MATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens

Transkript

1 MATRISTEORI Pelle Pettersson ALLMÄN MATRISKUNSKAP MATRISER En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens element Exempel Matrisen har två rader och tre kolonner och sägs därför vara en 2 3 matris En matris med lika många rader som kolonner kallas kvadratisk Matriser med bara en rad kallas radmatris eller alternativt radvektor som t ex och matrisen med bara en kolonn som t ex kallas kolonnmatris alternativt kolonnvektor Matriser betecknas vanligen med stora latinska bokstäver A B C och elementen med motsvarande små bokstäver med index för vilken rad respektive kolonn elementet står i, dvs om A är en allmän m n matris A a jk a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn För rad- och kolonnmatriser används dock oftast små bokstäver på samma sätt som för vektorer MATRISOPERATIONER Det finns tre grundläggande operationer för matriser addition A B, multiplikation med skalär (reellt eller komplext tal) ka multiplikation med matris AB Man addera två matriser A och B bara om de har samma storlek och då läggs matriselementen i A ihop med motsvarande element i B Eftersom additionen sker elementvis

2 2 så kommer varje räkneregel som gäller för addition av reella (komplexa) tal även att gälla för matriser Speciellt så gäller kommutativa lagen A B B A och associativa lagen (A B) C A (B C) Multiplikation mellan matris och skalär utförs så att man multiplicerar alla element i matrisen med skalären Eftersom detta också sker elementvis så gäller även är de räkneregler som man är van vid från multiplikation mellan tal, tex ka Ak, k(la) (kl)a och de distributiva lagarna k(a B) ka kb och (k l)a ka la Matriser där alla element är 0 kallas för nollmatrisen och betecknas med 0 oavsett storlek dvs 0 Detta gör att man kan skriva 0A Subtraktion täcks av de två första operationerna om man definierar B A B ( )A och uträkning sker i praktiken att man drar varje element i A från motsvarande element i B Som väntat blir A A A ( )A 0A 0 Dessa två operationer fungerar på precis samma sätt som motsvarande operationer för vektorer Det som utmärker matriser är matrismultiplikationen AB C där elementet c jk i C beräknas genom att man tar skalärprodukten mellan rad j i A och kolonn k i B eller utskrivet i allmän form c jk l a jlb lk Om A är en m n matris och B är en p r så måste n p för att skalärprodukterna ska finnas och AB blir då en m r matris Matrismultiplikationen uppfyller de flesta av de vanliga räknereglerna för multiplikation av tal Den är tex associativ (AB)C A(BC) varför man kan skriva ABC Den passar också bra ihop med addition för den uppfyller de distributiva lagarna (A B)C AC BC och A(B C) AB BC, och med skalär multiplikation kab (ka)b A(kB) Mycket viktigt är dock att observera att matrismultiplikation inte är kommutativ, dvs AB behöver inte vara lika med BA och att förkortningslagen inte behöver gälla, dvs AB AC med A 0 inte behöver medföra att B C Speciellt kan AB 0 utan att varken A eller B är lika med 0 (Förkortningslagen kan dock räddas om man ändrar villkoret A 0 till A inverterbar eller det A 0) Övning 2 Finn två matriser A och B så att AB BA Finn två matriser så att AB 0 Finn tre olika matriser A, B och C så att AB AC Exempel 3 Som en motivering för den krångligare matrismultiplikationen kan man ta ett enkelt ekvationssystem x 2x 2 x 3x 2 4

3 3 som med matriserna A kortare kan skrivas 2 3 x Ax x x 2 b och b där matrismultiplikationen gör att Ax blir precis rätt vänsterled En bättre motivering är kanske att betrakta två variabelbyten i flera variabler som på vektorform kan skrivas y f (x) och z g(y) Vill man uttrycka z i x får man det sammansatta variabelbytet z g(f (x)) Om man nu bara betraktar linjära variabelbyten som tex 4 y x 2x 2 y 2 x 3x 2 och z 2y y 2 z 2 3y y 2 så kan variabelbytena skrivas på matrisform med A och x som ovan och med B 2 3 y Ax och z By y y y 2 och z Det fina är nu att även det sammansatta koordinatbytet kan skrivas på matrisform där matrisen C ges av just matrismultiplikation av B med A, dvs C BA z 2 3 Cx 2 3 En speciell matris vid multiplikationer är enhetsmatrisen I som är kvadratisk n n och betecknas med I oavsett storlek Den fungerar som etta vid multiplikation, dvs är A en m n matris är IA AI A där I i första multiplikationen är en enhetmatris av storlek m m och i andra multiplikation av storlek n n Kvadratiska matriser kan multipliceras med sej själva och man skriver AA A 2 AAA A 3 osv z z 2

4 4 och med konventionen att A 0 I Detta betyder att man med hjälp av de tre grundläggande matrisoperationerna precis kan definiera polynom av kvadratiska matriser som tex 4A 3 3A 2I De matriser som uppfyller vissa enkla polynomekvationer har fått speciella namn En matris som uppfyller A k 0 för något positivt heltal k kallas en nilpotent matris Exempel 4 Om så är N 3 0 N Uppfyller matrisen A ekvationen A 2 Exempel 5 Om A I är A en speglingsmatris så blir produkten AB samma matris som B fast där första och andra raden har bytt plats I produkten BA har istället första och andra raden permuterats Slutligen om A ekvationen A 2 A så är A en projektionsmatris (idempotent matris) När man i fortsättningen inför någon ny operation på matriser bör man tänka efter hur den förhåller sej till de tre grundläggande operationerna TRANSPONERING, KONJUGERING OCH HERMITESK KONJUGERING Vid transponering av A a jk byter elementens index plats så att A t a kj, dvs man byter plats på rader och kolonner Alternativ beteckning är A T Exempel 6 Om så är Det gäller följande räkneregler A A t (A B) t A t B t (ka) t ka t (AB) t B t A t (A t ) t A

5 5 där det är viktigt att observera att ordningen vid matrismultiplikation kastas om Matriser för vilka A t A kallas symmetriska och om A t A så kallas de skevsymmetriska Konjugatet av en matris A definieras genom att man tar konjugatet av varje element i matrisen Matrisen är reell om alla element är reella och då gäller A A En reell kvadratisk matris som uppfyller A t A I kallas för ortogonal Följande räkneregler gäller för konjugering A B A B ka AB ka AB A A A t A t För matriser med komplexa tal är operationen där man både transponerar och konjugerar vanligare och den kallas hermitesk konjugering och betecknas A eller A H Det gäller alltså att A A t En kvadratisk matris för vilken A A kallas hermitesk och om istället A A så kallas den skevhermitesk Vidare kallas en kvadratisk matris som uppfyller A A I för unitär Då gäller även AA I Ur räknereglerna för transponering och konjugering följer att (A B) A B (ka) ka (AB) B A (A ) A Om AB INVERSER I så kallas B högerinvers till A (och A vänsterinvers till B) Om A dessutom är kvadratisk så gäller enligt sats att AB I medför att BA I och att det bara finns högst en matris som uppfyller dessa ekvationer, se Sats 35 i matristeoriboken Finns det en matris B som uppfyller ekvationerna så sägs A vara inverterbar och B kallas inversen till A och betecknas A Exempel 7 För matriser som inte är kvadratiska så finns ingen invers som duger från båda håll Tex med så blir AB A och B I men BA

6 6 Om A och B är inverterbara matriser så gäller (A B) A B (ka) k A (AB) B A (A ) (A ) (A ) A Övning 8 Bevisa dessa likheter samt hitta ett exempel som visar det första påståendet DETERMINANTER Determinanten, det A, är en funktion från kvadratiska matriser till de reella/komplexa talen Den behandlas utförligt i kapitel 2 i matristeoriboken och vi ska bara sammanfatta några av räknereglerna Om A och B är n n matriser så gäller att det(a B) det A det B det(ka) k n det A det AB det A det B det A det A det A det A Den första likheten följer av att determinantfunktionen är multilinjär i kolonnerna, den andra likheten är Sats 27, den tredje är Sats 26 och den sista följer lätt av andra likheten Det finns fler satser som är viktiga vid beräkning av determinanter som hur determinanten kan reduceras genom utveckling längs rad/kolonn, att determinanten inte förändras då en multipel av en rad/kolonn läggs till en annan rad/kolonn samt att determinanten av en vänster/högertriangulär (matriser med nollor ovanför/nedanför huvuddiagonalen) är lika med produkten av diagonalelementen För precis formulering och bevis av dessa satser hänvisas till matristeoriboken kapitel 2 Multiplikationssatsen gör att om S är en inverterbar matris så får man det SAS det S det A det S det S det S det A det SS A det A Eftersom vi under kursen kommer att visa att man alltid kan välja matrisen S så att SAS blir högertriangulär med egenvärdena till A i diagonalen, Jordans sats (Sats 7) alternativt Schurs lemma (Sats 24) så följer att det A är lika med produkten av alla egenvärdena till A SPÅR En annan enklare funktion från kvadratiska matriser till de reella/komplexa talen är spåret som helt enkelt är summan av alla diagonalelementen i matrisen Den betecknas

7 7 med tr A (av engelskans trace) eller med sp A (av tyskans spur) Det gäller alltså att tr A Om A och B är n n matriser så gäller att n j a jj tr(a B) tr A tr B tr(ka) k tr A tr AB tr BA tr A tr A tr A tr A Övning 9 Visa alla likheterna samt ge ett exempel som visar varför det inte kan vara likhet i sista påståendet Multiplikationsregeln ger att där vi precis som ovan kan välja S så att SAS tr SAS tr S SA tr A är högertriangulär med egenvärdena till A på diagonalen varur man får att tr A är lika med summa av alla egenvärdena till A Exempel 0 Om A är en 3 3 med egenvärdena -2 och det dubbla egenvärdet 3 så är det A och tr A RANG Rangen av en godtycklig matris rang A eller rank A definieras som dimensionen av det rum kolonnvektorerna i matrisen A spänner upp, se kapitel 5 i matristeoriboken Rangen är en funktion från matriser till de naturliga talen Den kan inte var kontinuerlig i matriselementen som determinanten och spåret är Följande räkneregler gäller rang A rang B rang(a B) rang A rang B rang(ka) rang A k 0 0 k 0 0 rang AB min(rang A rang B) rang A rang A rang A rang A n om n n matrisen A är inverterbar Dessutom behöver rang AB inte vara lika med rang BA Däremot om matrisen B är inverterbar blir multiplikationsregeln betydligt bättre rang AB rang BA rang A Övning Som en bitvis ganska svår övning försök att visa dessa påstående