Linjär Algebra, Föreläsning 2

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Linjär Algebra, Föreläsning 2"

Sandra Åström
för 9 år sedan
Visningar:

1 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet

2 Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt. Om vi i ett plan har två punkter P och Q, då låter vi den riktade sträckan från P till Q, ritad som en pil som startar i P och slutar i Q, betecknas PQ. Vi låter nu mängden av alla sådana riktade sträckor med samma storlek och riktning (det är alltså underförstått att vi kan mäta detta) betecknas [ PQ]. Detta tar vi som denition av vektorer i planet. Givetvis kan motsvarande också göras i ett tredimensionellt rum. (För de som vet vad en ekvivalensrelation är kan vi säga att ha samma storlek och riktning är en ekvivalensrelation, och en vektor är helt enkelt en ekvivalensklass av riktade sträckor).

Vi låter nu mängden av alla sådana riktade sträckor med samma storlek och riktning (det är alltså underförstått att vi kan mäta detta) betecknas [ PQ].

3 Riktade sträckor och Geometriska vektorer Notera att det för varje vektor u och punkt P nns en unik punkt Q sådan att u = [ PQ]. En speciell vektor är nollvektorn, som har längd noll (och alltså inte kan sägas ha någon riktning). Denna betecknas 0, och vi har 0 = [ PP].

En speciell vektor är nollvektorn, som har längd noll (och alltså

5 Vi inför även för en vektor u = [ PQ] längden/normen u att vara avståndet mellan punkterna P och Q.

7 Addition och multiplikation med skalär Addition av två vektorer u = [ PR] och v = [ RQ] denieras som u + v = [ PR] + [ RQ] = [ PQ]. Multiplikation med skalär (=reellt tal) denieras så att ku är den unika vektor som uppfyller ku = k u och ku har samma riktning som u om k > 0, ku har motsatt riktning om k < 0. Om k = 0 är ku = 0. Vi inför även beteckningen u := 1u, d.v.s. den vektor som har samma storlek men motsatt riktning.

Multiplikation med skalär (=reellt tal) denieras så att ku är den unika vektor som uppfyller ku = k u och

9 Räknelagar Sats För alla vektorer u, v, w (i ett plan eller rum) och skalärer λ, µ gäller följande: (a) u + v = v + u, (b) u + (v + w) = (u + v) + w, (c) u + 0 = u, (d) u + v = 0 u = v, (e) 1u = u, (f) λ(µu) = (λµ)u, (g) (λ + µ)u = λu + µu, (h) λ(u + v) = λu + λv. Tack vare lag (b), (f ) ovan kommer vi skriva u + v + w, λµu eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning vi tar dessa operationer.

(f) λ(µu) = (λµ)u, (g) (λ + µ)u = λu + µu, (h) λ(u + v) = λu + λv.

10 Baser och koordinatsystem Denition En ordnad uppsättning vektorer u = (u 1 u 2 ) i ett plan (u = (u 1 u 2 u 3 ) i ett rum) sägs utgöra en bas till planet (rummet) om varje vektor v i planet (rummet) på entydigt sätt kan skrivas på formen ( ) x1 v = x 1 u 1 + x 2 u 2 =: u Kolumnmatrisen v = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 =: u x 2. x 3 ( x1 x 2 ) respektive kallas för v :s koordinater i basen u x 1 x 2 x 2 x 3 x 1

entydigt sätt kan skrivas på formen ( ) x1 v = x 1 u 1 + x 2 u 2 =: u Kolumnmatrisen v = x 1 u 1 + x 2

11 Baser och koordinatsystem Per denition har alltså varje vektor unika koordinater i en bas, och varje sådan kolumnmatris svarar mot en unik vektor, så det nns en 1 1 korrespondens mellan vektorer och dessa koordinatmatriser. Notera att två vektorer i ett plan (tre vektorer i ett rum) utgör en bas om och endast om de inte ligger på en gemensam linje (i ett gemensamt plan).

mellan vektorer och dessa koordinatmatriser.

12 Koordinater för punkter För att ge punkter koordinater behöver vi förutom en bas också en x referenspunkt i vårt plan/rum, som vi kallar origo och betecknar denna O. Om P är en punkt i planet/rummet och vi har [ OP] = u ( x1 x 2 ) respektive [ x 1 OP] = u x 2 x 3 då säger vi att P har koordinater (x 1, x 2 ) respektive (x 1, x 2, x 3 ) i detta koordinatsystem (observera att detta alltså nu beror både på valet av u och O).

Om P är en punkt i planet/rummet och vi har [ OP] = u ( x1 x 2 ) respektive [ x 1 OP] = u x 2 x 3 då säger

13 Algebraiska operationer När det gäller de algebraiska operationerna vi har infört blir dessa mycket enkla om vi uttrycker alla vektorer i samma bas u: u ( a1 a 2 ) + u ( b1 b 2 ) ( ) a1 + b = u 1, ku a 2 + b 2 ( a1 a 2 ) ( ) ka1 = u, ka 2 respektive a 1 b 1 a 1 + b 1 u a 2 + u b 2 = u a 2 + b 2, a 3 b 3 a 3 + b 3 a 1 ka 1 ku a 2 = u ka 2. a 3 ka 3 Det vill säga för att addera två vektorer adderar vi bara deras koordinater, och för att multiplicera en vektor med en skalär multiplicerar vi bara varje koordinat med denna skalär. Det är ganska lätt att övertyga sig om att detta stämmer överens med den geometriska denitionen av addition och multiplikation med skalär som vi införde ovan.

a 3 ka 3 Det vill säga för att addera två vektorer adderar vi bara deras koordinater, och för att multiplicera en vektor med en skalär multiplicerar vi bara varje koordinat

14 Exempel 1 Exempel 1: Antag att vi i ett plan valt origo O och en bas u = (u 1 u 2 ). Låt vidare punkterna P, Q, R i detta koordinatsystem ha koordinater P = (3, 2), Q = (4, 3) och R = (1, 1). Bestäm följande (uttryckt i det givna koordinatsystemet): [ OR], [ OP], [ OQ], [ PQ], [ OP] + [ OR], [ OQ] samt 4[ OQ].

15 Exempel 2 Exempel 2: Antag att vi i ett rum valt origo O och en bas u = (u 1 u 2 u 3 ). Låt vidare punkterna P, Q, R i detta koordinatsystem ha koordinater P = (1, 3, 0), Q = (2, 1, 3) och R = ( 1, 0, 2). Bestäm följande (uttryckt i det givna koordinatsystemet): [ PR] samt 2[ PR] + 4[ OQ].

16 Exempel 3 Två vektorer u och v i ett plan eller rum sägs vara parallella om det nns en skalär k sådan att u = kv. Exempel 3: Antag att vi i ett rum valt en bas u = (u 1 u 2 u 3 ). Avgör om följande vektorer är parallella: 3 6 (a) u 1 och u (b) u 1 och u 4 0 0

Exempel 3: Antag att vi i ett rum valt en bas u = (u 1 u 2 u 3 ).

17 Exempel 4 Exempel 4: Antag att vi i ett rum valt origo O och en bas u = (u 1 u 2 u 3 ). Givet punkterna med koordinater i detta koordinatsystem P = (1, 2, 4) och Q = (2, 3, 1), bestäm mittpunkten på sträckan PQ.

18 ON-baser och högersystem Om vi valt vektorerna e = (e 1 e 2 ) i ett plan respektive e = (e 1 e 2 e 3 ) i ett rum så att dessa vektorer är parvis ortogonala (vinkel π/2 mellan dem) samt att de har länd 1, då sägs de utgöra en ortonormal bas (ON-bas) till planet/rummet. Om axlarna dessutom är orienterade som i nedanstående gur sägs basen vara högerorienterad.

dem) samt att de har länd 1, då sägs de utgöra en ortonormal bas (ON-bas) till

20 Rummen R n och M n 1 För att fortsättningsvis slippa formulera satser separat för två respektive tre dimensioner inför vi här rummen R n och M n 1. Dessa är meningsfulla för alla dimensioner n även om vi just nu mest är intresserade av n = 2, 3. Denition Mängden av alla tal n-tupler (a 1, a 2,..., a n ), där a 1, a 2,..., a n R, betecknas R n. Mängden av alla kolumnmatriser betecknas M n 1. a 1 a 2.. a n

Dessa är meningsfulla för alla dimensioner n även om vi just nu mest är intresserade av n = 2, 3.

21 Algebraiska operationer i R n och M n 1 Vi inför följande operationer på R n respektive M n 1. (a 1, a 2,..., a n ) + (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ), k(a 1, a 2,..., a n ) = (ka 1, ka 2,..., ka n ), a 1 b 1 a 1 + b 1 a b 2.. = a 2 + b 2., a n b n a n + b n a 1 ka 1 a 2 k.. = ka 2.. a n ka n Rummen R n och M n 1 med ovanstående operationer är exempel på vektorrum.

22 Det nns en uppenbar 1 1 korrespondens mellan punkter och motsvarande vektor som startar i origo. Dessutom om vi identierar (a 1, a 2,..., a n ) med a 1 a 2.. a n, så är ju rummen ovan helt ekvivalenta på alla sätt. Anledningen till att vi vill ha båda är att R n är det i särklass vanligaste rummet i matematiklitteraturen, men när vi sedan räknar med matriser är det rätta sättet att skriva vektorer som kolumnmatriser. I princip skulle det kanske vara bättre att göra detta rakt igenom i kursen och skippa R n, men det som talar starkt för R n är att det är betydligt smidigare att skriva dessa vektorer, samt att det är mer standardiserat.

23 Alla satser/begrepp som formuleras för R n har en direkt motsvarighet för M n 1. Denna omformulering lämnas åt läsaren, och vi kommer hämningslöst använda dessa motsvarande satser senare i kursen.

24 Exempel 5 Exempel 5: Visa att vektorerna u = ((1, 1, 3) (3, 1, 0) (1, 0, 1)) utgör en bas till R 3 samt bestäm koordinaterna till vektorn (2, 0, 3) i denna bas.

Relevanta dokument

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.