MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR

Transkript

1 Matematiska institutionen Stockholms universitet C.G. Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 6 MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR Mysteriet med matrisinversen. Det finns en del mysterier att diskutera. Sådant vi stött på och som verkar stämma, men som vi inte har kunnat förklara. Ett mysterium som jag vill fästa din uppmärksamhet på gäller matrismultiplikation. Vi vet ju att den inte är kommutativ, d.v.s. AB och BA är inte lika i allmänhet (med det menar vi att AB och BA inte alltid är lika). Exempelvis kan det inträffa att AB = E men 2 9 BA E, som följande exempel visar. Låt A = och B = Då är AB = men BA = Vänsterinvers och högerinvers är alltså inte i allmänhet det samma. B är högerinvers till A, men inte vänsterinvers till A i vårt exempel. I själva verket går det att visa (du kan mycket väl försöka dig på det) att A inte har någon vänsterinvers. Å andra sidan har A fler högerinverser. Pröva t.ex. med C = 4 5, så ser du att AC = E. I Snedsteg 5 mötte vi matrisinverser första gången, men arbetade bara med kvadratiska matriser. I de fall vi studerade hade dessa matriser både vänsterinvers och högerinvers och dessa var dessutom lika. Är det alltid så? kan man fråga sig. Om du repeterar slutet av Snedsteg 5 ser du varför detta faktiskt är av en viss betydelse för oss. Övning. Vilken nytta drog vi av att högerinvers och vänsterinvers var lika för de kvadratiska matriser vi studerade i Snedsteg 5? Antag att A är en kvadratisk matris och att A har både höger- och vänsterinvers. Det är då förvånansvärt lätt att visa att dessa är lika. Antag nämligen att AH = E och att V A = E. Med hjälp av associativa lagen för matrismultiplikation får vi då: Alltså V = H. H = EH = (V A)H = V (AH) = V E = V ()

2 Definition. En kvadratisk matris A sägs vara inverterbar om A har både höger- och vänsterinvers. Tänk igenom hur det följer av ovanstående att en inverterbar matris har en entydigt bestämd vänsterinvers och en entydigt bestämd högerinvers och att dessa är lika. Den gemensamma höger- och vänsterinversen kallar vi kort och gott den inversa matrisen (eller inversen) till A och betecknar A. Vi har alltså AA = A A = E. Men mysteriet kvarstår. Kan man vara säker på att om en kvadratisk matris har en högerinvers så har den också en vänsterinvers och är alltså inverterbar? Och omvänt. Man kan också fråga sig om det finns någon annan egenskap som kännetecknar inverterbara matriser. Är alla kvadratiska matriser inverterbara? Det är egentligen den( första) fråga man ställer sig. Svaret är definitivt nej. Exempelvis är naturligtvis matrisen inte inverterbar. Övning 2. Förklara varför och ge ytterligare några exempel på kvadratiska matriser som inte är inverterbara. Låt oss börja med att utgå från en 2 2-matris a a A = 2 a 2 a 22 och antaga att A har en högerinvers h h H = 2 h 2 h 22 och resonera lite om de konsekvenser detta får. Nu gäller det att hänga med, ty det är ett hissnande äventyr av slutsats på slutsats vi nu ger oss in i. Vi har alltså a a 2 h h 2 = () a 2 a 22 h 2 h 22 vilket kan delas upp i två ekvationer a a 2 h = a 2 a 22 h 2 och a a 2 h2 = a 2 a 22 h 22 (2) eller a a2 h + h a 2 = 2 a 22 och a a2 h 2 + h a 22 = 2 a 22 (3) Vi drar nytta nu av att vi tidigare övat oss att skriva en matrisekvation på olika sätt. Omformuleringens konst är ofta nyckeln till framgång i matematiken. Detta betyder att 2

3 både och kan skrivas som linjärkombinationer av kolonnerna i A. Betraktade som ( vektorer ) i planet kan kolonnerna alltså inte vara parallella. Exempelvis har matrisen 3 6 således inte någon högerinvers ty dess kolonner är ju uppenbarligen parallella. 2 4 En alldeles speciell konsekvens av att kolonnerna i A inte är parallella är att den parallellogram som spänns upp av kolonnerna i A har positiv area (parallellogrammen är inte platt och urartad). Lägg märke till att alla geometriska och algebraiska slutsatser vi drar ytterst kommer från den enda utgångspunkten att A har en högerinvers. Arean av parallellogrammen beräknade vi redan i Steg 2. Den är absoluta beloppet av determinanten a a 2 a 2 a 22, vilket är det samma som absoluta beloppet av determinanten a a 2 a 2 a 22, d.v.s. av det A. Med utgångspunkt i antagandet att A har en högerinvers har vi alltså resonerat oss fram till att det A. Din uppgift blir nu att genomföra hela resonemanget baklänges! Du skall alltså med utgångspunkt i antagandet (förutsättningen) att det A (där A är en 2 2-matris) resonera dig fram till att A har en högerinvers. Här är några stolpar (du står för motiveringarna): det A, en viss parallellogram är inte platt, kolonnerna ej parallella, och är linjärkombinationer av kolonnerna i A, en ekvation av typ (3),... När allt detta är genomfört har vi visat för kvadratiska 2 2-matriser att A har högerinvers det A (4) Stanna upp en stund nu och tänk efter innan du läser vidare vad du som forskare nu skulle vilja undersöka. Jag kommer att ge dig det som övning. Övning 3. Visa på ett analogt sätt att för 2 2-matriser A gäller A har vänsterinvers det A Ledning. Utgå från hela vårt resonemang och gör de förändringar som behövs. Ekvationen () byts ut mot en ekvation som visar att A har en vänsterinvers. Du kommer att få arbeta mer med raderna i A denna gång. Arbeta gärna i grupp och se till att läraren finns till hands. OK. När nu detta är genomfört så kan det sammanfattas som A har högerinvers det A A har vänsterinvers (5) Därmed är åtminstone en del av mystiken skingrad. Varje 2 2-matris med högerinvers har också vänsterinvers och omvänt har varje 2 2-matris med vänsterinvers också en 3

4 högerinvers. Geometriska resonemang, liksom determinantbegreppet, spelar en stor roll så som vi har lagt upp våra resonemang. Detta ger oss ett visst hopp om att vi skall kunna skingra mystiken även när det gäller 3 3-matriser och förklara varför en 3 3-matris med högerinvers alltid har en vänsterinvers, och omvänt. För att bemästra n n-matriser när n > 3 krävs dock ett annat och icke-geometriskt sätt att argumentera. Ur algebraisk synpunkt kan vi dock inte förvänta oss att 2 2- och 3 3-matriser skall vara så mycket annorlunda än n n-matriser för större n. Multiplikationen är ju definierad helt analogt. Vi har tidigare, Snedsteg 2, tillåtit oss att kalla rad- och kolonnmatriser för vektorer även när antalet positioner är fler än 3. Det är en fascinerande tanke att det kanske finns något slags geometri för dessa vektorer, som liknar vanlig vektorgeometri och som skulle kunna förklara varför n n-matriser med högerinvers också har vänsterinvers (om det nu är så!). Dessa lösa tankar visar också på behovet att generalisera determinantbegreppet till kvadratiska matriser med fler rader och kolonner än 3. Nåväl, detta var bara för att ge en liten föraning om vad som skulle kunna vänta i högre kurser i algebra. Matriser av typ 3 3 skall vi dock försöka oss på, även om jag medger att jag kommer lämna grovjobbet åt dig. Den idé vi skall använda är förstås att visa att (5) gäller även för 3 3-matriser. Om du löser följande övning, så har du speciellt visat den vänstra ekvivalensen i (5). Övning 4. Låt A = Visa att följande villkor är ekvivalenta: (i) A har en högerinvers H (ii) Vektorerna A,, a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 kan skrivas som linjärkombinationer av kolonnerna i (iii) Kolonnerna i A är tre vektorer i planet som inte ligger i ett plan (iv) Kolonnerna i A spänner upp en parallellepiped med positiv volym a a 2 a 3 (v) a 2 a 22 a 32 a 3 a 23 a 33 (vi) det A Ledning. Visa först att om (i) gäller så följer (ii), att om (ii) gäller så följer (iii),..., om (v) gäller så följer (vi). Strängt taget skulle det sedan räcka att visa att om (vi) gäller så följer (i), men det är inte så lätt. Enklast är att istället gå hela vägen tillbaka. Löser du sedan följande övning så har du speiellt visat den andra ekvivalensen i (5). 4

5 Övning 5. Låt A vara en 3 3-matris. Då är följande villkor ekvivalenta: (i) A har en vänsterinvers V (ii) Vektorerna ( ), ( ), ( ) kan skrivas som linjärkombinationer av raderna i A (iii) Raderna i A är tre vektorer i rummet som inte ligger i ett plan (iv) Raderna i A spänner upp en parallellepiped med positiv volym (v) det A Sammanlagt innehåller de båda övningarna inte mindre än olika villkor som är ekvivalenta. T.ex. kan vi säkert säga att om de tre raderna i en 3 3-matris skulle ligga i ett plan så gäller det samma för de tre kolonnerna. Och i sådant fall är matrisens determinant lika med. Övning 6. Avgör för dessa två matriser om de är inverterbara eller inte. Beräkna inversen i förekommande fall: Den ena av matriserna i Övning 6 är inte inverterbar. För den gäller alltså att raderna ligger i ett plan. Någon av raderna kan alltså uttryckas som en linjärkombination av de övriga. Det blir en extra övning att finna en sådan linjärkombination. Det finns en hel del mer att säga om detta. Ytterligare villkor går att lägga till listan av ekvivalenta villkor i Övning 4 och 5. Men vi sätter punkt för detta mysterium här. Mysteriet med antalet parametrar vid lösning av ekvationssystem. Ett annat mysterium antyddes i slutet av Snedsteg 2. Efter en allmän diskussion kom vi där fram till att om ett ekvationssystem har mer än en lösning så är antalet i själva verket oändligt och mängden av lösningar (lösningsmängden) kan anges med en eller flera parametrar. Hur lösningen formellt ser ut beror av hur den som löst systemet har lagt upp sina räkningar. Exempelvis betyder (x, y, z) = (, 2, 3) + t(,, 3) och (x, y, z) = (2,, 6) + t(,, 3) samma lösningsmängd. Båda uttrycken definierar en linje genom punkterna (, 2, 3) och (2,, 6). Emellertid är antalet parametrar som krävs för att uttrycka lösningsmängden oberoende av hur lösningsarbetet går till. Samma lösning kan således inte på ett sätt anges med användande av fem parametrar och på ett annat sätt med sju parametrar. Varför är det så? Vi kommer inte att kunna förstå detta fullständigt utan skall till dels låta det förbli ett mysterium. Om antalet obekanta är tre kan vi dock tänka geometriskt på följande sätt. Varje ekvation kan vi tolka som ekvationen för ett plan. Lösningen till ekvationssystemet anger skärningen mellan dessa plan. Om antalet parametrar är så är lösningen entydig. 5

6 Geometriskt betyder det att planen skär varandra i en punkt. Om antalet parametrar är så är den geometriska bilden att planen skär varandra längs en rät linje. Men om lösningsmängden kan anges med två parametrar (efter att vi löst ekvationssystemet med Gausselimination) så måste den geometriska bilden vara något utöver en rät linje. Antag att lösningarna exempelvis kan skrivas (x, y, z) = (3,, ) + s(2,, ) + t(,, ). Lösningsmängden innehåller då punkterna (3,, ) (fås för s = t = ), (5,, ) (fås för s =, t = ) och (2,, ) (fås för s =, t = ) och dessa punkter ligger inte i rät linje. Lösningsmängden måste i detta fall vara ett plan. Fler än två parametrar kan inte komma i fråga om antalet obekanta bara är tre. Vi ser att, resp. 2 parametrar har helt olika geometriska tolkningar. Därför kan det inte förekomma att lösningsmängden till ett givet ekvationssystem samtidigt på ett sätt kan skrivas med en parameter och på ett annat sätt med två parametrar. Detta förklarar ju inte varför lösningen till ett ekvationssystem med 9 obekanta inte på ett sätt skulle kunna skrivas med 5 parametrar och på ett annat sätt med 7 parametrar. Vi kan inte heller ge en geometrisk tolkning av lösningsmängden när antalet obekanta är större än 3. Vi låter detta förbli ett mysterium i denna kurs men visst finns en tankeväckande analogi. Vi kan tänka oss att en lösningsmängd med 7 parametrar på något sätt representerar en större mängd än en lösningsmängd med 5 parametrar i analogi med att ett plan (tvådimensionellt) är en större mängd än en rät linje (ettdimensionellt). Vi leds, liksom i mysteriet med matrisinversen, återigen in på lite lösa funderingar om ett slags geometri för vektorer i den lite mer generaliserade meningen. 6