September 13, Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har. (i) en riktning, och

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "September 13, Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har. (i) en riktning, och"

Gunnar Forsberg
för 6 år sedan
Visningar:

1 Fö : September 3, 205 Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har i en riktning, och ii en nollskild längd betecknad P Q. Man använder riktade sträckor för behandling av företeelser som förutom mätetal också har en riktning, ex. kraft eller hastighet. Mätetal paras ihop med längd. En nollsträcka P P börjar och slutar i samma punkt P. Denna har längden 0 och saknar en riktning. Definition sid. 8: i Nollvektorn 0 är mängden av alla nollsträckor. ii En nollskild vektor u är en mängd av alla riktade sträckor med samma nollskild längd och riktning. Låt P Q vara ett element av någon u. Då är riktningen av u samma som riktningen av P Q och längden av u= P Q betecknad. Sammanfatta: Riktningen och längden definierar entydigt en nollskild vektor. Vektorn med ett element QP betecknas u denna har motsatt riktning men samma längd som u. Beteckningar av vektorer: P Q, AB, u, v osv Om = kallas u en enhetsvektor. Fråga: Hur många olika vektorer finns det? Identifiering av vektorer och punkter i rummet planet: Fixera en punkt O origo i rummet. En godtycklig punkt A i rummet paras ihop med den riktade sträckan OA som kallas en ortsvektor för punkten A och varje riktad sträcka OP paras ihop med motsvarande vektor u.

2 Operationer Definition Multiplikation av en vektor u med ett reelt tal k sida 0: Låt u vara en vektor och k ett reellt tal. Vi definierar i 0 u = 0 och k 0 = 0. ii Om k 0 och u 0 så är k u den vektor för vilken följande gäller Exempel: a k u = k ; b om k > 0 så har vektorn k u samma riktning som vektorn u har, annars har vektorn k u samma riktning som vektorn u. 2 u, 3 v, w Obs denna är w; 2 Antag att u 0. Då är vektorn e = u en enhetsvektor och u = e. Obs Om v u så finns det en konstant k s. a. v = k u. Notera att v = v e = v u om u, v har samma riktning och v = v e = v u annars. Så definieras konstanten k entydigt. Definition Vektoraddition sid. : Låt u, v vara vektorer, och AB ett element av u och BC ett element av v. Vektorn u + v är den vektor som har riktade sträckan AC som ett element. triangelregeln. Bild. Obs AB + BC = AC. Exempel: AB + BC + CD = AD 2

3 Sats Egenskaper sid. 2: Låt u, v, w vara vektorer och k, p reella tal. Då gäller u + v = v + u; 2 u + v + w = u + v + w = u + v + w; 3 u + 0 = u; 4 u + u = 0; 5 k + p u = k u + p u; 6 k u + v = k u + k v; 7 k p u = k p u; 8 u = u. Exempel: 4 2 u + 3 v = 8 u + 2 v Vektorsubtraktion: u v = u + v. Obs Om w = u v så är u = w + v det går att flytta över även vektorer. Definition: Låt v,..., v n vara vektorer och k,..., k n reella tal. Vektorn k v k n v n kallas en linjärkombination av vektorerna v,..., v n. Exempel: Betrakta i rummet triangeln med hörn i punkterna O, A, B. Låt punkten M ligga på sträckan AB och AM = m. Skriv vektorn OM som en linjärkombination av MB n vektorerna OA och OB. Bild. Svar: OM = n OA + m OB. m+n m+n 3

4 Projektion på en linje parallellt med en annan linje i planet sida 9: Låt M, N vara två icke-parallella linjer i planet och P, A, B punkter där. Projektionen av P på N parallellt med M, betecknad pr M N P, är skärningspunkten av linjen N med den linje L som går genom P och är parallell med linjen M. Projektionen av AB på N parallellt med M, betecknad pr M N AB, är A B, där A = pr M N A och B = pr M N B. Om AB är ett element av vektorn u så är projektionen av u på N parallellt med M, betecknad pr M N u, en vektor med pr M N AB som ett element. Om M N så är pr M N P = pr N P, pr M N AB = pr N AB och pr M N u = pr N u den ortogonala projektionen. Egenskaper: i pr M N u + v = pr M N u + pr M N v; ii pr M N k u = k pr M N u; iii u = pr M N u + pr N Mu komposantuppdelningen av vektorn u, sid. 8. En bas i planet: Två icke-parallella nollskilda vektorer i planet utgör en bas där. Betrakta vektorer e och e 2 s. a. e N och e 2 M så e, e 2 är en bas. Observera att det finns entydigt bestämda konstanter x, y s. a. pr M N u = x e och pr N Mu = y e 2. Vi har dessutom att u = x e + y e 2. Konstanterna x, y kallas koordinater av vektorn u i basen e, e 2. Om e e 2 så kallas basen e, e 2 ortogonal. Om basen e, e 2 är ortogonal och e = e 2 = så kallas denna ortonormal en ON-bas. x Identifiering av vektorer med dessa koordinater: u = basen e y, e 2 är fixerad Operationer på koordinatform: Om u = i u + u 2 = x + x 2 y + y 2 x y och u 2 = x2 y 2 så är ty u + u 2 = x e + y e 2 + x 2 e + y 2 e 2 = x + x 2 e + y + y 2 e 2 ; k x ii k u = ty k u = k x e k y + y e 2 = k x e + k y e 2 Nu får vi behandla vektorer talvis. 4

5 Ett ortonormerat koordinatsystem ON-system i planet är en punkt O origo och en ON-bas e, e 2. Låt P vara en punkt i planet. Betrakta ortsvektorn OP. Låt x, y vara OP s koordinater i basen e, e 2. Så x, y är också P s koordinater i systemet Oe, e 2 beteckning P x, y. Obs OP = x 2 + y 2 Pythagoros sats. Avståndet mellan två punkter P och P 2 är P P 2. Om P x, y och P 2 x 2, y 2 så är P P 2 = OP 2 OP = x2 x och P y 2 y P 2 = x 2 x 2 + y 2 y 2. Analogt i rummet något förtydligare om baser i rummet se i Fö 2. 5

Relevanta dokument

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14,

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 1 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 31 Lärare Ove Edlund Föreläsningar