x + 9y Skissa sedan för t 0 de två lösningskurvor som börjar i punkterna med koordinaterna

Transkript

1 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA134 Differentialekvationer och transformmetoder Datum: 5 mars 013 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen består av åtta om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. Den maximalt möjliga poängsumman är således 40. För betygen 3, 4, 5 krävs minst 18, 6 respektive 34 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. Bestäm den allmänna lösningen till det linjära systemet ( ) ( dx/dt 13 = x + 9y ) 5 5 dy/dt 6x + 8y. 5 5 Skissa sedan för t 0 de två lösningskurvor som börjar i punkterna med koordinaterna (6, 3) respektive (6, ).. En ideal sträng med normallängden 6 kan svänga i ett xu-plan. Strängen är i sina bägge ändar (lägena med x-koordinaterna 0 och 6) fastsatt på utslagsnivån 0. Vid tidpunkten 0 befinner sig strängen i vila på så sätt att utslaget u som funktion av x är lika med x/30 för 0 < x < 3 och (6 x)/30 för 3 x < 6. Bestäm strängens utslag u för 0 < x < 6, t > 0, då det antages att utslaget lyder vågekvationen u xx = 1 9 u tt. 3. Bestäm till differentialekvationen x y = (x + y)y den lösning vars graf innehåller punkten med koordinaterna ( 1, ). Ange även existensintervallet för lösningen. 4. Bestäm till differentialekvationen x y xy + y = x den lösningskurva som i punkten med koordinaterna (1, 3) har tangenten x y = Lös för t > 0 integralekvationsproblemet { t 0, 0 t <, y(0) = 1, y (t) + 9 e 6ξ y(t ξ) dξ = e 6 3t, t För vilka värden på parametrarna a och b är den stationära punkten till det linjära systemet ( ) ( ) dx/dt ax + ( b)y = 9 dy/dt x + (1 + b)y degenererat instabil, motsvarande att egenvärdet till systemmatrisen är lika med? 7. Vid tidpunkten 0 finns det 100 gram av ett visst material som dock sönderfaller och det i en takt som vid tidpunkten t är proportionell mot mängden återstående material upphöjt till 3/. Hur många gram finns det kvar av materialet vid tidpunkten 3 dygn om antalet återstående gram material vid tidpunkten 1/ dygn är lika med Bestäm den talföljd {x n } n=0 som för n satisfierar rekursionsformeln 9x n 9x n 1 + x n = 0, med x 0 = 3 och x 1 = 1.

2

3

4

5

6

7 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA134 Differentialekvationer och transformmetoder Datum: 5 mars 013 BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN 1. Tentamen X 3 1 t ( t) c1 e c 1 e t BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifterna 1p: Korrekt bestämt egenvärde/egenvektoruppsättning nr 1 1p: Korrekt bestämt egenvärde/egenvektoruppsättning nr 1p: Korrekt sammanställt den allmänna lösningen 1p: Korrekt skissat skissat den ena lösningskurvan 1p: Korrekt skissat skissat den andra lösningskurvan. 3. u( x, t) p1 4( 1) 5( p1) sin( p1 ( p1) x 6 )cos( för 0 x 6, t 0 x y x 3 I E ( 3, ) ( p1) t ) p: Korrekt behandlat x -delen 1p: Korrekt behandlat t -delen p: Korrekt bestämt Fourier-sin-koefficienterna, och korrekt sammanställt lösningen 1p: Korrekt identifierat DE:en som antingen en homogen ekvation eller en Bernoulli-ekvation, samt korrekt genomfört motsvarande substitution, dvs y( x) xu( x) respektive (i detta fall) y 1 ( x) u( x). 1p: Korrekt löst DE:en för den beroende variabeln u p: Korrekt angivit lösningen till BVP:et 1p: Korrekt angivit existensintervallet 4. y [4 ln( x)] x 7x Scenario 1: Scenario : 1p: Korrekt funnit DE:en för ~ y, där ~ ( ) ( x u y u y ), x e 1p: Korrekt funnit den homogena delen av ~ y 1p: Korrekt funnit den partikulära delen av ~ y 1p: Korrekt (i x ) sammanställt den allmänna lösningen, och korrekt hanterat villkoret att grafen innehåller punkten med koordinaterna ( 1, ) 1p: Korrekt hanterat tangentvillkoret i den givna punkten 1p: Korrekt, genom prövning av lösningar på formen y x, funnit en lösning till den homogena DE:en x y xy y 0 1p: Korrekt genom s.k. reduktion funnit den allmänna lösningen till den homogena DE:en 1p: Korrekt genom variation av parameter funnit den allmänna lösningen till DE:en 1p: Korrekt (i x ) sammanställt den allmänna lösningen, och korrekt hanterat villkoret att grafen innehåller punkten med koordinaterna ( 1, ) 1p: Korrekt hanterat tangentvillkoret i den givna punkten 1 ()

8 5. y( t) (1 3t)e 3t [( t ) 3 ( t ) ] e 3( t) U( t ) p: Korrekt Laplacetransformerat integralekvationen 1p: Korrekt förberett med partialbråk inför inverstransform. p: Korrekt utfört aktuell inverstransformering 5 6. ( a, b) ( 1,4) ( a, b) ( 1, ) 1p: Korrekt noterat att diskriminanten för egenvärdesekvationen är lika med noll då den stationära punkten (origo) är degenererad p: Korrekt noterat att spåret av en matris är lika med summan av egenvärdena tagna med sina multipliciteter och därmed korrekt funnit sambandet a b 3 Variant: Korrekt formulerat egenvärdesekvationen och sedan tillsammans med det första villkoret inledningsvis korrekt funnit sambandet a b 3 1p: Korrekt funnit den ena uppsättningen av värden på a och b 1p: Korrekt funnit den andra uppsättningen av värden på a och b 7. 16gram 100 x( t) (1 t ) 8. Talföljden x n 1 n 1 3 { n} n0 x har elementen p: Korrekt formulerat och korrekt löst DE:en 1p: Korrekt bestämt integrationskonstanten 1p: Korrekt bestämt proportionalitetskonstanten och korrekt sammanställt lösningen till BV-problemet 1p: Korrekt beräknat värdet på x (3) 1p: Korrekt z-transformerat differensekvationen 1p: Korrekt funnit z-transformen av talföljden p: Korrekt förberett för inverstagning 1p: Korrekt utfört aktuell inverstransformering ()