November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

Transkript

1 Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination + eventuell omnumrering av obekanta ingen bortkastning av rader bestående av nollor) transformerar C till en av följande matriser C = [A B ]: ) ) ) en enda lsg. Obs det A =. k-parameter lsg. Obs det A =. k-kolonner efter sista ledande ettan inga lsgar alls. Obs det A =. Observation. det A om och endast om det A. Bevis: En elementär radoperation på en kvadratisk matris multiplicerar eventuellt matrisendeterminant med en konstant. Ett kolonnbyte vid en eventuell omnumrering av variabler) ändrar bara tecken på determinanten.

2 Sats. s. 7) Låt *) A X = B vara ett ekvssystem, där A är kvadratisk. i) Om det A så har *) precis en lsg. ii) Om det A = så har *) antingen ingen lsg eller oändligt många lsgar. Exempel. Betrakta systemet: { x + k y = k x + 4 y =. För vilka reella k har systemet precis en lsg, inga lsgar, oändligt många lsgar? Lsg: det A = 4 k. Ekv 4 k = har två lsgar: k = och k =. i) Om k, det A så har systemet precis en lsg. ) ii) Om k = så är ) 4 +) ) iii) Om k = så är 4 ) ) +) oändligt många lsgar; ) inga lsgar. Obs Varje homogent ekvssystem A X = har alltid minst en lsg, den triviala lsgen X = ). Följd. s. 7) Låt **) A X = vara ett homogent ekvssystem, där A är kvadratisk. i) Om det A så har **) precis en lsg, X =. ii) Om det A = så har **) oändligt många lsgar. x + y + z = Avgör om systemet x + y 5 z = x + y z = har fler än en lsg. Lsg: Obs det =. Så systemet har oändligt många lsgar. Några påståenden till om allmäna ekvssystem: Låt *) A X = B och **) A X =, där A är av typ m n). ) *) har lsgar om och endast om B kolonnrummet till A. ) Om X är en lsg till *) och Y är en lsg till **) så är X + Y en lsg till *). Dessutom om X är en lsg till *) så är X X en lsg till **).

3 Linjärt beroende och oberoende vektorer. Bas. Dimension. Definition s. 85). Låt V vara ett vektorrum till ex. R n ). Vektorerna a, a,..., a n är linjärt oberoende om ekv x a x n a = m a p x,..., x n har precis en lsg: x =... = x n = den triviala lsgen). Annars säger man att vektorerna är linjärt beroende. ) En nollskild vektor a bildar ett linjärt oberoende system ty x a = om och endast om x =. ) Paret, a bildar ett linjärt beroende system ty + a =. Sats: Vektorerna a, a,..., a n är linjärt beroende om och endast om en av vektorerna kan skrivas som en linjär kombination av övriga. ) två parallella vektorer i planet är linjärt beroende; ) två icke-parallella vektorer i planet är linjärt oberoende; ) tre vektorer i rummet som ligger i samma plan är linjärt beroende; 4) tre vektorer i rummet som inte ligger i samma plan är linjärt oberoende. Undersök om vektorerna a = beroende., a =, a = är linjärt Lsg. Ställ upp ekv x a + x a + x a =, skriv om denna på koordinat form som ett ekvationssystem och lägg märke till att ekvssystemmatrisen A = har det A. Så systemet A X = har en enda lsg. Detta medför att vektorerna är linjärt oberoende. Låt vektorerna a, a,..., a n vara från rummet R m, där n > m. Då bidar vektorerna alltid ett linjärt beroende system.

4 Definition s. 88). Vektorerna a, a,..., a n utgör en bas för rummet V om i) a, a,..., a n är linjärt oberoende; ii) varje vektor v V kan skrivas som en linjär kombination av a, a,..., a n d v s v = k a + k a k n a n. man säger att a, a,..., a n spänner upp V ) Koefficienterna k, k,..., k n entydigt bestämda de är koordinaterna för vektorn v i basen a, a,..., a n s. 89). ) två icke-parallella vektorer i planet utgör en bas i planet; ) tre vektorer i rummet som inte ligger i samma plan utgör en bas i rummet; ) vektorerna a =, a = finn koordinaterna av vektorn v = 4) vektorerna a =, a =, a = 4 6 utgör en bas i rummet; i denna bas. Svar,,., a =, a 4 utgör ingen bas i rummet. Sats: Vektorerna a, a,..., a k utgör en bas för rummet R n om och endast om k = n och det[a, a,..., a n ]. Standardbasen i R n. Finn en bas för underrummet W = {x : x + x x + 4x 4 =, x + x 4x x 4 = } av rummet R 4. Svar: v =, v =

5 Sats: Antalet element i olika baser för rummet V är samma tal om det finns en ändlig bas i rummet). Detta tal kallas för dimensionen av V och betecknas dim V. dim R n = n och dim W =. Låt A vara en matris av typ m n med kolonnerna k, k,..., k n. Gausselimination transformerar A till en trappformad matris A. Låt i,..., i p vara numren på kolonnerna i A med ledande ettor. Då utgör kolonnerna k i, k i,..., k ip en bas för kolonnrummet till A. Således är dim kolonnrummet till A) = p. Obs dimnollrummet till A) = n p antalet av parametrar i lsgsmängden till ekv AX = ). Fråga: Hur hittar man en bas för radrummet till A? Svar: till ex. betrakta A t och handla som ovan. Obs dimradrummet tilla) = p. Exempel. Betrakta vektorer a, a,..., a k i R n. Samtliga linjär kombinationer av vektorerna bildar ett underrum V till R n. Bestäm dim V. Lsg. Bilda en n k)-matris A av vektorerna så att :a kolonnen är vektorn a, :a kolonnen vektorn a o s v. Obs kolonnrummet till A är underrummet V. 5