MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Transkript

1 Test Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1. Vi har här två matriser: A = B = Är A = B 1? Motivera! 2. Lös nedanstående tre ekvationssystem på ett effektivt sätt: 2x + 3y = 4 2x + 3y = 5 2x + 3y = 3 x + 3y = 1 x + 3y = 7 x + 3y = 3 (För full poäng måste lösningsmetoden vara väl vald.) 3. Här har vi en lista på ett antal räkneregler för matriser. En del av dem är korrekta, andra är felaktiga. (En regel är korrekt om den alltid gäller.) Ange för varje regel om den är rätt eller fel. (a) A + B = B + A (±0, 4p) (b) AB = BA (±0, 4p) (c) (AB) 1 = A 1 B 1 (±0, 4p) (d) A + M 0 = A (±0, 4p) (e) AB = AC medför att B = C. (±0, 4p) Alla bokstäver står för matriser. M 0 står för nollmatrisen. Motivering behövs ej. Obs! Ett felaktigt svar ger minuspoäng. Totalpoängen för uppgiften blir dock aldrig lägre än noll, och avrundas till heltal.

2 MAA123 Test Sida 2 (av 2) 4. Vi har matriserna A = B = [ ] Vi vet att XA = B Vad är matrisen X?

3 Test Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1. Nedanstående 4 matriser representerar 4 ekvationssystem. Ange systemens lösningsmängder: (a) (1/2p) (b) (1/2p) (c) (1/2p) (d) (1/2p) De obekanta heter x, y och z. Poängen avrundas mot Är x = 1, y = 1, z = 1 en lösning till ekvationssystemet 5x 2y + 4z = 7 3x 6y + 2z = 1 2x 4y 2z = 8 Motivera!

4 MAA123 Test Sida 2 (av 2) 3. Vi har matriserna A = B = Vi vet att XA = B Vad är matrisen X? 4. (a) Vad innebär det då man säger att en matris A är inverterbar? (Vi vill ha själva definitionen.) (b) Tala om vad man kan ha en invers till eller varför det kan vara intressant att veta om en matris är inverterbar.

5 Test Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1. Vi har vektorerna u=(2, 1, 2), v=(5, 2, 1) och w=(0, 1, 5) (angivna i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara annars varför det inte går. 2. (a) Vad menas med ortsvektorn för en punkt P? (b) Hur betecknar man ortsvektorn för punkten P? 3. (a) Beräkna determinanten för nedanstående matris: (b) Är matrisen inverterbar? Motivera! 4. Denna uppgift ska lösas på nästa sida av testet. Sidan ska rivas av och lämnas in med de övriga lösningspappren. Var god vänd!

6 Kod: Code Kurskod: Course code Bladnr: Page nr Uppgift nr: Task nr Kursnamn: Course title 4. Denna sida ska rivas av och lämnas in tillsammans med de övriga lösningspappren. Glöm inte att fylla i sidhuvudet! I figuren har vi ritat representanter för vektorerna u 1 och u 2. Rita in representanter för de vektorer som i basen{u 1, u 2 } har följande koordinater: (a) (3, 5) (b) ( 2, 4) (c) (0, 6) Se till att det klart framgår vilket svar som hör till vilken fråga! Poängen avrundas till heltal. u 1 u 2

7 Test Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1. Vi har vektorerna u=(2, 4, 1), v=(1, 9, 4) och w=(3, 1, 2) (angivna i samma bas). Är vektorerna linjärt oberoende? Motivera! 2. Vi vet att u =5 och att v =7. Exakt vad kan vi säga om värdet på u+v? Motivera, rita gärna figur. 3. Här har vi en lista på ett antal räkneregler för determinanter. En del av dem är korrekta, andra är felaktiga. (En regel är korrekt om den alltid gäller.) Ange för varje regel om den är rätt eller fel. Motivering behövs ej. (a) det(a 1 )=(det A) 1 (±0, 4p) (b) det A+det B=det(A+ B) (±0, 4p) (c) det(ka)=k det A (±0, 4p) (d) det(ab)=det A det B (±0, 4p) (e) det A=det(A T ) (±0, 4p) Stora bokstäver står för kvadratiska matriser, små för skalärer. Du kan förutsätta att matriserna har en sådan storlek att operationerna är möjliga att utföra. OBS! Ett felaktigt svar ger minuspoäng. Totalpoängen blir dock aldrig lägre än noll, och avrundas till heltal. Var god vänd!

8 MAA123 Test Sida 2 (av 2) 4. I nedanstående bild har vi ritat representanter för fem vektorer: v 1 u 1 u 2 v 3 v 2 Ange koordinaterna för följande vektorer i basen{u 1, u 2 }: (a) v 1 (b) v 2 (c) v 3 Motivering behövs ej. Poängen avrundas till heltal.

9 Test Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1. Bestäm arean av den triangel som har nedanstående punkter som hörn: P 1 : ( 3, 2, 1), P 2 : (0, 2, 3), P 3 : ( 3, 3, 3) (ON-system.) 2. Beskriver nedanstående två uttryck samma linje? l 1 : (x, y, z) = (4+2t, 3 t, 1+3t) l 2 : (x, y, z) = (6 2t, 4+t, 4+3t) Motivera! (Linjerna är angivna i samma koordinatsystem.) 3. Bestäm avståndet mellan planet Π : 5x 14y 2z + 8 = 0 och punkten P : (7, 12, 7). (ON-system) 4. Vid räkning med vektorer så används flera olika sorters produkt. De skrivs på olika sätt och de skiljer sig åt beträffande vad det är som man multiplicerar och vad det är för sorts svar man får. För de tre räknesätten nedan ska du ange (1) Hur räknesättet betecknas (2) Vilken typ av objekt det är som man multiplicerar ihop (3) Vad för sorts svar man kommer att få. (a) Skalärprodukt (eng. dot product) (b) Multiplikation med skalär; skalning (eng. scalar multiple) (c) Vektorprodukt (eng. cross product) Poängen avrundas till heltal. Extra förklaring av frågan: Om vi frågat om vanlig multiplikation så skulle du svara (1) a b (2) Två tal (3) Ett tal eftersom vanlig multiplikation betecknas med en liten prick, och man där multiplicerar ihop två tal och får ett tal som svar.

10 Test Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1. Bestäm skärningspunkten mellan linjen l : (x, y, z) = ( 5, 10, 1) + t( 2, 3, 1) och planet Π : 4x y + 2z = 1. Om det inte finns någon skärningspunkt, bestäm istället avståndet. (ON-system) 2. (a) Rita en bild som visar vad som menas med projektionen av vektorn u på vektorn v, proj v u. Se till att det klart framgår vilken vektor som är vilken! (b) Med vilken formel kan man beräkna proj v u? (Motivering behövs ej.) 3. Vi har vektorerna u = ( 1, 3, 4), v = (0, 5, 2) (angivna i samma ONbas). Beräkna (4u + 3v) (3u + 2v). 4. Planet Π kan på parameterform skrivas Π : (x, y, z) = (3, 1, 4) + s(1, 0, 3) + t(2, 2, 1) Skriv Π på ekvationsform. (Du kan utgå från att koordinatsystemet är ortonormerat.)

11 Tentamen, del 1 datum klockslag OBS! Denna del av tentan motsvarar Test 1. Om du redan är godkänd på Test 1 så ska du inte skriva den. Lämna bara in ett tomt skrivningsomslag. Poäng: Detta del av tentan ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon XXX YYY ZZZ Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. Här kommer fyra frågor, av samma typ som på de test 1 som gick i läsperioden. Frågorna kommer från lektionspass 2 5.

12 Tentamen, del 2 datum klockslag OBS! Denna del av tentan motsvarar Test 2. Om du redan är godkänd på Test 2 så ska du inte skriva den. Lämna bara in ett tomt skrivningsomslag. Poäng: Detta del av tentan ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon XXX YYY ZZZ Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. Här kommer fyra frågor, av samma typ som på de test 2 som gick i läsperioden. Frågorna kommer från lektionspass 6 9.

13 Tentamen, del 3 datum klockslag OBS! Denna del av tentan motsvarar Test 3. Om du redan är godkänd på Test 3 så ska du inte skriva den. Lämna bara in ett tomt skrivningsomslag. Poäng: Detta del av tentan ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon XXX YYY ZZZ Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. Här kommer fyra frågor, av samma typ som på de test 3 som gick i läsperioden. Frågorna kommer från lektionspass (Komplexa tal ingår alltså inte.)

14 Tentamen, del 4 datum klockslag OBS! Denna del av tentan kan bara tillgodoräknas om du är godkänd på de tre testen. Om du har något test kvar, koncentrera dig på det i första hand och ta den här delen om du har tid över. Poäng: Detta del av tentan ger maximalt 12 poäng. Om du är godkänd på de tre testen så ger 0 4 poäng betyg 3, 5 8 poäng betyg 4 och 9 12 poäng betyg 5. Om någon test fattas så är betyget på den här delen U, oavsett poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon XXX YYY ZZZ Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. Här kommer 3 frågor, av samma typ som de på B-delarna på tentorna från MMA123. Minst en fråga kommer att behandla sådant som står markerat som överbetygsmaterial i läsanvisningarna. Minst en fråga kommer att vara en ny problemtyp; något som går att lösa med hjälp av det som vi har gått igenom i kursen men där vi inte har gått igenom lösningsmetoden. En fråga kommer att vara teoriinriktad. Komplexa tal kan komma att ingå i någon av frågorna.

15 Tentamen, del OBS! Denna del av tentan motsvarar Test 1. Om du redan är godkänd på Test 1 så ska du inte skriva den. Lämna bara in ett tomt skrivningsomslag. Poäng: Detta del av tentan ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1.1 Vi har här två matriser: 1 3 A = 2 5 B = Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt: (a) A + B (b) AB 1.2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: 2x 4y + 6z = 8 3x 6y + 9z = 12 x 2y + 3z = 4 Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är! (b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. 1.3 Vi betraktar ett linjärt ekvationssystem med tre obekanta och fyra ekvationer. (a) Är det möjligt att ekvationssystemet har entydig lösning? Motivera! (b) Är det möjligt att ekvationssystemet har parameterlösning? Motivera! Var god vänd!

16 MAA123 Tentamen, del Sida 2 (av 2) 1.4 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris (förutsatt att det är möjligt): (b) Visa att den beräknade inversen är korrekt eller förklara hur du såg att det inte finns någon.

17 Tentamen, del OBS! Denna del av tentan motsvarar Test 2. Om du redan är godkänd på Test 2 så ska du inte skriva den. Lämna bara in ett tomt skrivningsomslag. Poäng: Detta del av tentan ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 2.1 Vi har vektorerna u=(1, 3, 2), v=(2, 7, 2) och w=(1, 5, 2) (angivna i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara annars varför det inte går. 2.2 (a) Beräkna determinanten för nedanstående matris: (b) Är matrisen inverterbar? Motivera! 2.3 (a) Vad är den formella definitionen av att en mängd vektorer är linjärt beroende? (b) Hur brukar man rent praktiskt göra för att kontrollera om en mängd vektorer är linjärt beroende? Var god vänd!

18 MAA123 Tentamen, del Sida 2 (av 2) 2.4 I nedanstående bild har vi ritat representanter för vektorerna u och v: v u Rita av bilden på ditt papper och rita sedan hur man får fram nedanstående vektorer med hjälp av u och v: (a) u+v (b) u v (c) 2u + 3v Det ska alltså inte finnas med någon beräkning, utan svaret ska utgöras av en bild. Poängen avrundas till heltal.

19 Tentamen, del OBS! Denna del av tentan motsvarar Test 3. Om du redan är godkänd på Test 3 så ska du inte skriva den. Lämna bara in ett tomt skrivningsomslag. Poäng: Detta del av tentan ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 3.1 Bestäm ekvationen för det plan som innehåller punkterna P 1 : (4, 3, 3), P 2 : ( 2, 1, 0), P 3 : (1, 1, 1) Svaret ska vara parameterfritt, dvs. det ska inte ingå några parametrar i det. (ONsystem) 3.2 Vi har planet Π : 2x 3y + 4z = 5 och linjen l : (x, y, z) = (6 2t, 7 + 3t, 8 4t) (angivna i samma ON-system). Bestäm vinkeln mellan linjen och planet. 3.3 Det är något fel på uttrycken nedan. (Om du skrev något sådant på en tenta skulle den som rättar skriva vad menar du? 0 p bredvid.) Förklara vad det är för fel. Varför betyder de här skrivna uttrycken ingenting? (a) u v w (b) u v w (c) u 1 u 2 + u 3 u 4 Samtliga bokstäver står för vektorer. Poängen avrundas till heltal. 3.4 Vi har punkten P : (3, 2, 1), linjen l : (x, y, z) = ( 5, 6, 5) + t( 4, 2, 3) och planet Π : 2x 4y + 3z = 1 (angivna i samma koordinatsystem). (a) Ligger P på l? Motivera! (b) Ligger P i Π? Motivera!

20 Tentamen, del OBS! Denna del av tentan kan bara tillgodoräknas om du är godkänd på de tre testen. Om du har något test kvar, koncentrera dig på det i första hand och ta den här delen om du har tid över. Poäng: Detta del av tentan ger maximalt 12 poäng. Om du är godkänd på de tre testen så ger 0 4 poäng betyg 3, 5 8 poäng betyg 4 och 9 12 poäng betyg 5. Om någon test fattas så är betyget på den här delen U, oavsett poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 4.1 Beräkna determinanten för nedanstående matris: (4p) 4.2 Det finns många satser om inverterbara matriser. Här är en som du antagligen inte hört förut: En matrisinvers kan inte ha en kolumn/kolonn med enbart nollor. (a) Visa att detta stämmer genom att förklara varför man inte kan få en nollkolumn då man beräknar en invers. (b) Visa att detta stämmer genom att utnyttja definitionen av matrisinvers. Ett bevis som görs på något annat sätt får 1 p. 4.3 Vi har två vektorer: u 1 och u 2. Normen för u 1 är 2, normen för u 2 är 3. Vinkeln mellan vektorerna är π/4. Vektorn v har koordinaterna (4, 5) i basen {u 1, u 2 }. Vad har v för norm? (4p)

21 Tentamen Poäng: Del 1 3 ger maximalt 8 poäng vardera. För godkänt fordras minst 5 poäng. Del 4 ger maximalt 12 poäng. Förutsatt att du är godkänd på de andra delarna av tentamen ger minst 5 poäng här betyg 4 och minst 9 poäng betyg 5. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. OBS! De första tre delarna av tentamen gäller också som examination av kursmomenten ÖVN1, ÖVN2 respektive ÖVN3. Om du redan är godkänd på något av dessa moment så ska du inte skriva motsvarande del av tentan. (Du är godkänd på ett moment om du blev godkänd på motsvarande test under kursens gång eller på motsvarande del vid tentan i oktober.)

22 MAA123 Tentamen Sida 2 (av 5) Del 1 Denna del ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN1. 1 Vi har här två matriser: A= B= Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt: (a) A+ B (b) AB 2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: 2x 2y 12z= 6 2x y+ 6z= 6 Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är! (b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. 3 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris (förutsatt att det är möjligt): (b) Visa att den beräknade inversen är korrekt eller förklara hur du såg att det inte finns någon. 4 (a) Vad innebär det att ett ekvationssystem är homogent? (Vi är ute efter definitionen av begreppet.) (b) Säg något som är mycket speciellt för homogena system. (Något annat än svaret på (a). Det måste finnas något skäl till att man tyckt att de här systemen förtjänar ett eget namn.)

23 MAA123 Tentamen Sida 3 (av 5) Del 2 Denna del ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN2. 5 Vi har vektorerna u=( 2, 1, 1) och v = (4, 2, 2) (angivna i samma bas). Är vektorerna linjärt oberoende? Motivera! 6 Vad innebär det att en bas är ortonormerad? (Vi vill ha den formella definitionen. ) 7 I nedanstående bild har vi ritat representanter för fem vektorer: v 2 v 1 v 3 u 2 u 1 Ange koordinaterna för följande vektorer i basen{u 1, u 2 }: (a) v 1 (b) v 2 (c) v 3 Motivering behövs ej. Poängen avrundas till heltal. 8 Hur många lösningar har nedanstående ekvationssystem? 3x+2y+3z=0 9x+5y+6z=0 2x+ y+ z=0 Motivera!

24 MAA123 Tentamen Sida 4 (av 5) Del 3 Denna del ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN3. 9 Linjernal 1 : (x, y, z) = (4, 7, 2)+t(4, 1, 1) ochl 2 : (x, y, z) = (4, 7, 2)+ t(1, 0, 1) skär varandra. Vad är det för vinkel mellan linjerna? (ON-system.) 10 Här har vi en lista på ett antal räkneregler. En del av dem är korrekta, andra är felaktiga. (En regel är korrekt om den alltid gäller.) Ange för varje regel om den är rätt eller fel. (a) u v= (v u) (b) u v= (v u) (c) u v=0 innebär att u och v är parallella (d) u v=0 innebär att u och v är parallella (e) (u v) w=u (v w) (±0,4p) (±0,4p) (±0,4p) (±0,4p) (±0,4p) Alla bokstäver står för vektorer. Motivering behövs ej. Obs! Ett felaktigt svar ger minuspoäng. Totalpoängen för uppgiften blir dock aldrig lägre än noll, och avrundas till heltal. 11 Bestäm ekvationen för det plan som innehåller punkterna P 1 : (4, 3, 3), P 2 : ( 2, 1, 0), P 3 : (1, 1, 1) (ON-system) 12 Bestäm avståndet mellan linjenl : (x, y)=(4, 1)+t(4, 3) och punkten P : ( 2, 7). (ON-system)

25 MAA123 Tentamen Sida 5 (av 5) Del 4 Den här delen kan du enbart tillgodoräkna dig om du också har klarat de andra delarna. Om du inte redan är godkänd på delarna 1 till 3 ska du i första hand satsa på dem. 13 I denna kurs har vi löst binomiska ekvationer genom att skriva de ingående talen på polär form och utnyttja De Moivres formel. Men det är inte det enda sättet att hantera den typen av problem. Lös nedanstående ekvation utan att ta hjälp av polär form. z 2 = i (4p) (En korrekt lösning med hjälp av polär form ger 1 p.) 14 En parallellepiped befinner sig i ett ortonormerat koordinatsystem. P 4 P 3 P 2 De markerade hörnen har koordinaterna P 1 : (32, 5, 2), P 2 : (33, 3, 6), P 3 : (37, 1, 13) och P 4 : (41, 4, 2). Bestäm parallellepipedens volym. (Volymen för en parallellepiped är basytans area gånger höjden.) (4p) P 1 15 Är det möjligt att hitta två matriser A och B, där A är en 2 3-matris och B en 3 2-matris, så att AB blir en identitetsmatris/enhetsmatris och BA en nollmatris? Om det går, ta fram två sådana matriser. Om det inte går, förklara varför det är omöjligt. (4p)

26 Test Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1.1 Vi har här två matriser: A = [ ] 4 B = 5 6 Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt: (a) AB (b) BA 1.2 Vi har ett ekvationssystem med lika många ekvationer som obekanta. A är koefficientmatrisen för systemet. (a) Anta att A är inverterbar. Vad kan vi säga om antalet lösningar som ekvationssystemet har? (b) Anta att A inte är inverterbar. Vad kan vi säga om antalet lösningar som ekvationssystemet har? 1.3 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: x + 3z = 5 2x + y + 6z = 7 x 2z = 5 2x + 2y + 6z = 4 Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är! (b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. Var god vänd!

27 MAA Sida 2 (av 2) 1.4 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris (förutsatt att det är möjligt): A = (b) Visa att den beräknade inversen är korrekt eller förklara hur du såg att det inte finns någon.

28 Test Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 2.1 Vi har vektorerna u=(1, 1, 2), v=( 5, 3, 8) och w=(2, 8, 7) (angivna i samma bas). Är vektorerna linjärt oberoende? Motivera! 2.2 Vi har två 3 3-matriser A och B. det A= 5, det B=4. Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt (a) det(2a) (b) det(ab) 2.3 Om man säger att vektorn w kan skrivas som linjärkombination av vektorerna u och v, exakt vad menar man med det? 2.4 Denna uppgift ska lösas på nästa sida av testet. Sidan ska rivas av och lämnas in med de övriga lösningspappren. Var god vänd!

29 Kod: Code Kurskod: Course code Bladnr: Page nr Uppgift nr: Task nr Kursnamn: Course title 2.4 Denna sida ska rivas av och lämnas in tillsammans med de övriga lösningspappren. Glöm inte att fylla i sidhuvudet! I figuren har vi ritat representanter för vektorerna u 1 och u 2. Rita in representanter för de vektorer som i basen{u 1, u 2 } har följande koordinater: (a) ( 2, 3) (b) (4, 1) (c) (0, 5) Se till att det klart framgår vilket svar som hör till vilken fråga! Poängen avrundas till heltal. u 1 u 2

30 Test Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1.1 Vi har här två matriser: A = B = Är B invers till A? Motivera! 1.2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: 3x + 6y + 18z + 3w = 18 2x 3y 8z 3w = 9 Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är! (b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. 1.3 Räkning med matriser påminner mycket om räkning med tal. Man adderar, multiplicerar och så vidare. Men det är inte allt som är precis likadant. (a) Säg något (räkneregel, princip, problemlösningsmetod) som fungerar precis lika för tal och matriser. (b) Säg något som inte fungerar precis lika för tal och matriser. 1.4 Vi har matriserna A = 1 2 B = Matrisen X uppfyller XA = B Vad är X?

31 Test Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 2.1 (a) Beräkna determinanten för nedanstående matris: A= (b) Är matrisen inverterbar? Motivera! 2.2 När man säger att planet är tvådimensionellt och rummet tredimensionellt, vad menar man med det? 2.3 Vi har vektorerna u=( 2, 6, 4), v=(5, 1, 2) och w=(4, 2, 4) (angivna i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara annars varför det inte går. Var god vänd!

32 MAA Sida 2 (av 2) 2.4 Nedan har vi markerat fyra punkter och ritat in representanter för två vektorer. Ange koordinaterna för följande punkter i det koordinatsystem som definieras av punkten P 0 och basen{u 1, u 2 }: (a) P 1 (b) P 2 (c) P 3 P 2 u 1 P 0 P 1 u 2 P 3

33 Test Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 3.1 Ta fram ett uttryck för den linje genom punkten P : (6, 3, 5) som är vinkelrät mot planet Π : (x, y, z) = (5, 8, 1) + s(3, 0, 1) + t( 2, 5, 1). (ON-system.) 3.2 Vi har planen Π 1 : x + 4y + 8z = 16 Π 2 : x + y 4z = 6 Bestäm vinkeln mellan planen. (ON-system.) 3.3 Då man beräknar vektorprodukten av två vektorer u och v får man en ny vektor w = u v. Dess norm och riktning beror av normer och riktningar hos u och v. (a) Vilken norm får w? (b) Vilken riktning får w? 3.4 Vi har planen Π 1 : 2x + y + 2z = 0 Π 2 : 2x + y + 2z = 27 (angivna i samma ON-system). Bestäm skärningslinjen mellan planen. Om det inte finns någon skärningslinje, bestäm istället avståndet.

34 Test Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 3.1 Linjerna l 1 : ( 5, 2, 7) + t(5, 4, 3) l 2 : ( 5, 2, 7) + t(0, 1, 7) skär varandra. Bestäm vinkeln mellan linjerna. (ON-system.) 3.2 Vi har en vektor u och en vektor v, och vill skriva u som summan av två vektorer w 1 och w 2, där w 1 är parallell med v och w 2 är vinkelrät mot v. (a) Gör en grafisk lösning av problemet, dvs. rita hur de fyra vektorerna kommer att förhålla sig till varandra. Se till att det framgår vilken vektor i bilden som är vilken! (b) Med vilka formler beräknar man w 1 och w 2? 3.3 Vi har punkten P : (2, 4, 7) och planet Π : (x, y, z) = (5, 2, 0) + s(2, 1, 3) + t(1, 4, 2) (beskrivna i samma koordinatsystem). Ligger P i Π? Motivera! 3.4 Vi har planen Π 1 : 2x 4y + 8z = 8 Π 2 :3x + 4y 6z = 12 (angivna i samma ON-system). Bestäm skärningslinjen mellan planen. Om det inte finns någon skärningslinje, bestäm istället avståndet.

35 Tentamen Poäng: Del 1 3 ger maximalt 8 poäng vardera. För godkänt fordras minst 5 poäng. Del 4 ger maximalt 12 poäng. Förutsatt att du är godkänd på de andra delarna av tentamen ger minst 5 poäng här betyg 4 och minst 9 poäng betyg 5. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. OBS! De första tre delarna av tentamen gäller också som examination av kursmomenten ÖVN1, ÖVN2 respektive ÖVN3. Om du redan är godkänd på något av dessa moment så ska du inte skriva motsvarande del av tentan. (Du är godkänd på ett moment om du blev godkänd på motsvarande test under kursens gång eller på motsvarande del i oktober eller januari.)

36 MAA123 Tentamen Sida 2 (av 5) Del 1 Denna del ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN1. 1 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: x 4y+ 2z= 5 2x 6y+10z= 10 2x+5y 13z= 8 Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är! (b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. 2 Vi har matriserna A= 3 1 B= Beräkna AB+ B T A T 3 I den här kursen har vi arbetat mycket med att lösa ekvationssystem. Men vad innebär det egenligen? (a) När man säger att något är en lösning till ett ekvationssystem, exakt vad menar man med detta? (b) Lösningsmängden till ett ekvationssystem, vad består den av? 4 Vi har matriserna A= 2 4 B= Ta fram alla matriser X som uppfyller AX=AB

37 MAA123 Tentamen Sida 3 (av 5) Del 2 Denna del ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN2. 5 Vi har vektorerna u=(3, 0, 5), v=( 2, 4, 1) och w=(2, 1, 3) (angivna i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara annars varför det inte går. 6 (a) Beräkna determinanten för nedanstående matris: A= (b) Är matrisen inverterbar? Motivera! 7 (a) Om man säger att Vektorn v har koordinaterna (a, b, c) i basen B = {u 1, u 2, u 3 }, exakt vad menar man med det? (b) Om man säger att Punkten P har koordinaterna (a, b, c) i det koordinatsystem som har origo i punkten O och som i övrigt definieras av basen B={u 1, u 2, u 3 }, exakt vad menar man med det? 8 Rita av nedanstående bild på ditt skrivpapper: v u RITA sedan hur man tar fram följande med hjälp av bilden: (a) u+v (b) u v (c) v OBS! Lösningen ska vara grafisk. Det ska alltså inte finnas med någon beräkning, utan det ska framgå hur man med enbart penna och linjal tar fram en bild av svaret. Se också till att det framgår vad som är svaret! Poängsumman avrundas till heltal.

38 MAA123 Tentamen Sida 4 (av 5) Del 3 Denna del ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN3. 9 Vi har linjerna l 1 : (x, y, z)=( 3, 1, 8)+t( 3, 1, 4) l 2 : (x, y, z)=( 11, 7, 3)+t(5, 3, 2) (i samma koordinatsystem). Skär linjerna varandra eller inte? Motivera! 10 Vi har två vektorer. u =5, v =2. Vinkeln mellan u och v är 120. Bestäm (a) u v (b) u v 11 Vi har linjen och planet l : (x, y, z)=( 8, 2, 11)+t(4, 7, 3) Π : 3x+4z 7=0 Bestäm vinkeln mellan linjen och planet. Om de är parallella, bestäm istället avståndet. (ON-system.) 12 Vi har vektorerna u=( 2, 4, 3) och v=(5, 1, 2) (angivna i samma ON-bas). Beräkna (3u+v) (5u+2v)

39 MAA123 Tentamen Sida 5 (av 5) Del 4 Den här delen kan du enbart tillgodoräkna dig om du också har klarat de andra delarna. Om du inte redan är godkänd på delarna 1 till 3 ska du i första hand satsa på dem. 13 (a) Beskriv något sätt att givet tre punkter ta fram den parameterfria ekvationsformen för det plan som innehåller alla tre punkterna. Beskrivningen ska vara så pass detaljerad att den skulle gå att följa för en person som inte har sett metoden förut (men som i övrigt är bra på ämnet). (b) Beskriv något annat sätt att lösa samma problem. Du kan vara ganska kortfattad, men det måste vara möjligt för en lärare att förstå vad du menar. (c) Beskriv något tredje sätt att lösa samma problem. Kortfattat även här. 14 Vi har två baser B 1 ={u 1, u 2, u 3 } och B 2 = {v 1, v 2, v 3 }. Uttryckt i B 1 är v 1 = ( 2, 1, 2), v 2 = ( 6, 2, 4) och v 3 = ( 4, 6, 7). (a) w 1 = ( 2, 1, 2) i B 2. Vad har w 1 för koordinater i B 1? (b) w 2 = ( 2, 1, 2) i B 1. Vad har w 2 för koordinater i B 2? 15 Vi har en regelbunden tetraeder i ett ortonormerat koordinatsystem. Här är koordinaterna för tre av hörnen: P 1 : (4, 11, 4) P 2 : ( 2, 11, 10) P 3 : ( 2, 5, 4) Vilka koordinaterna har det fjärde hörnet? (En regelbunden tetraeder är en kropp som begränsas av fyra liksidiga trianglar.) (4p)