där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

Transkript

1 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmedel: Linjal Denna tentamen består av åtta om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. Den maximalt möjliga poängsumman är således 40. För betygen 3, 4 och 5 krävs minst 8, 6 respektive 34 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. Undvik speciellt att skriva på baksidor av lösningsblad.. Den linjära avbildningen F : R 5 R 3 har i berörda standardbaser matrisen Bestäm F :s nollrum och F :s värderum, och uttryck dem som linjära höljen genererade av en uppsättning basvektorer i respektive rum.. Låt A = [3,,, 4), 7, 3, 3, 7)] och B = [4,, 3, 3), 3, 9, 3, 6)] vara två underrum till R 4. Bestäm om möjligt en bas i skärningsrummet A B. 3. Bestäm längderna av och vinkeln mellan vektorerna e och e e 3 i det euklidiska rum E för vilket skalärprodukten är fixerad till u v = x y + x y + x y + x y x y 3 x 3 y + 5x 3 y 3, där x, x, x 3 ) och y, y, y 3 ) är koordinaterna för u respektive v i basen e, e, e Den linjära operatorn F : R 3 R 3 har det linjära höljet [3,, )] som sitt nollrum, har, 0, ) som en egenvektor med egenvärdet, och avbildar, 3, 0) på 3,, 0). Bestäm F :s matris i standardbasen och avgör om operatorn är inverterbar eller ej. 5. Utgå från att x, y, z) betecknar koordinater i ett ON-system och förklara vad ekvationen xz + y = beskriver för typ av yta. Bestäm speciellt avståndet mellan ytan och origo, samt avgör om någon rotationssymmetri föreligger bestäm i så fall, uttryckt i det givna ON-systemet, ekvationen för rotationsaxeln). 6. Låt M vara ett underrum till E 4, definierat enligt M = {x, x, x 3, x 4 ) E 4 : x + x + x 4 = 0, x + x + x 3 = 0}. Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn v = 6, 8, 3, ) på M. 7. Den linjära operatorn F : R 3 R 3 har i basen e, e, e 3 matrisen 0 0 A = 0 β β β 0 5 där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. 8. Låt S vara det linjära rummet av alla reellvärda och symmetriska -matriser, och beteckna med e, e, e 3 och f, f, f 3 matrisuppsättningarna ) ) ) ) ) ),, respektive,, Visa att e, e, e 3 är en bas i S. Visa sedan att även f, f, f 3 är en bas i S. Specificera i detta sammanhang basbytesmatrisen T i ett ) byte från e-basen till f-basen. Bestäm slutligen koordinaterna för matrisen i basen f, f, f 3. 3

2

3

4

5

6

7 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA99 Linjär algebra BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 03/4,0,0,,0,)] V F) [, 3,4),,, ) ] [,0,5),0,,)] POÄNGSPANNN maxpoäng) för f olika delmoment i uppgifterr bestämt enn radkanonisk, eller en nästintill rad- kanonisk, matris som är radekvivalent med avbildningens matris, dvs i praktiken förberett för att kunna bestämma N F) och V F ) 3p: Korrekt bestämt enn bas i och spannet för N F) bestämt enn bas i och spannet förr V F ). En bas i A B är t.ex. 7,, 0,4) formuleratt en test-)ekvation som prövar om det finns gemensamma, icke-triviala vektorer i de linjära rummen A [ u, u ] och B [ v, v ], dv vs om det finns koordinater x, x ) respektive y, y ) så s att xu x u yv y v löst det uppkomna ekvationssystemet 3p: Korrekt från det Gausseliminerade ekvationssystemet identifierat en bas i A B 3. e e e e, e e3 tolkat hur den givna skalärprodukten tillämpas beräknat längden av vektorn e beräknat längden av vektorn e e 3 p: Korrekt beräknat vinkeln v mellan vektorerna Operatorn F är inte inverterbar tolkat nollrummet somm rymmande de kolonn- vektorer vilka avbildas på nollvektorn, dvs att sambandet T T A 3 ) 0 0 0) gäller för avbildningsmatrisen A tolkat informationen om egenvektorn och om avbildningen av den tredje vektorn, samt korrekt samman- ställt allt det givna som ett matrissamband för avbildningsmatrisen A p: Korrekt löst den uppkomna matrisekvationen avgjort attt avbildningen inte är inverterbar Tentamen N F) [ 3, 3,, 0,0),,,0,,0), 5. Ekvationen kan genom omformas till ~ diagonalisering ~ x y ~ z som beskriver en enmantlad rotations- längs hyperboloid med rotationsaxeln linjen xx, y, z) t,0, ), t R, och med ett avstånd tilll origo lika med bestämt egenvärden och egenvektorer till den symmetriska avbildning som i den givna basen har den kvadratiska formenn xz y bestämt enn ortogonal basbytesmatris som diagonaliserar den kvadratiskaa formen xx z y funnit att ekvationen e geometriskt betyder en enmantlad rotationshyperboloid funnit ekvationen för rotationsaxeln bestämt avståndet mellan ytan och origo )

8 6.,,, 3) 7. Beta Diag.bar Bas av egenvektorer, 5 Ja 3,, ), 0,,0), 0,,5 ) Ja, 0, 0), 0,,0), 0, 0,) funnit en bas i M p: Korrekt ortonormaliserat basen bestämt ett uttryck för den ortogonala projektionen av vektorn v 6,8,3,) på M beräknat den ortogonala projektionen av vektorn v 6,8,3,) på underrummet M avgjort vad som gäller i fallet, 5 avgjort vad som gäller i fallet avgjort vad som gäller i fallet 5 i fallet, 5 funnit en bas av egenvektorer i fallet funnit en bas av egenvektorer 5 Nej existerar ej 8. T 3 Matrisen har i basen f, f, f3 3 koordinaterna, 5, 5) visat ett vektorerna e, e, e3 utgör en bas i det linjära rummet S visat att också f, f, f3 utgör en bas i det linjära rummet S funnit basbytesmatrisen T i ett basbyte från e, e, e3 till f, f, f3 p: Korrekt bestämt koordinaterna för matrisen 3 i basen f, f, f3 )