10.4. Linjära höljet LINJÄRA RUM

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "10.4. Linjära höljet LINJÄRA RUM"

Oliver Lindström
för 5 år sedan
Visningar:

1 98 LINJÄRA RUM.4. Linjära höljet Definition.37. Mängden av alla linjärkombinationer av M = {v, v,...,v n } iett linjärt rum V kallas för linjära höljet av M betecknas [M], dvs [M] ={u V : u = λ v + λ v + + λ n v n } eller [v, v,...,v n ]={u V : u = λ v + λ v + + λ n v n }. Anmärkning.38. Linjära höljet [M] avenmängd M = {v, v,...,v n } V är ett underrum i V.Omu, u [M], så gäller att u = λ v + λ v + + λ n v n För summan gäller att u = µ v + µ v + + µ n v n. u + u =(λ + µ )v +(λ + µ)v + +(λ n + µ n )v n [M] för multiplikation med ett reellt tal µ gäller att µu = µλ v + µλ v + + µλ n v n [M]. Alltså är [M] ettunderrumiv. Exempel.39. Låt v v vara två vektorer i R 3.Dågäller att. Höljet W =[v ]={u R 3 : u = λv } är en linje genom origo med riktningsvektorn v.. Om v v inte är parallella, så är höljet W =[v, v ]={u R 3 : u = λ v + λ v } ett plan genom origo med riktningsvektorerna v v. 3. Om v v är parallella, dvs v = tv,såär höljet W =[v, v ]={u R 3 : u = λ v + λ v =(λ + λ t) v = λv } =[v ] = λ en linje genom origo med riktningsvektorn v.

2 .4 Linjära höljet 99 Exempel.4. Betrakta mängderna M = {v =(,, ) t, v =(,, ) t } R 3 M = {w =(,, ) t, w =(,, ) t } R 3. Visa att M M spänner upp samma linjära hölje, dvs [M ]=[M ]. Lösning: Alternativ. Vi visar att [M ]=[M ] genom att visa att a) M ligger i M,dvs[M ] [M ]. b) M ligger i M,dvs[M ] [M ]. a) Vi har att v är en linjärkombination av M = {w, w },ty v = λ w + λ w På samma sätt kan man visa att v = w w = λ = / λ = / dvs v är också en linjärkombination av M. Alltså är [M ] [M ]. b) På samma sätt som i a) kan man visa att w = v + v w = v v, dvs w w är linjärkombinationer av M = {v, v } vilket visar att [M ] [M ]. Eftersom vi har visat att [M ] [M ][M ] [M ], så har vi visat att [M ]=[M ]. Alternativ. Både [M ][M ] är plan genom origo där [M ]spänns upp av riktningsvektorerna v v [M ]spänns upp av w w. Normalerna till [M ][M ] ges av e e e 3 n = v v = =(,, )t respektive Vi får alltså att n = w w =(,, ) t. [M ]={x R 3 : x + x + x 3 =} =[M ].

3 LINJÄRA RUM Exempel.4. Mängderna M = {(,, ) t, (,, ) t } M = {(,, ) t, (,, ) t, (,, ) t } är givna. Är [M ]=[M ]? Lösning: Höljet [M ] är ett plan genom origo som spänns upp av vektorerna (,, ) t, (,, ) t. Vidare är mängden M linjärt oberoende, ty systemet λ + λ + λ 3 = har endast den triviala lösningen λ = λ = λ 3 =. Detta betyder att mängden M spänner upp R 3 därmed är [M ]=R 3. Alltså kan inte underrummen [M ][M ] vara lika. Följande resultat visar att vi kan ta bort en linjärkombination ur en mängd utan att mängdens hölje förändras. Sats.4. Antag att v n är en linjärkombination av mängden M = {v, v,...,v n } låt mängden M = {v, v,...,v n }.Dåär [M] =[M ]. Bevis:. Vi visar [M ] [M]: Eftersom varje element u i[m ] är av typen u = λ v + λ v + λ n v n, så är detta också ett element i [M]. Alltså [M ] [M].. Vi visar [M] [M ]: Antag v n är en linjärkombination av de övriga, dvs v n = µ v + µ v + µ n v n. Om u [M], så gäller att u = α v + α v + α n v n + α n v n = α v + α v + α n v n + α n µ v + µ v + µ n v n = (α + µ )v +(α + µ )v + (α n + µ n )v n = λ v + λ v + + λ n v n, där λ k = α k + µ k, k =,,...,n. Alltså är u [M ]. Eftersom båda [M ] [M] [M] [M ]gäller så är [M] =[M ].

4 .4 Linjära höljet Exempel.43. Betrakta mängden M = {(,, ) t, (,, ) t, (, 5, 3) t } R 3. Utred den geometriska tolkningen av det linjära höljet [M]. Lösning: Det är inte säkert att alla vektorer i M behövs för att beskriva underrummet [M]. Enligt Sats.4 kan vi ur M stryka onödiga linjärkombinationer utan att [M] ändras. För att ta reda på linjärkombinationer undersöker vi linjärt beroende hos M. Systemet λ (,, ) t + λ (,, ) t + λ 3 (, 5, 3) t = (.5) har lösningen λ =, λ =3λ 3 =. Alltså är M linjärt beroende minst en av vektorerna är en linjärkombination i de övriga. Med λ =, λ =3λ 3 = insatta i (.5) får vi linjärombinationen (, 5, 3) t = (,, ) t + 3(,, ) t. (.6) Vi skulle alltså kunna stryka (, 5, 3) t ur M utan att [M] ändras. Låt oss titta lite närmare på detta. Med hjälp av linjärkombinationen i (.6) får vi [M] = [(,, ) t, (,, ) t, (, 5, 3) t ]={u R 3 : u = µ (,, ) t + µ (,, ) t + µ 3 (, 5, 3) t } = {u R 3 : u = µ (,, ) t + µ (,, ) t + µ 3 ((,, ) t + 3(,, ) t )} = {u R 3 : u =(µ +µ 3 )(,, ) t +(µ +3µ 3 )(,, ) t } = {λ = µ +µ 3, λ = µ +3µ 3 } = {u R 3 : u = λ (,, ) t + λ (,, ) t } = [(,, ) t, (,, ) t ] dvs [M] =[(,, ) t, (,, ) t ]. Alltså är underrumet [M] ett plan genom origo med riktningsvektorerna (,, ) t (,, ) t. Exempel.44. Hyperplan. Vi såg i Exempel.35 att den givna mägden där beståede av fyra vektorer spänner upp hela R 4., dvs [v =(,,, ) t, v =(,,, ) t, v 3 =(,,, ) t, v 4 =(,,, ) t ]=R 4. I det här exemplet vill vi undersöka vad tre av dessa vektorerna spänner upp försöka ge en geomtrisk tolkning åt detta. Vi vill alltså studera närmare det linjära höljet U =[v =(,,, ) t, v 3 =(,,, ) t, v 4 =(,,, ) t. Lösning: Vektorn u =(x,x,x 3,x 4 ) t U om det finns tal λ,λ 3 λ 4, så att x x u = λ v + λ 3 v 3 + λ 4 v 4 x x 3 x + x x + x + x 3 + x 4. x 4 x 4 + x Alltså för att u =(x,x,x 3,x 4 ) t skall få tillhöra U så måste dess koordinater uppfylla ekvationen x + x + x 3 + x 4 =.

5 LINJÄRA RUM Vi skulle därmed kunna uttrycka U via en ekvation, dvs U =[v, v 3, v 4 ]={u =(x,x,x 3,x 4 ) t R 4 : x + x + x 3 + x 4 =}. Det är självklart inte lätt att ge en geometrisk tolkning åt U i R 4.Ettsätt är att använda samma terminologi som i R 3,där vi kallar en ekvation av typen för ett plan. En ekvation i R 4 av typen Ax + Bx + Cx 3 + D = Ax + Bx + Cx 3 + Dx 4 + E = kallar vi för hyperplan. I det här exemplet är U ett hyperplan genom origo. Exempel.45. Snittet mellan mängderna U V är mängden av alla gemensamma vektorer som ligger i både i U V som vi betecknar U V. Antag att U är underrummet i Exempel.44: U = {u =(x,x,x 3,x 4 ) t R 4 : x + x + x 3 + x 4 =} V = {u =(x,x,x 3,x 4 ) t R 4 : x x + x 3 x 4 =}. Vi vill bestämma U V som då ges av U V = {u =(x,x,x 3,x 4 ) t R 4 : x + x + x 3 + x 4 =,x x + x 3 x 4 =} Lösning: För att en vektor u =(x,x,x 3,x 4 ) t R 4 ska ligga i både i U V krävs det att dess koordinater x, x, x 3 x 4 satisfierar båda ekvationerna samtidigt, dvs x + x + x 3 + x 4 = x x + x 3 x 4 = x + x + x 3 + x 4 = x x 4 = Sätter vi x 4 = t x 3 = s så får vi att x = t x = s. Vi får därmed att vektorerna som ligger i snittet U V är av typen u = s(,,, ) t + t(,,, ) t. Alltså är U V =[(,,, ) t, (,,, ) t ].

Relevanta dokument

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,