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5

x+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5 Uppgifter med linjära ekvationssystem Tips för att lösa linjära ekvationssystem Då systemet saknar parametrar ställer man direkt upp totalmatrisen. Detta är endast av administrativa skäl, blir mer lättöverskådligt.

Läs mer

x = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z

x = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z Ett nytt försök med att ta fram inversen till en matris Innan vi startar med att bestämma inversen till en matris måste vi veta varför vi skulle kunna behöva den. Vi har A x b som är resultatet av en omskrivning

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2

x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2 Problem 1. Avgör för vilka värden på a som ekvationssystemet nedan har oändligt antal lösningar. Ange lösningarna i dessa fall! Lösning: Genom x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2 1 2 3 1 a 11 2 1 1 =

Läs mer

Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då

Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.

Läs mer

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2010 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 7 Uppgift 1................................. 7 Uppgift 2.................................

Läs mer

TENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor TENTAMEN Matematik Kurskod HF903 Skrivtid 3:5-7:5 Onsdagen 5 september 03 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av 3 uppgifter som totalt kan

Läs mer

2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s

2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Lösning: (x,y,z) = (1+t, 1+t,t)

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =

2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 = Problem 1. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska avgöra om linjen är vinkelrät mot planet. x = 2 4t y = 3 2t z = 1+2t 2x+y z 5 = 0 Lösning: Linjen har riktningsvektorn

Läs mer

6.4. Linjära ekvationssytem och matriser

6.4. Linjära ekvationssytem och matriser 5 6 MATRISER 6.4. Linjära ekvationssytem och matriser Vi har tidigare sett att linjära ekvationssytem kan skrivas om med hjälp av matriser, så visst finns det ett samband mellan dessa. Nedan ska vi studera

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så

Läs mer

15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra 5 september, 5 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition och beräkning av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1 Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11 M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 41 Linjär Algebra, Föreläsning

Läs mer

Avsnitt 4, Matriser ( =

Avsnitt 4, Matriser ( = Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den

Läs mer

14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra 14 september, 2016 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess lösningar

Läs mer

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0 Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga

Läs mer

Moment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6

Moment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6 Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4. Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna -. Föreläsningarna, 6/9 /9 : I sammanfattningen kommer en del av det vi tagit

Läs mer

Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser

Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser Pelle 2016-01-18 Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser kursfakta hemsida frågelåda Fakta om Linjär

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2

Läs mer

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella

Läs mer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 016 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1.

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF64 Algebra och geometri Sjätte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 5 januari, 07 Repetition Ett delrum i R n är slutet under addition x + y V om x, y V multiplikation med skalär a

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (

Läs mer

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också

Läs mer

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Tisdagen 31 maj Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Tisdagen 31 maj Tentamen består av 3 sidor TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Tisdagen 31 maj 2011 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Matriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1

Matriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1 Matriser En m n-matris A har följande form a 11... a 1n A =.., a ij R. a m1... a mn Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. Exempel 1 1 0 0 1, 0 0 ( 1 3 ) 2, ( 7 1 2 3 2, 1 3, 2 1

Läs mer

November 6, { b1 = k a

November 6, { b1 = k a Fö 7: November 6, 2018 Linjära ekvationssystem Inledande exempel: Finn ekv för linjen L som går genom punkterna P a 1, b 1 och Qa 2, b 2 sådana att a 1 a 2. Lsg: Linjen L kan beskrivas av ekv y = k x +

Läs mer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +

Läs mer

= ( 1) ( 1) = 4 0.

= ( 1) ( 1) = 4 0. MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)

Läs mer

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1. Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a

Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a Övningstenta 6 Problem 1. Vilket är det största antalet olika element en symmetrisk matris A(n n kan ha? Problem. Bestäm de reella talen a,b,c och d då man vet att a b d c = 109 a c d b = 389 c d a b =

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 207 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.. För

Läs mer

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13 LINJÄR ALGEBRA Innehåll Linjärt ekvationssstem (ES) 5 Grundläggande algebra 3 3 Matrisalgebra 5 3 Addition av matriser 5 3 Multiplikation mellan matriser 7 33 Enhetsmatris 34 Invers matris 34 Nollmatris

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?

Läs mer

LYCKA TILL! kl 8 13

LYCKA TILL! kl 8 13 LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u = Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Omfattning och Innehåll 2.1 Matrisoperationer: addition av matriser, multiplikation av matris med skalär, multiplikation av matriser. 2.2-2.3 Matrisinvers, karakterisering

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning? Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Test 1 2009.09.14 08.30 09.30 Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073 763 27 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart.

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl entamen i Matematik, HF9, för D onsdag september, kl 8.. Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs poäng av möjliga poäng (betygsskala är,,,d,e,fx,f). Den som uppnått

Läs mer

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Onsdagen 17 november 2010 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter,

Läs mer

Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.

Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4. Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2., 4.2.4 Viktiga exempel 4.1, 4., 4.4, 4.5, 4.6, 4.1, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4., 4.4, 4.5, 4.7 Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen

Läs mer

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t) Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z

Läs mer

Gausselimination fungerar alltid, till skillnad från mer speciella metoder.

Gausselimination fungerar alltid, till skillnad från mer speciella metoder. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM, GAUSSELIMINATION. MATRISER. Läs avsnitten 4.-4.. Lös övningarna 4.ace, 4.2acef, 4., 4.5-4.7, 4.9b, 4. och 4.abcfi. Läsanvisningar Avsnitt 4. Det här avsnittet handlar om Gauss-elimination,

Läs mer

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF164 för D, den 5 juni 21 kl 9.- 14.. Examinator: Olof Heden. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll

Läs mer

Lösningsforslag till tentamen i SF1624 den 22/ e x e y e z = 5e x 10e z = 5(1, 0, 2). 1 1 a a + 2 2a 4

Lösningsforslag till tentamen i SF1624 den 22/ e x e y e z = 5e x 10e z = 5(1, 0, 2). 1 1 a a + 2 2a 4 Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin Lösningsforslag till tentamen i SF64 den /0 007 Eftersom planet går genom punkten (,, 0, det har ekvation a(x + b(y + + cz = 0, där a, b, c är koefficienter

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l. SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B

Läs mer

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0 Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas

Läs mer

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange

Läs mer

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:

Läs mer

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 6 Institutionen för matematik KTH 11 november 2016 Feedback Innan vi börjar: En liten feedback-övning Vad menas med rangen av en matris? Vad menas med ett homogent linjärt ekvationssystem?

Läs mer

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = =

MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = = Matematiska institutionen Stockholms universitet CG Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 5 MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jörgen Östensson Prov i matematik X, geo, frist, lärare LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 200 0 08 Skrivtid: 8.00.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer