2. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet x + 2y 13z = 4 4x y + 17z = 5

Transkript

1 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Grundläggande vektoralgebra TEN3 Datum: 4 oktober 01 Skrivtid: 3 timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN3 består av åtta stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 3 poäng. För betygen godkänd och väl godkänd krävs erhållna poängsummor om minst 11 respektive 18 poäng. Om den erhållna poängen benämns S 3, och den vid tentamen TEN4 erhållna S 4, bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt S 3 11, S 4 9 och S 3 + S S 3 11, S 4 9 och 4 S 3 + S S 3 + S Betygen 4 eller 5 tilldelas även den som vid sitt ordinarie kurstillfälle och vid sina motsvarande ordinarie tentamina uppnått resultatet 39 S 3 + S 4 50 respektive S 3 + S 4 51, och som på examinationsmomentet INL1 uppnått betyget vg. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. Matrisen X är av typ 4 4 och satisfierar ekvationen PXP = 3P 1, där determinanten för matrisen P är lika med 6. Bestäm de värden som är möjliga för determinanten för X. x + 3y 9z = 13. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet x + y 13z = 4 4x y + 17z = 5? 3. Vektorerna u och v har längderna 5 respektive, och vinkeln mellan dem är π/3. Bestäm längden av vektorn u 3v. 4. Skriv på parameterform ekvationen för det plan π som innehåller punkterna P : (4,, 3), Q : (, 1, 1) och R : (5, 1, ). 5. Låt punkterna A, B, C och D vara i moturs led angivna hörn i en rektangel, och låt E vara mittpunkten på sträckan AD. I det plan som bestäms av rektangeln är basen e 1, e definierad på så sätt att de riktade sträckorna BE och AC är representanter för basvektorerna e 1 respektive e. Bestäm med avseende på denna bas koordinaterna för den vektor som representeras av den riktade sträckan. 6. Skissa området Im z 3, z 6 och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har största möjliga realdel. 7. Bestäm den matris M som satisfierar ekvationen [ ( ) ( ) ] 3 T ( ) M = Beräkna arean av det begränsade parallellogram-område som definieras av att vardera en representant för vektorerna e 1 + 3e e 3 och 4e 1 e 3e 3 sammanfaller med två av sidorna i parallellogrammen. (HON-bas)

2

3

4 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Grundläggande vektoralgebra BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 01/13 Tentamen TEN POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter p: Korrekt tillämpat produktregeln för determinanter och korrekt översatt det( X ) till [det( X )] 1p: Korrekt beräknat det( 3I ) 1p: Korrekt funnit det värde som är möjligt för det(x ). ( x, y, z) ( 3t,3 5t, t), t R 1p: Korrekt eliminerat en av de obekanta från två av ekv:na 1p: Korrekt funnit att ekvationssystemet löses av oändligt många taltripler 1p: Korrekt angivit de taltripler som löser ekvationssystemet Den som har gjort ett och endast ett räknefel i den första eller alternativt i den andra elimineringen, och som sedan korrekt har tolkat det uppkomna ekvationssystemet, får totalt p l.e. 1p: Korrekt omskrivit normen av u 3v som 4u u 1u v 9v v 4 u 1u v 9 v 1p: Korrekt för ändamålet utvecklat u v som u v cos( u,v ) och fått värdet 5 1p: Korrekt slutberäknat längden 4. : ( x, y, z) (4,,3) r (,3, ) s (1,1, 1), r, s R 1p: Korrekt funnit två vektorer som är parallella med planet p: Korrekt formulerat ekvationen för planet Den som har gjort högst två eller alternativt fler än två subtraktionsfel i framtagandet av två vektorer parallella med planet får totalt p respektive totalt 1p, förutsatt att ekvationsformuleringen är korrekt gjord utifrån uppkomna vektorer. Den som rent generellt har tolkat punkters koordinater som koordinater för vektorer parallella med planet får totalt 0p. 5. koord ( ) ( 4 1 e, 3, 3) 1 e u 1p: Korrekt funnit de samband som behövs för att bestämma vektorn u 1p: Korrekt funnit u uttryckt i basen e,e 1 1p: Korrekt m.a.p. basen e,e angivit koordinaterna för 1 u Den som har gjort fel i framtagandet av vektorn u, men som korrekt har tolkat vad som är den uppkomna vektorns koordinater i basen e 1, e, får åtminstone 1p totalt förutsatt att det övriga motsvarar någon form av härledning i 4 3 i 6e 1p: Korrekt illustrerat det givna området 1p: Korrekt funnit den rektangulära formen av det komplexa talet 1p: Korrekt funnit den polära formen av det komplexa talet 1 ()

5 M 5 Scenario 1 1p: Korrekt adderat matriserna inom hakparenteserna 1p: Korrekt till formen löst ut matrisen M, samt korrekt inverstagit matrisen inom hakparenteserna 1p: Korrekt multiplicerat de två matriserna i slututtrycket Scenario 1p: Korrekt adderat matriserna inom hakparenteserna 1p: Korrekt ansatt elementen i den sökta matrisen och korrekt multiplicerat de två matriserna i ekvationens vänsterled 1p: Korrekt löst de uppkomna ekvationerna och sedan korrekt sammanställt matrisen M Den som felaktigt har adderat matriserna inom hakparenteserna, men som sedan utifrån uppkommet uttryck korrekt har gjort resterande steg, kan få upp till totalt p, allt beroende på hur pass likvärdiga i svårighetsgrad efterföljande steg är. På motsvarande sätt kan den som i scenario 1 har gjort fel i de två första poänggivande stegen, eller den som i scenario har gjort fel i det första poänggivande steget, ändå få 1p förutsatt att den uppkomna matrismultiplikationen är likvärdig i svårighetsgrad och att den har genomförts på ett korrekt sätt a.e. 1p: Korrekt skrivit ned uttrycket för arean av parallellogramområdet 1p: Korrekt beräknat den aktuella vektorprodukten 1p: Korrekt beräknat normen av den aktuella vektorprodukten, och därmed (slutberäknat) den sökta arean ()