Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Transkript

1 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013

2 2

3 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41 3

4 4 INNEHÅLL

5 Kapitel 1 Linjära ekvationssystem En linjär ekvation har formen ax + by + cz = d, där a, b, c, d är reella tal. Ett linjärt ekvationssystem består av ett antal linjära ekvationer som skall vara uppfyllda samtidigt. Ett exempel på ett linjärt ekvationssystem ges av x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 4z = 1. Linjära ekvationssystem löses enklast med så kallad Gausselimination. Vi ska beskriva Gausselimination genom ett antal exempel. Exempel 1.1. x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 4z = 1 Vi behåller ekvation 1 oförändrad och tar bort termer med x i ekvation 2 och 3 genom att addera en lämplig multipel av ekvation 1 till ekvation 2 och en lämplig multipel av ekvation 1 till ekvation 3. Vi ser att termer med x går bort i ekvation 2 om vi multiplicerar ekvation 1 med 2 och adderar till ekvation 2. På samma sätt ser vi att termer med x går bort i ekvation 3 om vi multiplicerar ekvation 1 med 3 och adderar till ekvation 3. x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 4z = 1 x + 2y + z = 1 y 4z = 1 2y 7z = 2 Vi använder nu ekvation 2 för att få bort termer med y i ekvation 3. Vi ser att termer med y går bort i ekvation 3 om vi multiplicerar ekvation 2 med 2 och adderar till ekvation 3. x + 2y + z = 1 y 4z = 1 2y 7z = 2 x + 2y + z = 1 y 4z = 1 z = 0 Ur sista ekvationen får vi värdet på z. Genom att sätta detta värde i ekvation 2 får vi värdet på y. Slutligen genom att sätta in värden på z och y i ekvation 1 får vi 5

6 6 KAPITEL 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM värdet på x. I vårt fall har vi x = 1 y = 1 z = 0 Då man har löst ett linjärt ekvationsystem skall man alltid kontrollera sin lösning genom att sätta in i ekvationerna. Detta enkelt och snabbt gjort och minskar risken för onödiga slarvfel. Exempel x 6y + 11z = 35 x 2y + z = 2 3x + 5y + z = 8 Vi behåller ekvation 1 oförändrad och tar bort termer med x i ekvation 2 och 3 genom att addera en lämplig multipel av ekvation 1 till ekvation 2 och en lämplig multipel av ekvation 1 till ekvation 3. Vi ser att termer med x går bort i ekvation 2 om vi adderar ekvation 1 med 2 gånger ekvation 2. På samma sätt ser vi att med x går bort i ekvation 3 om vi multiplicerar ekvation 1 med 3 och adderar till 2 gånger ekvation 3. 2x 6y + 11z = 35 x 2y + z = 2 3x + 5y + z = 8 2x 6y + 11z = 35 2y + 9z = 31 8y + 35z = 121 Vi använder nu ekvation 2 för att få bort termer med y i ekvation 3. Vi ser att termer med y går bort i ekvation 3 om vi multiplicerar ekvation 2 med 4 och adderar till ekvation 3. 2x 6y + 11z = 35 2y + 9z = 31 8y + 35z = 121 2x 6y + 11z = 35 2y + 9z = 31 z = 3 Ur sista ekvationen får vi värdet på z. Genom att sätta detta värde i ekvation 2 får vi värdet på y. Slutligen genom att sätta in värden på z och y i ekvation 1 får vi värdet på x. I vårt fall har vi x = 5 y = 2 z = 3 Insättning i ursprungsekvationerna visar att lösningen är korrekt. Exempel 1.3. x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 5z = 1 Vi behåller ekvation 1 oförändrad och tar bort termer med x i ekvation 2 och 3 genom att addera en lämplig multipel av ekvation 1 till ekvation 2 och en lämplig multipel av ekvation 1 till ekvation 3. Vi ser att termer med x går bort i ekvation 2 om vi adderar 2 gånger ekvation 1 till ekvation 2. På samma sätt ser vi att termer med x går bort i ekvation 3 om vi adderar 3 gånger ekvation 1 till ekvation 3. x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 5z = 1 x + 2y + z = 1 y 4z = 1 2y 8z = 2

7 7 Vi använder nu ekvation 2 för att få bort termer med y i ekvation 3. Vi ser att termer med y går bort i ekvation 3 om vi multiplicerar ekvation 2 med 2 och adderar till ekvation 3. x + 2y + z = 1 y 4z = 1 2y 8z = 2 x + 2y + z = 1 y 4z = 1 0 = 0 Tredje ekvationen är alltid uppfylld vilket innebär att vi kan välja z fritt. Man brukar sätta z = t där t R. t kallas då en parameter. Insättning i ekvation 1 och ekvation 2 ger x = 1 + 7t y = 1 4t z = t, t R Ekvationssystemet har alltså oändligt många lösningar. Sätt in ett värde på t och vi får värden på x, y och z som uppfyller ekvationen. Sätt in ett annat värde på t så får vi återigen värden på x, y och z som uppfyller ekvationen osv. Som vi skall se senare kan lösningsmängden tolkas som att (x, y, z) ligger på en linje som går genom punkten ( 1, 1, 0) och som har riktningsvektor (7, 4, 1). Återigen kontrollerar vi lösningen genom insättning. Ekvation 1: V L = ( 1 + 7t) + 2(1 4t) + t = 1 + 7t + 2 8t + t = 1 = HL Ekvation 2: V L = 2( 1 + 7t) + 3(1 4t) 2t = t t 2t = 1 = HL Ekvation 3: V L = 3( 1 + 7t) + 4(1 4t) 5t = t t 5t = 1 = HL Här står VL för vänsterledet och HL för högerledet. VL = HL innebär att ekvationen är uppfylld. Exempel 1.4. I de fall ett ekvationssystem har parameterlösningar kan man alltid välja dessa på olika sätt. Som ett exempel tittar vi på systemet x y + 2z = 4 2x + y z = 1 3x + 3y 4z = 2 Insättning i ekvationerna ovan (ganska jobbigt) visar att 5 x = 3 t 3 y = t 3 z = t, t R är lösningar. Insättning visar att även x = t y = 6 5t, t R z = 5 3t

8 8 KAPITEL 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM är lösningar. Formen på parametriseringen är olika men lösningsmängden är densamma i båda fallen. Varje lösning x, y, z som kan fås genom insättning av ett värde t i den första formeln kan också fås ur den andra genom insättning av något lämpligt t och vice versa. Ur matematisk synpunkt är båda parameterformerna lika bra och lika rätt. Ur praktisk synpunkt verkar den andra parameterformen bättre. Om du får en lösning på parameterform och den inte råkar stämma med vad som står i facit så sätt in din lösning i ekvationerna och se om det stämmer. Du är då säker på att den lösning du räknat fram är korrekt. Exempel 1.5. x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 5z = 2 Vi behåller ekvation 1 oförändrad och tar bort termer med x i ekvation 2 och 3 genom att addera en lämplig multipel av ekvation 1 till ekvation 2 och en lämplig multipel av ekvation 1 till ekvation 3. Vi ser att termer med x går bort i ekvation 2 om vi adderar 2 gånger ekvation 1 till ekvation 2. På samma sätt ser vi att med x går bort i ekvation 3 om vi adderar 3 gånger ekvation 1 till ekvation 3. x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 5z = 2 x + 2y + z = 1 y 4z = 1 2y 8z = 1 Vi använder nu ekvation 2 för att få bort termer med y i ekvation 3. Vi ser att termer med y går bort i ekvation 3 om vi multiplicerar ekvation 2 med 2 och adderar till ekvation 3. x + 2y + z = 1 y 4z = 1 2y 8z = 1 x + 2y + z = 1 y 4z = 1 0 = 1 Tredje ekvationen är aldrig uppfylld. Detta innebär att ekvationssystemet saknar lösning. Tillämpningar Linjära ekvationssystem har en otrolig mängd tillämpningar. Kraft och momentjämnvikt som är viktiga begrepp i byggnadsmekanik leder till ekvationssystem. Exempel 1.6. En lätt stång vilar på två bockar. Stången är belastad med yttre krafter F 1 = 100 N och F 2 = 25 N. Beräkna reaktionskrafterna R 1 och R 2 från bockarna. Längden L = 1 m. R 1 F 1 R 2 F 2 2L 2L L

9 9 Kraftjämvikt i vertikal led ger R 1 + R 2 = F 1 + F 2 Momentjämvikt (moment = kraft hävarm) kring vänstra bocken ger R 2 4L = F 1 2L + F 2 5L Båda ekvationerna skall vara uppfyllda { R1 + R 2 = 125 4R 2 = 325 Sista ekvationen ger R 2 = 325/4 = Insättning i första ekvationen ger R 1 = = Exempel 1.7. Genom två punkter går en rät linje (förstagradspolynom), genom tre punkter går en parabel (andragradspolynom), genom fyra punkter går ett tredjegradspolynom osv. Bestäm andragradspolynomet y = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 Som går igenom de tre punkterna ( 1, 1), (1, 3), (2, 2). Insättning av x = 1 skall ge y = 1, insättning av x = 1 skall ge y = 3 och slutligen skall x = 2 ge y = 2. Detta leder till ekvationssystemet c 0 c 1 + c 2 = 1 c 0 + c 1 + c 2 = 3 c 0 + 2c 1 + 4c 2 = 2 Gausselimination ger lösningen c 0 = 4, c 1 = 1och c 2 = 2. I figuren har vi ritat andragradspolynomet som går genom punkterna. 3 2 C A B 4 Ekvationssystem med MATLAB Det är väldigt tråkigt att lösa linjära ekvationssystem för hand (dessutom gör man ofta slarvfel). Systemen kan dock enkelt lösas på dator. För att lösa det linjära ekvationssystemet x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 4z = 1

10 10 KAPITEL 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM med MATLAB skriver man upp koefficienterna framför x, y och z i ett schema (matris) där semikolon separerar de olika raderna A = [1 2 1 ; ; 3 4-4] Sedan skriver man upp högerledet b = [1 ; 1 ; 1] Lösningen fås sedan genom att skriva (notera att snedstrecket lutar åt vänster!) A\b MATLAB svarar ans = Lösningen är alltså x = 1, y = 1 och z = 0. Observera att MATLAB inte klarar av att få fram lösningar som beror på parametrar.

11 Kapitel 2 Vektorer Inledning Vektorer är ett mycket viktigt begrepp inom fysik, mekanik och hållfasthetslära. Vektorer behövs också för att förstå komplexa tal, vilka geometriskt kan representeras som vektorer. Riktade sträckor Låt A och B vara två punkter i planet (eller i rummet). AB betecknar då den riktade sträckan från A till B. B A En riktad sträcka har: (1) riktning, (2) storlek (längd), (3) begynnelsepunkt Två riktade sträckor AB och CD säges vara ekvivalenta om de kan överföras i varandra genom parallellförskjutning. B D A C Vektorer En vektor u är mängden av alla riktade sträckor som är ekvivalenta med en given riktad sträcka AB. Varje riktad sträcka säges vara en representant för vektorn u. Om AB är en representant för u skriver man ofta u = AB. Nollvektorn 0 svarar mot att A = B, dvs AA. 11

12 12 KAPITEL 2. VEKTORER Två vektorer u och v som är lika riktade eller motsatt riktade kallas parallella (skrivs u v ). u v u v Summa av två vektorer Summan u + v av två vektorer definieras enligt figuren nedan. u + v v u Tag en representant för u och en representant för v som startar i spetsen på u. Den riktade sträckan som är markerad i figuren är då en representant för u + v. Alternativt kan addition definieras utgående från följande procedur. Avsätt u och v från samma punkt och konstruera en parallellogram. Diagonalen i parallellogramen är då en representant för u + v. v u + v u Multiplikation med tal (skalär) Låt λ R och u en vektor. (1) Om λ > 0 så är λu den vektor som är lika riktad som u och vars längd är λ gånger längden av u. (2) Om λ < 0 så är λu den vektor som är motsatt riktad som u och vars längd är λ gånger längden av u. (3) Om λ = 0 så är λu nollvektorn.

13 13 u 2u 1.5u Längden av en vektor u betecknas u och enligt definitionen av multiplikation med skalär λ har vi λu = λ u. Subtraktion Subtraktion u v definieras som addition av vektorn u och ( 1)v på följande sätt u v = u + ( 1)v. På samma sätt definieras den negativa vektorn v som ( 1)v. v v v u u u + v u v u Räknelagar för vektorer Följande räknelagar gäller för vektorer u + v = v + u kommutativa lagen u + (v + w) = (u + v) + w associativa lagen u + ( 1)u = 0 u + 0 = u λ(µu) = (λµ)u 1 u = u 0 u = 0 λ 0 = 0 (λ + µ)u = λu + µu distributiva lagen λ(u + v) = λu + λv distributiva lagen

14 14 KAPITEL 2. VEKTORER Observera att man utifrån definitionen av addition och multiplikation med tal måste bevisa dessa räknelagar innan vi accepterar dem och börjar räkna med dem. Bevisen för räknelagarna ges i Gunnar Sparrs bok sid 23. Exempel 2.1. Betrakta figuren nedan u w v Vektorn w kan skrivas som vektorn till spetsen minus vektorn till fotpunkten w = v u Vi har nämligen u + w = v w = v u Exempel 2.2. Låt M vara mittpunkten på sträckan AB och O en godtycklig punkt. A M B O Visa att OM = 1 (OA + OB) 2 Lösning: Vi har följande räkningar OM = OA + AM = OA AB = OA (OB OA) = 1 (OA + OB) 2 Här har vi använt att AB kan skrivas som OB OA (vektorn till spetsen minus vektorn till fotpunkten). Bas och koordinater Vi har infört vektorer och definierat räkneoperationer rent geometriskt. Vi ska nu översätta räkneoperationerna och räknelagarna till analytisk form, dvs till räkning med tal. Det senare visar sig vara mycket kraftfullt och användbart. För att kunna formulera räkneoperationer på analytisk form inför vi begreppen bas och koordinater. Vi behandlar vektorer i planet och i rummet var för sig. Vektorer i planet Låt e 1 och e 2 vara två icke-parallella vektorer i planet. Då kan varje vektor u i planet skrivas u = x 1 e 1 + x 2 e 2, där x 1 och x 2 entydigt bestämda tal.

15 15 Bevis: Börja med att bilda en parallellogram enligt figuren med u som diagonal och med sidor som är parallella med e 1 och e 2. Härigenom erhålles en uppdelning av u i en summa av två vektorer u = u 1 + u 2. u 2 u e 2 e 1 u 1 Eftersom u 1 och u 2 är parallella med e 1 respektive e 2 finns entydigt bestämda tal x 1 och x 2 sådana att u 1 = x 1 e 1 och u 2 = x 2 e 2. Vi har alltså att u = x 1 e 1 + x 2 e 2. e 1, e 2 säges vara en bas för vektorerna i planet. x 1, x 2 är koordinaterna för u i basen e 1, e 2. Då basen är fastlagd skriver man ofta u = (x 1, x 2 ) istället för u = x 1 e 1 +x 2 e 2. (x 1, x 2 ) kallas för ett talpar. Speciellt gäller att e 1 = (1, 0) och e 2 = (0, 1). Vektorer i rummet Låt e 1, e 2 och e 3 vara tre vektorer i rummet som inte ligger i ett plan. Då kan varje vektor u i rummet skrivas u = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, där x 1, x 2 och x 3 entydigt bestämda tal. Bevis: Börja med att bilda en parallellepiped enligt figuren med u som diagonal och med sidor som är parallella med e 1, e 2 och e 3. Härigenom erhålles en uppdelning av u i en summa av två vektorer u = u + u 3 (se figur). u 3 u u 2 e 2 e 3 u e 1 u 1 Då u ligger i planet som definieras av e 1 och e 2 finns enligt ovan entydigt bestämda tal x 1 och x 2 sådana att u = x 1 e 1 + x 2 e 2. Eftersom u 3 är parallell med e 3 finns också ett entydigt bestämt tal x 3 sådant att u 3 = x 3 e 3. Vi har alltså u = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3. e 1, e 2, e 3 säges vara en bas för vektorerna i rummet. x 1, x 2, x 3 är koordinaterna för u i basen e 1, e 2, e 3. Man skriver ofta u = (x 1, x 2, x 3 ) istället för u = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 (x 1, x 2, x 3 ) kallas för en taltrippel. Speciellt gäller att e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) och e 3 = (0, 0, 1).

16 16 KAPITEL 2. VEKTORER Räkneoperationer i koordinatform När man väl infört en bas kan man övergå till att räkna med talpar och taltripplar istället för med vektorer. Om u = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 och v = y 1 e 1 +y 2 e 2 +y 3 e 3 så gäller enligt räknelagarna för vektorer på sidan 6 att u + v = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 + y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3 = = (x 1 + y 1 )e 1 + (x 2 + y 2 )e 2 + (x 3 + y 3 )e 3 λu = λ(x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) = λx 1 e 1 + λx 2 e 2 + λx 3 e 3 Räkneoperationerna för vektorer övergår alltså i följande räkneoperationer för taltripplar u + v = (x 1, x 2, x 3 ) + (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) λu = λ(x 1, x 2, x 3 ) = (λx 1, λx 2, λx 3 ) Koordinatsystem I det tidigare avsnittet införde vi bas och koordinater för att kunna representera och räkna med vektorer. Vi går nu vidare och inför begreppet koordinatsystem för att kunna beskriva punkter och punktmängder. Speciellt skall vi titta på linjer och plan. Koordinatsystem i planet Fixera en punkt O, kallad origo, i planet. Mot varje punkt P svarar då en och endast en vektor u = OP. Vektorn OP kallas ortsvektorn för punkten P. För en given bas e 1, e 2 finns det då entydigt bestämda tal x 1, x 2 sådana att OP = x 1 e 1 + x 2 e 2 Oe 1 e 2 kallas ett koordinatsystem i planet. x 1, x 2 är koordinaterna för punkten P i koordinatsystemet Oe 1 e 2. Då koordinatsystemet är givet betecknas punkten ofta P : (x 1, x 2 ). Istället för e 1, e 2 använder man ofta e x, e y som beteckning för basvektorerna. Motsvarande koordinater betecknas då x och y. Linjen genom O med riktning e x kallas för x-axeln. Punkten med ortsvektor e x säges vara enhetspunkt längs x-axeln och har koordinaterna (1, 0). På samma sätt definieras y-axeln som linjen genom O med riktning e y. Enhetspunkten på y-axeln ges av e y och har koordinater (0, 1). I figurer brukar man markera axelriktningarna med pilar (ej basvektorerna) och markera enhetspunkterna. y u P (0, 1) O (1, 0) x Koordinatsystem i rummet Fixera en punkt O, kallad origo, i planet. Mot varje punkt P svarar då en och endast

17 17 en vektor u = OP. För en given bas e 1, e 2, e 3 finns det då entydigt bestämda tal x 1, x 2, x 3 sådana att OP = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 Oe 1 e 2 e 3 kallas ett koordinatsystem i rummet. x 1, x 2, x 3 är koordinaterna för punkten P i koordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3. Då koordinatsystemet är givet betecknas punkten ofta P : (x 1, x 2, x 3 ). Istället för e 1, e 2, e 3 använder man ofta e x, e y, e z som beteckning för basvektorerna. Motsvarande koordinater betecknas då x, y och z. På samma sätt som i planet pratar man om koordinataxlar och enhetspunkter. För koordinatsystem i rummet har man även koordinatplan; planet genom O som innehåller x- och y-axlarna kallas xy-planet, planet genom O som innehåller x- och z-axlarna kallas xz-planet och planet genom O som innehåller y- och z-axlarna kallas yz-planet. z y (0, 0, 1) (0, 1, 0) u (1, 0, 0) Exempel 2.3. Låt P : (x 1, y 1, z 1 ) och Q : (x 2, y 2, z 2 ) vara två punkter i rummet. Då är vektorn P Q = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). P x O Q Bevis: Vi skriver P Q med hjälp av ortsvektorerna P Q = OQ OP } {{ } spets minus fotpunkt = (x 2, y 2, z 2 ) (x 1, y 1, z 1 ) = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) Koordinatsystem i samhället Positioner i Sverige anges ofta med GPS koordinater (WGS) eller i förhållande till ett rikstäckande rätvinkligt plant koordinatsystem som kallas rikets triangelnät (RT90). En koordinat i rikets nät skrivs på formen x-koordinat y-koordinat där x-koordinaten växer mot norr och y-koordinaten åt öster. Rikets triangelnät håller successivt på att ersättas av SWEREF 99. På Eniros kartsida kan man genom att

18 18 KAPITEL 2. VEKTORER klicka på en godtycklig punkt få fram koordinaterna för denna. Se figuren nedan. Det finns mycket viktiga tillämpningar av koordinatgeometri inom olika samhällssektorer. Marknaden för positioneringstjänster växer mycket starkt och omsätter idag miljardbelopp! När Europa färdigställer Galileoprojektet kommer man att kunna positionerna sig på 1 cm när Detta kommer bland annat att användas av byggsektorn för att placera ut byggelement på rätt plats och ersätter på så sätt omständliga mätarbeten. Figur 2.1: Koordinater för ingångden till Kranen från Eniros kartor. SWEREF 99 koordinaterna är x = och y = Enheten för koordinaterna i SWEREF 99 är meter och givet koordinaterna för ett antal punkter kan man enkelt beräkna avstånd, se vidare kapitel 4. Linjärt beroende och linjärt oberoende Två vektorer u 1 och u 2 i planet som inte är parallella utgör en bas i planet. Tre vektorer u 1, u 2 och u 3 i rummet som inte ligger i ett plan utgör en bas i rummet. Ovanstående är geometriska villkor som är svåra att hantera praktiskt. Givet tre vektorer i rummet t.ex. u 1 = (1, 2, 1), u 2 = ( 1, 0, 2), u 3 = (1, 1, 3) finns där någon möjlighet att räkna fram om u 1, u 2, u 3 ligger i ett plan eller inte och därmed kunna avgöra frågan om de utgör en bas. Ja, det finns ett mycket enkelt sätt att göra detta via lösningen till ett linjärt ekvationssystem. Innan vi kommer dit skall vi införa lite användbara begrepp.

19 19 Linjärkombination w sägs vara en linjärkombination av u 1, u 2,..., u p om w = λ 1 u 1 + λ 2 u λ p u p för några tal λ 1, λ 2,..., λ p. Linjärt beroende och linjärt oberoende Vektorerna u 1, u 2,..., u p säges vara linjärt beroende om någon eller några av dem är en linjärkombination av de övriga. Vektorerna u 1, u 2,..., u p säges vara linjärt oberoende om ingen av dem är en linjärkombination av de övriga. Exempel 2.4. Vektorerna u 1 = (1, 2, 1), u 2 = ( 1, 0, 2), u 3 = (5, 4, 4) är linjärt beroende ty u 3 kan till exempel skrivas som en linjärkombination av u 1 och u 2 på följande sätt u 3 = 2u 1 3u 2 vilket verifieras genom räkningarna Bassatsen 2u 1 3u 2 = 2(1, 2, 1) 3( 1, 0, 2) = (2, 4, 2) + (3, 0, 6) = (5, 4, 2) = u 3 Två vektorer u 1 och u 2 i planet är en bas (dvs de är icke-parallella) om och endast om de är linjärt oberoende. Om u 1 och u 2 är linjärt beroende då är de parallella och utgör ingen bas. Fler än två vektorer i planet är alltid linjärt beroende. Tre vektorer u 1, u 2 och u 3 i rummet är en bas (dvs de ligger inte i ett plan) om och endast om de är linjärt oberoende. Om u 1, u 2 och u 3 är linjärt beroende så ligger de i ett plan och utgör ingen bas. Fler än tre vektorer i rummet är alltid linjärt beroende. Frågan om vektorer är linjärt beroende eller linjärt oberoende och kan utgöra en bas avgörs enklast utifrån följande sats. Sats Om ekvationen λ 1 u 1 + λ 2 u λ p u p = 0 är uppfylld för några tal λ 1, λ 2,..., λ p, där minst ett är skilt från noll, så är u 1, u 2,..., u p linjärt beroende. Om ekvationen Om ekvationen λ 1 u 1 + λ 2 u λ p u p = 0 endast är uppfylld för λ 1 = λ 2 =... = λ p = 0, så är u 1, u 2,..., u p linjärt oberoende. Exempel 2.5. Låt en bas i rummet vara given. Vektorerna u 1, u 2, u 3 har koordinaterna u 1 = (1, 2, 2), u 2 = ( 2, 3, 1), u 3 = ( 1, 3, 2).

20 20 KAPITEL 2. VEKTORER Är u 1, u 2, u 3 linjärt oberoende? Bildar de en bas? Vi använder satsen ovan λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = 0 λ 1 (1, 2, 2) + λ 2 ( 2, 3, 1) + λ 3 ( 1, 3, 2) = (0, 0, 0) Vi får en ekvation för första koordinaten, en för andra koordinaten och en för tredje koordinaten λ 1 2λ 2 λ 3 = 0 λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = 0 2λ 1 + 3λ 2 + 3λ 3 = 0 λ 1 2λ 2 λ 3 = 0 λ 2 + λ 3 = 0 5λ 2 + 4λ 3 = 0 2λ 1 + λ 2 + 2λ 3 = 0 λ 1 2λ 2 λ 3 = 0 λ 2 + λ 3 = 0 9λ 3 = 0 λ 1 = 0 λ 2 = 0 λ 3 = 0 Vektorerna är linjärt oberoende och bildar enligt bassatsen en bas. Exempel 2.6. Uttryck vektorn w = (1, 2, 0) i basen u 1 = (1, 2, 2), u 2 = ( 2, 3, 1), u 3 = ( 1, 3, 2) ovan. För att uttrycka w i basen u 1, u 2, u 3 skall bestämma x 1, x 2, x 3 så att Vi har w = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 w = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 (1, 2, 1) = x 1 (1, 2, 2) + x 2 ( 2, 3, 1) + x 3 ( 1, 3, 2) Vi får en ekvation för första koordinaten, en för andra koordinaten och en för tredje koordinaten x 1 2x 2 x 3 = 1 w = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 2 x 1 2x 2 x 3 = 1 x 2 + x 3 = 4 5x 2 + 4x 3 = 1 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 1 x 1 2x 2 x 3 = 1 x 2 + x 3 = 4 9x 3 = 19 x 1 = 2/3 x 2 = 17/9 x 3 = 19/9 Exempel 2.7. Låt en bas i rummet vara given. Vektorerna u 1, u 2, u 3 har koordinaterna u 1 = (1, 2, 1), u 2 = (2, 3, 2), u 3 = (1, 3, 1). Är u 1, u 2, u 3 linjärt oberoende? Bildar de en bas? Vi använder satsen ovan λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = 0 λ 1 (1, 2, 1) + λ 2 (2, 3, 2) + λ 3 (1, 3, 1) = (0, 0, 0) Vi får en ekvation för första koordinaten, en för andra koordinaten och en för tredje koordinaten λ 1 + 2λ 2 + λ 3 = 0 λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = 0 2λ 1 + 3λ 2 + 3λ 3 = 0 λ 1 2λ 2 λ 3 = 0 λ 1 2λ 2 + λ 3 = 0 λ 2 + λ 3 = 0 0 = 0 Ekvationen har oändligt många lösningar skilda från λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0. Vektorerna är linjärt beroende och bildar ingen bas.

21 Kapitel 3 Linjer och plan Ekvation för linje i planet Vi antar att vi har infört ett koordinatsystem Oe x e y. En linje L är entydigt bestämd om vi känner en av dess punkter P 0 : (x 0, y 0 ) och om vi vet att linjen är parallell med en given vektor v = (α, β) (linjens riktningsvektor). En godtycklig punkt P : (x, y) ligger på linjen om och endast om P 0 P är parallell med riktningsvektorn v, dvs om P 0 P = t v för något tal t R. O L P : (x, y) P 0 : (x 0, y 0 ) v = (α, β) Vi skriver P 0 P med hjälp av ortsvektorerna (spets minus fotpunkt) och har P 0 P = OP OP 0 = tv (x x 0, y y 0 ) = t(α, β) Ekvationen ovan är linjens ekvation på så kallad parameterform. Ekvationen skrivs ofta på följande sätt { x = x0 + αt y = y 0 + βt där t R. Då vi sätter in ett värde på t hamnar vi i en punkt på linjen. Omvänt så svarar varje punkt på linjen mot ett t. Linjens ekvation på parameterform är ett annat sätt att beskriva linjen än genom y = kx + m (affin form) som vi är vana vid. Man kan omvandla mellan de två beskrivningarna och vi återkommer till det i exempel 3.1. Ekvation för linje i rummet Beskrivningen av en linje i rummet skiljer sig inte från beskrivningen i planet. Vi antar att vi har infört ett koordinatsystem Oe x e y e z. En linje L är entydigt bestämd om vi känner en av dess punkter P 0 : (x 0, y 0, z 0 ) och om vi vet att linjen är parallell med en given vektor v = (α, β, γ) (linjens riktningsvektor). En godtycklig punkt P : (x, y, z) ligger på linjen om och endast om P 0 P är parallell med riktningsvektorn 21

22 22 KAPITEL 3. LINJER OCH PLAN v, dvs om P 0 P = t v för något tal t R. Vi skriver P 0 P med hjälp av ortsvektorerna (spets minus fotpunkt) och har P 0 P = OP OP 0 = tv (x x 0, y y 0, z z 0 ) = t(α, β, γ) Ekvationen ovan är linjens ekvation på så kallad parameterform. Ekvationen skrivs ofta på följande sätt x = x 0 + αt y = y 0 + βt z = z 0 + γt där t R. I rummet är parameterformen den enda möjliga beskrivningen av linjen och det finns ingen affin form. Exempel 3.1. Ange en ekvation på parameterform för linjen L genom punkterna P : (1, 0) och Q : (2, 2). Skriv sedan om ekvationen på affin form. Lösning: En riktningsvektor för linjen ges av P Q = OQ OP = (2, 2) (1, 0) = (1, 2) Eftersom L går genom P : (1, 0) blir linjens ekvation { x = 1 + t t R y = 0 + 2t För att skriva om linjen på affin form ax + by + c = 0 gör vi på följande sätt { x = 1 + t y = 0 + 2t { t = x 1 t = y/2 y/2 = x 1 2x y 2 = 0 I analytisk geometri skriver man ofta linjer på formen ax + by + c = 0 snarare än y = kx + m. Den första formen har vissa fördelar som vi kommer till. Exempel 3.2. Linjen L har ekvationen x 3y + 3 = 0 i affin form. Skriv om ekvationen på parameterform och bestäm linjens riktningsvektor. Lösning: Vi sätter y = t och uttrycker x med hjälp av t { x = 3y 3 = 3 + 3t x 3y + 3 = 0 y = t { x = 3 + 3t y = 0 + t Linjen har riktningsvektorn v = (3, 1) och går genom punkten ( 3, 0). Exempel 3.3 Vi har två linjer L 1 : (x, y) = (1, 2) + s( 2, 3) och L 2 : (x, y) = (2, 4) + t(1, 2). Bestäm skärningspunkten mellan linjerna. Lösning: I ekvationerna för linjerna står s och t för tal. Dessa tal är olika för de två linjerna och därför betecknar vi dem med olika bokstäver. Linjerna skär varandra precis då koordinaterna är lika 1 2s = 2 + t x-koordinaterna lika 2 + 3s = 4 + 2t y-koordinaterna lika Vi flyttar över allt med s och t till vänsterledet och löser ekvationssystemet med Gausselimination { { 2s t = 1 2s t = 1 3s 2t = 6 7t = 15

23 23 Vi har t = 15/7 och s = 4/7. Då vi sätter in s i ekvationen för L 1 får vi att detta motsvarar punkten (x, y) = ( 1/7, 2/7) vilken är skärningspunkten. Vi får samma punkt om vi sätter in t = 15/7 i ekvationen för L 2. Exempel 3.4. Ange en ekvation på parameterform för linjen L som går genom punkterna P : (3, 6, 5) och Q : (4, 3, 3). Lösning: En riktningsvektor för L ges av P Q = OQ OP = (4, 3, 3) (3, 6, 5) = (1, 3, 2) Eftersom L går genom P : (3, 6, 5) blir linjens ekvation x = 3 + t y = 6 + 3t z = 5 + 2t t R Exempel 3.5. Linjen L ges av ekvationen x = 3 + t y = 6 + 3t z = 5 + 2t t R (a) Ligger punkten (2, 8, 7) på linjen? (b) Ligger punkten (4, 3, 3) på linjen? Lösning: (a) (2, 8, 7) ligger på linjen om och endast om det finns ett t sådant att 2 = 3 + t 8 = 6 + 3t 7 = 5 + 2t Vi har 2 = 3 + t 8 = 6 + 3t 7 = 5 + 2t t = 1 t = 2/3 t = 1 Ekvationerna ger olika värden på t vilket säger att punkten inte ligger på linjen. (b) (4, 3, 3) ligger på linjen om och endast om det finns ett t sådant att 4 = 3 + t 3 = 6 + 3t 3 = 5 + 2t Vi har 4 = 3 + t 3 = 6 + 3t 3 = 5 + 2t t = 1 t = 1 t = 1 Punkten ligger på linjen och motsvarar parametervärdet t = 1.

24 24 KAPITEL 3. LINJER OCH PLAN Ekvation för plan i rummet Antag att vi har infört ett koordinatsystem Oe x e y e z. Ett plan π är entydigt bestämd om vi känner en av dess punkter P 0 : (x 0, y 0, z 0 ) och om vi vet att planet är parallell med två givna vektorer v 1 = (α 1, β 1, γ 1 ) och v 2 = (α 2, β 2, γ 2 ) (planets riktningsvektorer). En godtycklig punkt P : (x, y, z) ligger i planet om och endast om P 0 P kan skrivas som en kombination av riktningsvektorerna, dvs om P 0 P = t 1 v 1 + t 2 v 2 för några tal t 1, t 2 R. v 2 P : (x, y, z) P 0 : (x, y, z) v 1 O Vi skriver P 0 P med hjälp av ortsvektorerna (spets minus fotpunkt) och har P 0 P = OP OP 0 = t 1 v 1 + t 2 v 2 (x x 0, y y 0, z z 0 ) = t 1 v 1 + t 2 v 2 (x x 0, y y 0, z z 0 ) = t 1 (α 1, β 1, γ 1 ) + t 2 (α 2, β 2, γ 2 ) Ekvationen ovan är planets ekvation på så kallad parameterform. Ekvationen skrivs ofta på följande sätt x = x 0 + α 1 t 1 + α 2 t 2 y = y 0 + β 1 t 1 + β 2 t 2 z = z 0 + γ 1 t 1 + γ 2 t 2 där t 1, t 2 R. Då vi sätter in värde på t 1 och t 2 hamnar vi i en punkt i planet. Omvänt så svarar varje punkt i planet mot bestämda värden på t 1 och t 2. Planets ekvation kan också beskrivas som ax + by + cz + d = 0 (affin form). Exempel 3.6. Ange en ekvation på parameterform för planet π genom punkterna P : (1, 2, 0), Q : (0, 1, 1), R : (2, 1, 3). Skriv även planets ekvation på affin form. Lösning: Vi bestämmer två riktningsvektorer (andra riktningsvektorer är möjliga). v 1 = P Q = OQ OP = ( 1, 1, 1) v 2 = P R = OR OP = (1, 3, 3) Eftersom planet går genom P 0 : (1, 2, 0) är x = 1 t 1 + t 2 y = 2 t 1 3t 2 z = 0 + t 1 3t 2 där t 1, t 2 R. För att skriva om planet på affin form ax + by + cz + d = 0 gör vi på följande sätt x = 1 t 1 + t 2 y = 2 t 1 3t 2 z = 0 + t 1 3t 2 t 1 + t 2 = x 1 4t 2 = x + y 1 2t 2 = x + z 1 t 1 + t 2 = x 1 t 1 3t 2 = y 2 t 1 3t 2 = z t 1 + t 2 = x 1 4t 2 = x + y 1 0 = 3x + y 2z + 1

25 25 Eftersom man alltid kan välja t 1 och t 2 så att ekvation 1 och 2 blir uppfyllda så tillhör punkten (x, y, z) planet om och endast om ekvationen 3x y + 2z 1 = 0 är uppfylld. Exempel 3.7. Bestäm skärningspunkten mellan linjen L och planet π x = 3 + t 1 x = 1 t 2 + t 3 L : y = 6 + 3t 1 π : y = 2 t 2 3t 3 z = 5 + 2t 1 z = 0 + t 2 3t 3 Lösning: I skärningspunkten skall x, y, z värdena vara lika dvs 3 + t 1 = 1 t 2 + t t 1 = 2 t 2 3t t 1 = 0 + t 2 3t 3 t 1 + t 2 t 3 = 2 3t 1 + t 2 + 3t 3 = 8 2t 1 t 2 + 3t 3 = 5 Då vi löser ekvationssystemet med Gausselemination får vi t 1 = 1, t 2 = 2, t 3 = 3. Genom att sätta in t 1 = 1 i ekvationen för L så får vi skärningspunkten (x, y, z) = (2, 9, 7). Vi får samma punkt om vi sätter in t 2 = 2, t 3 = 3 i ekvationen för π. Exempel 3.8. Bestäm ekvationen för skärningslinjen mellan planen 2x+y 3z 5 = 0 och x + 2y z 4 = 0. Lösning: Punkterna på skärningslinjen ligger i bägge planen, dvs de uppfyller båda ekvationerna samtidigt { 2x + y 3z = 5 { 2x + y 3z = 5 x + 2y z = 4 3y z = 3 Vi sätter z = t och uttrycker x och y med hjälp av t x = 2 + 5t/3 y = 1 t/3 z = 0 + t Skärningslinjen beskrivs alltså av en linje genom punkten P : (2, 1, 0) med riktningsvektor v = (5/3, 1/3, 1).

26 26 KAPITEL 3. LINJER OCH PLAN

27 Kapitel 4 Skalärprodukt Skalärprodukten mellan två vektorer u och v betecknas med u v och ges av u v = u v cos(θ) där θ är vinkeln mellan vektorerna. Om u v = 0 så är vektorerna vinkelräta (ortogonala) vilket ofta skrivs u v. v θ u Exempel 4.1. Skalärprodukt har en mängd tillämpningar inom teknik och naturvetenskap. Vi ska använda begreppet för att beräkna arbetet en kraft utför vid en förflyttning. En släde dras 2 m längs ett plan med en kraft F = 100 N som bildar vinkeln 60 o med planet. Vilket arbete har kraften utfört? F θ = 60 o r Lösning: Vi betecknar kraftvektorn med F och förflyttningsvektorn med r då ges arbetet av W = F r = F r cos 60 o = = 60. Annorlunda uttryckt har vi att arbetet fås genom att ta kraftkomponenten i rörelseriktningen F cos 60 o och multiplicera med förflyttningen r. 27

28 28 KAPITEL 4. SKALÄRPRODUKT Projektion Med hjälp av skalärprodukten kan man beräkna projektionen av en vektor på en annan vektor. Detta är mycket användbart och vi kommer att använda det då vi ska titta på avstånd mellan olika geometriska objekt. u u v Vi har beteckningar enligt figuren ovan. Vektorn u säges vara den ortogonala (vinkelräta) projektionen av u på v. Alternativt kan vi säga att u är komposanten av u längs v. Vektorn u fås genom u = u v v 2 v. Notera strukturen på formeln. u v v 2 v för att få projektionen u. är ett tal. Detta tal multipliceras med vektorn Bevis: Låt e vara en vektor som är lika riktad med v och med längden 1. En sådan vektor fås som e = v/ v. Vi har nu u = u cos θ e Vi förlänger med v och använder att e = v/ v vilket ger u = u v cos θ v 2 v = u v v 2 v. Räknelagar för skalärprodukt Vi har följande räknelagar för skalärprodukt u u = u 2 u v = v u (u 1 + u 2 ) v = u 1 v + u 2 v (λ u) v = λ (u v) u (v 1 + v 2 ) = u v 1 + u v 2 u (λ v) = λ (u v) För bevis se Sparrs bok sid 66. Räknelagarna för skalärprodukt liknar lagarna som styr räkning med vanliga tal varför vi kan utföra räkningar på samma sätt som vi är vana vid. Exempel 4.2.

29 29 (u + v)(u + v) = u u + u v + v u + v v = u u v + v 2 (u + v)(u v) = u u u v + v u v v = u 2 v 2 Exempel 4.3. Vi ska uttrycka längden av en av sidorna i triangeln med hjälp av längderna för de två övriga sidorna och cosinus för mellanliggande vinkel. θ v u u v u v 2 = (u v) (u v) = u u 2 u v v v = = u 2 + v 2 2 u v = u 2 + v 2 2 u v cos θ Resultat är känt som cosinussatsen och kan ses som en generalisering av Pythagoras sats. Exempel 4.4. Vi har en parallellogram enligt figuren. Vi ska visa den så kallade diagonalsatsen för parallellogrammer, vilken säger att summan av de kvadratiska diagonallängderna är lika med två gånger summan av de kvadratiska kantlängderna. u u v u + v v u + v 2 + u v 2 = (u + v) (u + v) + (u v) (u v) = u u + 2 u v + v v + u u 2 u v + v v = 2 u u + 2 v v = 2 ( u 2 + v 2 ) Ortonormerad bas (ON-bas) Låt e 1, e 2, e 3 vara en bas i rummet. Basen säges vara ortonormerad om basvektorerna är vinkelräta och har längden 1, dvs om e 1 e 2 = e 1 e 3 = e 2 e 3 = 0 e 1 = e 2 = e 3 = 1 Ovanstående relationer skriver man ibland e i e j = δ ij, i, j = 1, 2, 3

30 30 KAPITEL 4. SKALÄRPRODUKT där δ ij är Kroneckers delta som har egenskapen att det är 1 då i och j är lika och är 0 då i och j är olika. e 2 e 1 e 3 Ortonormerade baser (ON-baser) har många bra egenskaper som vi ska utnyttja i nästa avsnitt. Skalärprodukt i koordinatform (ON-bas) Vi ska nu ta fram ett uttryck för skalärprodukten i koordinatform. Låt för den sakens skull e 1, e 2, e 3 vara en ON-bas i rummet och låt u = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, v = y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3 Räknereglerna för skalärprodukt ger u v = (x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) (y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3 ) = x 1 y 1 e 1 e } {{ } 1 +x 1 y 2 e 1 e 2 +x } {{ } 1 y 3 e 1 e 3 + } {{ } x 2 y 1 e 2 e } {{ } 1 +x 2 y 2 e 2 e 2 +x } {{ } 2 y 3 e 2 e 3 + } {{ } x 3 y 1 e 3 e 1 = +x 3 y 2 e 3 e } {{ } 2 0 } {{ } 0 = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 +x 3 y 3 e 3 e 3 } {{ } 1 Vi kan alltså beräkna skalärprodukten u v på två sätt. Genom längderna och vinkeln u v = u v cos θ eller genom att använda koordinaterna u v = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Med u = v fås ett uttryck för längden i kvadrat u 2 = u u = x x x 2 3. Vi känner igen det sista uttrycket som Pythagoras sats i rummet. I de följande övningarna antar vi att vi har en ON-bas. Exempel 4.5. Betrakta två punkter P : (x 1, x 2, x 3 ), Q : (y 1, y 2, y 3 ).

31 31 Q : (x, y, z) O P : (x, y, z) Avståndet mellan punkterna fås som längden av vektorn P Q = OQ OP = (y 1 x 1, y 2 x 2, y 3 x 3 ) Vi har P Q = (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 + (y 3 x 3 ) 2 Exempel 4.6. Bestäm vinkeln mellan vektorerna u = (1, 3) och v = (2, 1). Lösning: Vi skriver skalärprodukten med hjälp av längder och vinklar u v = u v cos θ = cos θ = 10 5 cos θ och med hjälp av koordinater u v = = 5 Detta ger cos θ = 5 = 1 θ = arccos 1 = π/ Exempel 4.7. Vi har två vektorer enligt figuren u = (1, 2, 3) u v = ( 1, 2, 4) Vi ska bestämma den ortogonala projektionen u. Lösning: Enligt tidigare fås projektionen som u = u v v 2 v = 1 ( 1) ( 1) ( 1, 2, 4) = ( 1, 2, 4) Exempel 4.8. Skalärprodukten kan användas för att härleda de trigonometriska additionsformlerna. Vi har två enhetsvektorer (längd 1) u och v som bildar vinkeln α, resp. β med basvektorn e 1 (se figur).

32 32 KAPITEL 4. SKALÄRPRODUKT u e 2 α β v e 1 u och v kan skrivas u = (cos α, sin α), v = (cos β, sin β) Vi skriver skalärprodukten u v med hjälp av längder och vinklar u v = u v cos(α β) = cos(α β) }{{} }{{} 1 1 och med hjälp av koordinater u v = cos α cos β + sin α sin β. Detta ger additionsformeln för cosinus cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β. Ekvationer för linjer med hjälp av skalärprodukt Vi antar att vi har en ON-bas e x, e y i planet. Låt L vara en linje i planet och låt P 0 : (x 0, y 0 ) vara en punkt på linjen. Låt vidare n = (a, b) vara en normalvektor, dvs en vektor som är vinkelrät mot linjen. n = (a, b) L P 0 P P 0 : (x 0, y 0 ) P : (x, y) En punkt P : (x, y) ligger på linjen om och endast om vektorn P 0 P = (x x 0, y y 0 ) är vinkelrät mot normalvektorn n. Detta ger n P 0 P = a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = ax + by ax 0 by } {{ } 0 = 0. c Vi kallar ax 0 by 0 för c och får ax + by + c = 0. Detta är linjens ekvation på affin form. Med hjälp av skalärprodukten har vi nu alltså fått en geometrisk tolkning av ekvationen.

33 33 Exempel 4.9. Bestäm ekvationen för linjen L som går genom punkten (1, 1) och som är vinkelrät mot vektorn (2, 3). Lösning: Normalvektorn ges av n = (2, 3) och punkt på linjen P 0 : (1, 1). Insättning i ekvationen ger 2(x 1) + 3(y ( 1)) = 0 2x + 3y + 1 = 0 Exempel Bestäm vinkeln mellan de två linjerna L 1 : 2x + 3y 5 = 0 och L 2 : 3x y + 6 = 0. Lösning: Vinkeln mellan linjerna är lika med vinkeln mellan linjernas normalvektorer. Normalvektorerna fås genom att avläsa koefficienten framför x och y. Normalvektorn för första linjen är n 1 = (2, 3) och normalvektorn för andra linjen är n 2 = (3, 1). Vi uttrycker skalärprodukten n 1 n 2 med hjälp av längder och vinklar n 1 n 2 = n 1 n 2 cos θ = ( 1) 2 cos θ = cos θ och med koordinater Detta ger n 1 n 2 = ( 1) = 3 cos θ = 3 3 θ = arccos Ekvationer för plan med hjälp av skalärprodukt Vi antar att vi har en ON-bas e x, e y, e z i rummet. Låt π vara ett plan i rummet och låt P 0 : (x 0, y 0, z 0 ) vara en punkt i planet. Låt vidare n = (a, b, c) vara en normalvektor, dvs en vektor som är vinkelrät mot planet. n = (a, b, c) P 0 P P : (x, y, z) P 0 : (x 0, y 0, z 0 ) π En punkt P : (x, y, z) ligger i planet om och endast om vektorn P 0 P = (x x 0, y y 0, z z 0 ) är vinkelrät mot normalvektorn n. Detta ger n P 0 P = a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = ax + by + cy ax 0 by 0 cz } {{ } 0 = 0. d Vi kallar ax 0 by 0 cz 0 för d och får ax + by + cz + d = 0.

34 34 KAPITEL 4. SKALÄRPRODUKT Detta är planets ekvation på affin form. Med hjälp av skalärprodukten har vi nu fått en geometrisk tolkning även av denna ekvation. Exempel Bestäm en ekvation för planet π som går genom punkten (1, 1, 2) och som är vinkelrät mot linjen L x = 1 + 3t y = 3 + 2t z = 2 t Lösning: Linjens riktningsvektor v = (3, 2, 1) blir normalvektor till planet. P 0 : (1, 1, 2) punkt i planet. Vi har alltså 3(x 1) + 2(y ( 1)) 1(z 2) = 0 3x + 2y z + 1 = 0 Exempel Bestäm vinkeln mellan planen π 1 : 2x + y + z + 3 = 0 π 2 : x + y 2 = 0 Lösning: Vinkeln mellan planen är lika med vinkeln mellan planens normalvektorer. Normalvektorerna fås genom att avläsa koefficienten framför x, y och z. Normalvektorn för första linjen är n 1 = ( 2, 1, 1) och normalvektorn för andra linjen är n 2 = ( 1, 1, 0). Vi uttrycker skalärprodukten n 1 n 2 med hjälp av längder och vinklar n 1 n 2 = n 1 n 2 cos θ = ( 2) ( 1) cos θ = 6 2 cos θ och med koordinater Detta ger n 1 n 2 = 2 ( 1) = 3 cos θ = = θ = arccos 2 = π 6 Komposantuppdelning Vi ska se hur man kan använda skalärprodukt för dela upp vektorer i komposanter. Detta har stora tillämpningar inom tex fysik där man ofta delar upp krafter på detta sätt. Uppdelning längs en linje i planet Låt L vara en linje i planet. Varje vektor v kan då skrivas v = v 1 + v 2 där v 1 är parallell och v 2 är vinkelrät mot linjen. Vi säger att v 1 är komposanten på linjen och v 2 är komposanten vinkelrät mot linjen.

35 35 n v 2 v L v 1 Enligt projektionsformeln på sidan 16 kan vi få v 2 genom att projicera v på linjens normalvektor n v 2 = v n n 2 n v 1 fås sedan som v v 2. Uppdelning längs ett plan i rummet Låt π vara ett plan i rummet. Varje vektor v kan då skrivas v = v 1 + v 2 där v 1 är parallell och v 2 är vinkelrät mot planet. Vi säger att v 1 är komposanten i planet och v 2 är komposanten vinkelrät mot planet. n v 2 v π v 1 På samma sätt som ovan fås v 2 genom att projicera v på planets normalvektor n v 2 = v n n 2 n v 1 beräknas sedan som v 1 = v v 2. Exempel Vi har ett plan x 2y + z + 3 = 0. Dela upp vektorn v = (1, 2, 1) i komposanter. Lösning: Planets normalvektor n = (1, 2, 1). Komposanten längs normalvektorn ges av v 2 = v n ( 2) + ( 1) 1 n = n ( 2) (1, 2, 1) = ( 2 3, 4 3, 2 3 ) Komposanten i planet ges av v 1 = v v 2 = (1, 2, 1) + ( 2 3, 4 3, 2 3 ) = (5 3, 2 3, 1 3 )

36 36 KAPITEL 4. SKALÄRPRODUKT Avstånd mellan punkt och linje och mellan punkt och plan Komposantuppdelning ger en mycket enkel metod för att beräkna avstånd från en punkt till en linje respektive till ett plan. Vi visar metoden med två exempel. I Sparrs bok härleds explicita formler för avståndet som man alternativt skulle kunna använda. Exempel Bestäm avståndet från P : (0, 6, 3) till linjen given av x = 2 t y = 1 + 2t z = 2t Lösning: Punkten P 0 : (2, 1, 0) ligger på linjen. Linjens riktningsvektor v = ( 1, 2, 2). Enligt figuren fås avståndet mellan punkten och linjen som längden av vektorn u 2. P : (0, 6, 3) u u 2 v = ( 1, 2, 2) u 1 L P 0 : (2, 1, 0) Vektorn från P 0 till P beräknas genom u = P 0 P = (0, 6, 3) (2, 1, 0) = ( 2, 5, 3) Vektorn u 1 fås genom att projicera på linjens riktningsvektor v u 1 = u v v 2 2 ( 1) ( 2) v = ( 1) ( 2) 2 ( 1, 2, 2) = ( 2, 4, 4) Komposanten vinkelrät mot linjen ges av u 2 = u u 1 = ( 2, 5, 3) ( 2, 4, 4) = (0, 1, 1) För att få avståndet tar vi slutligen längden av vektorn u 2 u 2 = = 2 Exempel Bestäm avståndet från punkten P : (1, 2, 3) till planet 3x + 2y z + 1 = 0 Lösning: Vi börjar med att bestämma en punkt P 0 som ligger i planet. Vilken punkt som helst duger. Enklast får man fram en punkt genom att sätta x = y = 0 och sedan bestämma z så att planets ekvation är uppfylld. Då vi gör detta ser vi att P 0 : (0, 0, 1) är en punkt i planet. En normalvektor till planet ges av n = (3, 2, 1). Vektorn v 2 fås genom att projicera v = P 0 P på normalvektorn. Det sökta avståndet är längden av v 2.

37 37 n = (3, 2, 1) P : (1, 2, 3) v 2 v π P 0 : (0, 0, 1) v 1 Vi utför räkningarna v = P 0 P = (1, 2, 3) (0, 0, 1) = (1, 2, 2) Den projicerade vektorn blir v 2 = v n n 2 n = ( 1) ( 1) 2 (3, 2, 1) = 3 (3, 2, 1) 14 Längden av v ( 1) 2 = 3 14 Tillämpningar Exempel Åke pendlar varje dag med tåg till Byggingenjörsutbildningen. Han vill ta reda på fågelavståndet mellan Kranen och Centralstationen. För den sakens skull går han in på Eniros kartor och använder funktionen GPS-koordinat. Åke tar fram SWEREF99 koordinaten för stationen. Denna är P : ( , ) där enheten är meter. Åke tar också fram koordinaten för ingången till Kranen och denna är Q : ( , ). Åke drar sig till minnes exempel 4.5 i föreläsningsanteckningarna och beräknar avståndet P Q med Pythagoras sats P Q = ( ) 2 + ( ) 2 = Avståndet är alltså lite drygt 1 km.

38 38 KAPITEL 4. SKALÄRPRODUKT Figur 4.1: Koordinater för Centralstationen i SWEREF99 P : ( , ). Koordinaterna för ingången till Kranen är Q : ( , ). Avståndet mellan Centralen och Kranen kan beräknas med Pythagoras sats.

39 39 Exempel Åke har nu fått jobb på en konsultfirma och sitter och häckar framför datorn när chefen kommer in och skriker att han behöver kontrollera att platsen för planerat vindkraftverk inte ligger för nära en större väg. Där ska vara minst 400 meters avstånd för att eventuell is från rotorbladen inte skall kunna slungas iväg och träffa bilar. Fixa detta ryter chefen. Lugn, säger Åke. Det behövs bara tre knapptryckningar på Eniros kartor så är det klart! Hur tänkte Åke? Figur 4.2: E22 söder om Lund där platsen för vindkraftverket är markerat.

40 40 KAPITEL 4. SKALÄRPRODUKT Figur 4.3: E22 söder om Lund där platsen för vindkraftverket är markerat. Åke satte ut tre punkter P, Q och R. Åke såg sedan vägen som en linje med riktningsvektorn v = P Q. Han projicerade vektorn u = P R på v och räknade ut komposanten längs vägen u 1 = u v v 2 v Komposanten vinkelrät mot vägen är då u 2 = u u 1 Längden av u 2 är kortaste avståndet mellan vindkraftverket och vägen. Åke fick följande SWEREF99 koordinater P : ( , ), Q : ( , ), R : ( , ) och matade in det i MATLAB på följande sätt P = [ , ]; Q = [ , ]; R = [ , ]; v = Q - P; u = R - P; u1 = (dot(u,v)/dot(v,v))*v; u2 = u - u1; avstand = sqrt(dot(u2,u2)) Resultatet blev avstand = Aj, aj sa Åke, vindkraftverket ligger för nära vägen. Nu blir chefen inte glad.

41 Kapitel 5 Vektorprodukt Vektorprodukt är ett användbart begrepp inom vektorgeometrin. Det finns även en mängd olika tillämpningar inom fysik och teknik. Orientering Givet två vektorer v 1 och v 2 i ett plan kan vi välja en tredje v 3 på två olika sätt illustrerat i figuren v 3 v 2 v 2 v 1 v 1 v 3 Vektorerna v 1, v 2, v 3 i figuren till vänster säges vara negativt orienterade och bildar ett så kallat vänstersystem. Vektorerna v 1, v 2, v 3 i figuren till höger säges vara positivt orienterade och bildar ett så kallat högersystem. Man kan även definiera orientering på följande ekvivalenta sätt: vektorerna v 1, v 2, v 3 är positivt orienterade om vridningen som överför v 1 i v 2 :s riktning syns vara moturs (positiv) från spetsen i v 3. Om vridningen som syns vara medurs (negativ) så är v 1, v 2, v 3 negativt orienterade. Vektorprodukt Låt u och v vara två vektorer i rummet. Vektorprodukten u v är en vektor sådan att 1. u v = u v sin θ 2. u v är ortogonal mot både u och v 3. u, v, u v positivt orienterade 41

42 42 KAPITEL 5. VEKTORPRODUKT u v v 2 v 1 θ v u Exempel 5.1. Låt A(u, v) beteckna arean av parallellogrammen. v h θ u Då gäller A(u, v) = u v sin θ = u v } {{ } h Exempel 5.2. En partikel med laddning q rör sig med hastighet v i ett magnetfält B. Partikeln påverkas då av en kraft F = q v B Exempel 5.3. En kraft angriper en kropp i en punkt P. F O r P θ Kraften utövar ett vridmoment M = r F med avseende på O. Då man tittar på vridmomentet är det kraftkomponenten vinkelrät mot r som är intressant. Den som är bilintresserad känner igen begreppet vridmoment från specifikationer av motoregenskaper. Räknelagar Vi har följande räknelagar för vektorprodukt. Notera att dessa lagar skiljer sig från de som vi är vana vid från räkning med tal.

43 43 1. u u = 0 2. u v = v u 3. (u 1 + u 2 ) v = u 1 v + u 2 v 4. (λu) v = λ(u v) 5. u (v 1 + v 2 ) = u v 1 + u v 2 6. u (λv) = λ(u v) Exempel 5.4. (u + v) (u v) = u u u v + v u v v = 2u v } {{ } } {{ } } {{ } 0 u v 0 Vektorprodukt i högerorienterade ortonormerade baser (HONbaser) Låt e 1, e 1, e 1 vara en ortonormerad bas som dessutom är positivt orienterad. Från definitionen av vektorprodukt följer e 1 e 2 = e 3 e 2 e 1 = e 3 e 2 e 3 = e 1 e 3 e 2 = e 1 e 3 e 1 = e 2 e 1 e 3 = e 2 Låt e 1 e 1 = e 2 e 2 = e 3 e 3 = 0 u = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, v = y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3 Räknereglerna för vektorprodukt ger u v = (x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) (y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3 ) = x 1 y 1 e 1 e } {{ } 1 0 +x 2 y 1 e 2 e 1 } {{ } +x 1 y 2 e 1 e 2 } {{ } +x 2 y 2 e 2 e } {{ } 2 e 3 +x 1 y 3 e 1 e } {{ } 3 e 3 0 e 2 + +x 2 y 3 e 2 e } {{ } 3 + e 1 +x 3 y 1 e 3 e } {{ } 1 +x 3 y 2 e 3 e 2 +x } {{ } 3 y 3 e 3 e } {{ } 3 e 2 e 1 0 = (x 2 y 3 x 3 y 2 )e 1 + (x 3 y 1 x 1 y 3 )e 2 + (x 1 y 2 x 2 y 1 )e 3 Vi kan alltså beräkna vektorprodukten u v på två sätt. Geometriskt eller genom att använda koordinaterna u v = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ). Det finns minnesregler för att komma ihåg uttrycket. Skriv upp de två vektorerna ovanför varandra fast börja med den andra koordinaten på följande sätt x 2 x 3 x 1 x 2 y 2 y 3 y 1 y 2 =

44 44 KAPITEL 5. VEKTORPRODUKT Multiplicera sedan korsvis. Vi har positivt tecken för multiplikationer snett ner åt höger medan vi har nagtivt tecken för multiplikationer snett ner åt vänster. I alla de följande övningarna antar vi att vi har en HON-bas Exempel 5.5. Vi har u = (1, 2, 3) och v = ( 1, 0, 2). Vektorprodukten blir då u v = = (4, 5, 2) Exempel 5.6. Bestäm alla vektorer med längden 1 som är vinkelräta mot u = (1, 3, 2) och v = (2, 1, 1). Lösning: Vektorn w = u v = = ( 1, 5, 7) är vinkelrät mot både u och v men har inte längden 1. För att få en vektor med längden 1 bildar vi w w = 1 1 ( 1, 5, 7) = ( 1) ( 7) 2 5 ( 1, 5, 7) 3 Även w w = 1 5 ( 1, 5, 7) 3 ger en vektor med längden 1 som är mot u = (1, 3, 2) och v = (2, 1, 1). Exempel 5.7. Vi har tre punkter i rummet P 0 : (2, 3, 2), P 1 : (4, 1, 1), P 2 : (2, 1, 1). Bestäm arean av triangeln P 0 P 1 P 2. P 2 P 0 P 1 Triangelarean är lika med halva parallellogramarean. Parallellogramarean i sin tur kan beräknas som P 0 P 1 P 0 P 2 (jämför exempel 4.1). Vi har P 0 P 1 = (4, 1, 1) (2, 3, 2) = (2, 2, 3) P 0 P 2 = (2, 1, 1) (2, 3, 2) = (0, 2, 1) Vektorprodukten blir P 0 P 1 P 0 P 2 = = (4, 2, 4)

45 45 Längden av vektorn P 0 P 1 P 0 P 2 = ( 2) 2 + ( 4) 2 = 6 Triangelarean är halva parallellogramarean, dvs 6/2 = 3. Exempel 5.8. Ett plan går genom punkterna A : (0, 1, 2), B : (3, 2, 1) och C : (4, 1, 0). Bestäm planets ekvation på affin form. Lösning: Vektorerna AB och AC är riktningsvektorer till planet. En normalvektor n till planet är vinkelrät mot riktningsvektorerna och fås som n = AB AC. Vi kan sedan skriva upp planets ekvation på samma sätt som vi gjorde i det förra kapitlet. AB = (3, 2, 1) (0, 1, 2) = (3, 1, 1), AC = (4, 1, 0) (0, 1, 2) = (4, 2, 2) Normalvektorn blir n = AB AC = = ( 4, 2, 10) A : (0, 1, 2) är en punkt i planet. Vi får nu planets ekvation som n (x 0, y 1, z 2) = 4x + 2(y 1) 10(z 2) = 0 Omskrivet har vi 4x + 2y 10z + 18 = 0 Exempel 5.9. Bestäm det kortaste avståndet mellan linjerna x = 3 + 2t L 1 : y = t z = 1 t x = 3 + t L 2 : y = 4 + 3t z = 2 + 2t Lösning: Vi konstruerar ett plan som är parallellt med båda linjerna. Planets normalvektor ges av n = v 1 v 2 där v 1 och v 2 är linjernas riktningsvektorer. Tag en godtyckligt punkt P på L 1 och en godtycklig punkt Q på L 2. Projicera P Q på n. Längden av den projicerade vektorn v är lika med avståndet mellan linjerna. Riktningsvektorerna är v 1 = (2, 1, 1), v 2 = (1, 3, 2) Normalvektor ges av n = v 1 v 2 = = (5, 5, 5)