5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

Transkript

1 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering och datavetenskap, är matrisalgebran. Algebra är ju bekant, den vi sysslat med i skolan är ju t.ex. förenkling av uttryck, så som att (a + b) 4 = a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4, vilket som nu är enklare av de två... Man det behöver inte gå till på det sätt som vi är vana vid. Hittills har vi lekt med kommutativ algebra, dvs ordningen har ingen betydelse, a + b = b + a. Matrisalgebra, som vi snart ska bekanta oss med, är bara kommutativ i addition 0, medan vi har att det mycket väl kan vara så att A B B A, eller att multiplikation inte ens är definierad, om A och B är två matriser. En matris är inget annat än en uppställning av tal i rader och kolumner. En m n-matris (matris av dimension m n) har m rader och n kolumner, så en 4 -matris kan se ut som 0 a 0, 4 5 i Bengt Som du ser spelar det ingen roll vilka element det är i matrisen, om det finns flera rader som liknar varandra, eller om det är komplexa tal eller bokstäver eller vad som helst. Vi är ju givetvis intresserade av matriser med reella tal som element. Räkneregler för matriser är lite mystiska, och jag visar här kort hur det går till. 5. Addition av matriser En matrisaddition kan bara ske om matriserna har samma dimension, och då adderar man helt enkelt de element som står på samma plats. Subtraktion sker på samma vis. Exempel = = Där den är definierad I alla fall i den här kursen 7

2 5. Multiplikation av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5. Multiplikation av matriser Detta är lite knepigare. Om den ena (vänstra som jag kommer att kalla den) matrisen är av dimension m n måste den andra (högra) vara av dimension n r för att man överhuvudtaget ska kunna multiplicera dem, annars är produkten ej definierad. Man multiplicerar den ena (den vänstra, här kommer icke-kommutativiteten in) matrisens första element i första raden med den andra (den högra) matrisens första element i första kolumnen. Sedan multiplicerar man den vänstra matrisens andra element i första raden med den högra matrisens andra element i den första kolumnen, osv. När man gjort det med en hel rad, adderar man alla resultat och sätter i övre vänstra hörnet på resultatmatrisen. Jag illustrerar detta första element med ett litet exempel ( ) a a a 4 a a a a 4 a a a a 4 a 4 a 4 a 4 a 44 Notera den smidiga notationen a ij för det element som står i rad i och kolumn j. Nästa element i första raden blir nu (har räknat ut det första) a a 4 a a a a 4 a a a a 4 a 4 a 4 a 4 a 44 Notera också att slutmatrisen inte nödvändigtvis har samma dimension som de man började med heller.. Beräkna matrisprodukten ovan.. Beräkna nedanstående matrismultiplikation

3 5 LINJÄR ALGEBRA 5. Speciella matriser 5. Speciella matriser Vi har ett par matriser som är värda lite extra uppmärksamhet. Det är dels den som kallas enhetsmatrisen, dels nollmatrisen och slutligen den inversa matrisen. Ingen av dessa är egentligen en enda matris, utan ett oändligt antal, men de har speciella egenskaper och dessa ska vi nu titta på. 5.. Enhetsmatrisen Denna matris fungerar som talet i vanlig matematik (usch, linjär algebra är lika vanlig som all annan matematik, men ni fattar nog vad jag menar), dvs resultatet av en matris som multipliceras med enhetsmatrisen är samma matris som man började med, precis som att a = a. Den är konstruerad så att den är kvadratisk, dvs har lika många rader som kolumner, med ettor längs diagonalen och nollor överallt annars. Ex Den betecknas (en etta med fet stil) Visa att enhetsmatrisen fungerar som en etta vid multiplikation med godtycklig matris. Välj dimension själv. Multiplicera både från höger och vänster. 5.. Nollmatrisen Denna matris fungerar som talet 0 i (hu, nu kommer det igen) vanlig matematik, och är en matris full med nollor. Den kan ha vilken dimension som helst och vad det blir för resultat när man multiplicerar en matris med den kan man ju räkna ut med förbundna ögon. Ett exempel: [ Den betecknas 0 (en nolla med fet stil) 5.. Den inversa matrisen Den inversa matrisen till en matris A är den matris A - som gör att.. A A - = A - A =. Det är samma princip som att är inversen till och ju också kan skrivas som, ty =. Notera att bara kvadratiska matriser har en invers. 9

4 5. Speciella matriser 5 LINJÄR ALGEBRA Nu kanske man kan önska att det bara är att ta inversen av varje element i matrisen A och tadaa, A - är skapad! Men riktigt så enkelt är det ju inte, eftersom multiplikationen av matriser inte ser ut som man är van vid med vanliga tal. För en -matris är dock inversen relativt enkel att beräkna. Om a, b, c och d är reella tal, ad bc, [ a b A = c d så är A - = ad bc [ d b c a.. Visa att A A - = A - A = med ovanstående matriser.. Förklara varför endast kvadratiska matriser kan ha en invers Man får jobba mycket mer med större matriser än om man vill hitta inversen. Men eftersom vi tycker det är kul att jobba med matematik ska vi göra det lite senare. (Se kap Den transponerade matrisen Den transponerade matrisen till en matris A skrivs A T och är bara ett byte rad-kolumn. [ a b c A =, d e f A T = a d b e. c f Denna kommer vi att använda när vi ska ta fram invers matris till större matriser. Notera att dimensionen ändras så även om A B är definierad, är kanske inte A T B det. 0

5 5 LINJÄR ALGEBRA 5.6 Translation och rotation med matriser 5.6 Translation och rotation med matriser Matriser kan användas till att flytta punkter, förstora, rotera och liknande. Jag tänkte visa på några sådana transformationer, men först måste vi ju kunna beskriva punkter med hjälp av matriser. Jag ger ett tvådimensionellt exempel, hur det blir i fler dimensioner kan du nog filura ut. En punkt i planet R kan beskrivas med en vektor, som utgår från origo. Denna vektor är en x -matris. Exempel 0. Punkten [ (, ) representeras av vektorn [,, vilken på matrisform skrivs 4 V =. Vi kan illustrera detta i ett koordinatsystem Förflyttning Om vi nu vill flytta denna punkt någon annanstans, adderar vi bara en vektor till den. Detta är inget annat än vanlig vektoraddition, bara att den ser ut annorlunda än vad man kanske är van vid. Exempel. Jag vill flytta min punkt (,) ett steg i x-led och två steg i y-led. Jag utför matrisadditionen [ [ [ 4 + =. Vi ritar in det i koordinatsystemet och ser hur det blev Kan du inte det får du ringa en vän 4 Jämför lösningsmatrisen till ett ekvationssystem, linjerna skär varandra i en punkt. Se kap

6 5.6 Translation och rotation med matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5.6. Förstoring Om vi nu kan flytta punkter lite som vi vill, skulle man ju kunna flytta flera samtidigt, men lite olika. Detta är inga problem, och jag ska visa genom att både flytta och förstora en triangel. 5 Exempel. Punkterna (,), (,) och (,) bildar hörnen i en likbent triangel. Jag multiplicerar motsvarande vektorer med en matris, t.ex. A = [ 0 0. Vi plottar först in punkterna i ett koordinatsystem. 0 - Nu multiplicerar vi våra vektorer med matrisen. [ [ A =, [ A [ A [ 4 = 9 [ 6 =,, och ritar så in punkterna i koordinatsystemet igen Trots att jag (av utrymmesskäl) ändrat skalan, ser man att det hänt något med triangeln. Den har flyttat sig, blivit större, men den är fortfarande både likbent och parallell med x-axeln. 5 Man känner sig lite som en trollkarl när man håller på såhär 8

7 5 LINJÄR ALGEBRA 5.6 Translation och rotation med matriser 5.6. Rotation med matriser Nu när vi kan flytta punkter linjärt borde vi ju kunna rotera dem också. Ortogonala gruppen Matriser kan klassificeras så att de bildar algebraiska grupper 6, och jag tänkte att vi skulle titta på en av dem, den ortogonala gruppen. Definition 5.. En n n-matris A är ortogonal om AA T = I. En ortogonal matris är således alltid inverterbar, och A - = A T. Exempel på ortogonala matriser är [ och. Definition 5.. Den ortogonala gruppen O(n) är gruppen av n n ortogonala matriser.. Visa att de två exempelmatriserna ovan är ortogonala matriser.. Visa att O(n) är en grupp under multiplikation. Två ortogonala matriser, vilka kan användas till rotation, är [ cosθ sin θ R = sin θ cosθ (5.) och [ cosθ sin θ R = sinθ cosθ där θ är den vinkel man vill rotera., (5.4) Exempel. Vi utgår från samma vektor som i Exempel 0, och multiplicerar med en av rotationsmatriserna R. θ = π. R V = [ cos π sin π sin π cos π [ = [ 0 0 [ = [ Hur blev det här nu då? Vi ritar in även denna vektor i koordinatsystemet. 6 Se kap

8 5.6 Translation och rotation med matriser 5 LINJÄR ALGEBRA Vi får en motsols rotation på 90. Nu blir man ju nyfiken på att testa med den andra matrisen R också.. Testa med R också. Förklara vad du ser.. Studera triangelförändringen i Exempel. Förklara vad elementen i matrisen A betyder, och konstruera en matris som förminskar ursprungstriangeln.. Multiplicera triangeln i Exempel med matrisen [ A =, och diskutera vad du observerar. 40