Preliminärt lösningsförslag

Transkript

1 Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: kl Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad Ej räknedosa Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg (3) krävs minst 6 poäng från del I och II tillsammans, ( 8) Var och en av dessa åtta uppgifter kan ge maimalt 3 poäng För var och en av uppgifterna 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället ht 3 (duggaresultatlista bifogas) Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från I+II minst poäng från del II och III tillsammans, för betyg 5 minst 3 poäng Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges Skriv inte mer än en uppgift på varje blad I lösningsförslagen betecknar att den högra matrisen kan fås från den vänstra genom en följd av elementära radoperationer Del I Uppgift 6 kan en och en ersättas av duggapoäng (D) (3p) Bestäm ekvationer i ett yz-koordinatsystem för planet som innehåller punkterna A (,, ), B (,, ) och C (,, 3), (a) på parameterform, (b) på allmän form Lösningsförslag: (a) För att beskriva planets ekvation på parameterform behöver vi en punkt i planet och två vektorer parallella med planet Vi kan använda punkten A och vektorerna från A till B respektive C, AB OB OA AC OC OA, 3 och får då planets punkter, med parametrarna t och s, som y OA + t t AB + sac + t + s + t + s, z + s dvs t, y + t + s, z + s (b) Om n är en vektor ortogonal mot alla vektorer i planet (normalvektor till planet)), så är X en punkt i planet om och bara om n AX

2 (D) (3p) Låt Vi kan konstruera en normalvektor med hjälp av vektorprodukt som n AB AC Planets ekvation på normalform/allmän form är då n AX y ( ) (y ) + (z ) z y + z + y + z Alternativt: Sätt in koordinater för A, B och C i a+by+cz+d Det ger tre ekvationer i a, b, c, d Lös för a, b, c, d v, v, v 3 3 och w 6 8 Uttryck vektorn w som en linjärkombination av vektorerna v, v och v 3 Lösningsförslag: Vi har att v + y v + z v 3 w y 6 3 z 8 För att lösa ut, y, z Gausseliminerar vi lämpligen den utökade matrisen för systemet Vi ser nu att lösningen är, y, z 3, och alltså att w v v + 3 v 3 (D) 3 (3p) Finns det en matris X som uppfyller matrisekvationen AX B, där 3 A och B? 3 3 3

3 Om så är fallet, beräkna den Lösningsförslag: Om A är inverterbar är lösningen X A B Vi försöker bestämma inversen genom att Gausseliminera den utökade matrisen [A I] [A I] [I A ] Vi får då lösningen 3 3 X A B Alternativ Med Gausselimination [A B] [I A B] (Gausselimineringen är ekvivalent med att multiplicera från vänster med A ) 3 3 [A B] [I A B] 3 3 (D) 4 (3p) Den linjära transformationen () 7 + 5y T : R R, där T, y 6 + 8y () kan uttryckas med en matrismultiplikation: T A y y (a) Bestäm matrisen A (p) (b) Verifiera att vektorn v är en egenvektor till matrisen A Vilket är det motsvarande egenvärdet? 3 (p) Lösningsförslag: (a) Vi har att 7 + 5y y 6 8 y 4

4 Alltså är vår sökta matris 7 5 A 6 8 (b) Att v är en egenvektor till A betyder att det finns ett tal, ett egenvärde, λ, så att A v λv Vi har att A v Alltså är v en egenvektor till matrisen A, svarande mot egenvärdet 3 3 (D3) 5 (3p) (a) Matrisen A har 3 som ett egenvärde Bestäm alla egenvektorer till A som 8 7 hör till detta egenvärde (b) Bestäm vad matrisen A (som ovan) har för egenvärde utöver 3 [ (c) ] Bestäm en -matris B som har egenvärden och och vektorerna 5 och som egenvektorer tillhörande respektive egenvärde 3 (Tips: Använd diagonaliseringen B P DP ) Lösningsförslag: (a) Egenvektorerna till A som hör till egenvärdet 3 är alla (nollskilda) vektorer som löser ekvationen A v 3 v eller ekvivalent (A 3I) v Vi Gausseliminerar för att hitta lösningarna, dvs nollrummet till matrisen A 3I A 3I, så t (A 3I) y t y y t y Egenvektorerna till A som svarar mot egenvärdet 3 är alltså vektorerna t, där t är en allmän (nollskild) parameter Eller med andra ord, egenrummet som svarar mot egenvärdet 3 spänns av vektorn (b) För att bestämma det andra egenvärdet studerar vi det karakteristiska polynomet till A: 3 λ 3 det(a λi) 8 7 λ ( 3 λ)(7 λ) 3 ( 8) 4λ + λ + 4 λ 4λ + 3 (λ ) (λ 3)(λ ) är noll om λ 3 eller om λ Det andra egenvärdet till A, utöver 3 är alltså 5

5 (c) Om D är en diagonalmatris så är B P DP en matris som har diagonalelementen i D som egenvärden och där kolonnerna i P är egenvektorer Vi kan alltså konstruera vår önskade matris som B (D3) 6 (3p) B { +, +, + } och S {,, } är två olika baser för rummet P som består av alla polynom upp till och med grad två Bestäm koordinatvektorerna [p()] S och [p()] B för polynomet p() med avseende på respektive bas Lösningsförslag: Koordinatvektorns komponenter är koefficienterna i linjärkombinationen av baselementen Eftersom S {,, } och p() , så är 3 [p()] S 4 5 [ T För att bestämma [p()] B ansätter vi [p()] B a b c] och har då att p() a( + ) + b( + ) + c( + ) (a + b) + (b + c) + (a + c), vilket ger oss ekvationssystemet a + b 3, b + c 4, eller på matrisform a + c 5, a 3 b 4 c 5 Vi kan lösa systemet med Gausseliminering Vi har alltså att p() ( + ) + ( + ) + 3( + ), så [p()] B 3 6

6 Del II 7 (3p) Nollrummet till en matris A består av alla vektorer sådana att A Bestäm en bas för nollrummet till matrisen A 4 Lösningsförslag: Vi kan bestämma nollrummet genom att Gausseliminera A A 4 4 Alltså gäller att y A z w + y y z + w z w s y s z t w t y s + t z w Nollrummet spänns alltså av den linjärt oberoende mängden av vektorer { [ T [ ] } T ],, som därmed är en bas för nollrummet till A 8 (3p) (a) Bestäm, som funktion av, determinanten det A för matrisen 4 8 A 4 (b) För vilka värden på är A inte inverterbar? Lösningsförslag: (a) det A (8 4) (8 4)(4 4) 4 4 7

7 (b) A är inte inverterbar om och bara om det A, och vi har det A (8 4)(4 4) 6( )( ) Alltså är A och A inte inverterbara, medan övriga A är inverterbara 8

8 Del III För full poäng krävs förutom en korrekt och välmotiverad lösning en redig och lättläst presentation 9 (p) (a) För de värden på som gör matrisen A från uppgift 8 inverterbar, bestäm inversen A (b) Bestäm alla egenvärden till A (c) Bestäm baser för egenrummen till A (d) Är A diagonaliserbar? Om så är fallet, ange en diagonalisering A P DP, om inte, motivera Lösningsförslag: (a) Vi kan bestämma inversen med hjälp av Gauss-Jordanelimination 4 8 4( ) 4 A I 4 ( ) 4( ) 4( ) 4( ) ( ) ( ) 4( ) 4( ) I A ( ) 4( ) Alltså är, om,, är A 4( ) 4( ) ( ) 4( ) ( ) ( ) A C Alternativ Man kan utnyttja att om man har två sk blockmatriser,, B D så är A C AC, B D BD om A, B, C, D är kvadratiska matriser av kompatibel storlek, och kvadratiska nollmatriser Därav följer att A A B B om A och B är kvadratiska matriser Det reducerar i vårt fall problemet till att invertera två -matriser 4( ) ( ) 9

9 (b) Matrisen 4 8 A 4 är triangulär, och har därmed sina egenvärden på diagonalen Egenvärdena till A är alltså, 8 och (Egenvärdet har algebraisk multiplicitet ) (c) Egenrummet E λ för respektive egenvärde λ till A är lika med nollrummet till matrisen A λi Vi bestämmer dem i tur och ordning medelst Gausseliminering A I 4 Egenrummet E består av vektorer Egenrummet E 8 består av vektorer Egenrummet E består av vektorer [ ] [ ] 7t 4t, bas { 7 4 } 7 4 A 8I t, bas { } 4 6 A I 4 t, bas { } (d) Egenvärdet har algebraisk multiplicitet (multiplicitet som rot till karakteristiska ekvationen; förekommer två gånger på diagonalen), medan det har geometrisk dimension (egenrummet har dimension ) För att en matris ska vara diagonaliserbar måste alla egenvärden ha lika stor geometrisk dimension som algebraisk Annars kan man inte skapa en inverterbar kvadratisk matris P med egenvektorer som kolonner, som gör att P AP blir diagonal Matrisen A är alltså inte diagonaliserbar (p) (a) För matrisen A från uppgift 7, bestäm en bas för kolonnrummet och en bas för radrummet (b) För vilket värde på k tillhör vektorn u 3 kolonnrummet col(a) till A? k

10 (c) För detta värde på k, bestäm koordinatvektorn för u med avseende på den bas för col(a) du tidigare bestämt Lösningsförslag: (a) Vi utnyttjar Gausseliminering av A A 4 4 Eftersom vi har två nollskilda rader i trappstegsformen är rangen, vilket då är dimensionen för både kolonnrum och radrum Som bas för kolonnrummet till A kan vi ta de kolonner i A som står på samma plats som pivotelementen, dvs kolonn och 3, är en bas för kolonnrummet till A Basrummet bevaras vid radoperationer, så vi kan som bas till radrummet till A ta de nollskilda raderna i trappstegsformen, som är linjärt oberoende, alltså {, } (b) Vi bildar en matris med kolonner som är basvektorerna för col(a), utökar med u som kolonn och Gausseliminerar A 3 k k 4 k 6 Sista raden säger oss att k måste vara lika med 6 för att sista kolonnen ska kunna uttryckas som en linjärkombination av de första två kolonnerna, dvs att u tillhör col(a) (c) Samma Gausseliminering ger oss, i fallet k 6 att u y y y Vi har alltså att u +, dvs, koordinatvektorn för u, med avseende på basen B {, u] B } är

11 (p) Bestäm för vilka värden på k som vektorerna k k v, v, v 3, v 4, k 4 är linjärt beroende I dessa fall, uttryck nollvektorn som en icke-trivial linjärkombination av dessa fyra vektorer Lösningsförslag: Vi löser problemet genom Gausseliminering av matrisen med de fyra vektorerna som kolonner Om de är linjärt beroende visar det sig i att matrisen har rang mindre än fyra, och att nollrummet inte bara består av nollvektorn k k k k k 4 4 k Vi ser här att vi tappar i rang om k eller om 4 k, dvs om k eller k Fallet k 4 I det här fallet har vi alltså c v + c v + c 3 v 3 + c 4 v 4 c + c c 3 c 4 c t c t c 3 c 4, så t v + t v för vilket t som helst Fallet k 4 I det här fallet har vi c t c + c 4 c c v + c v + c 3 v 3 + c 4 v 4 c c 3 t c 3 + c 4 c 4 t,

12 och alltså t v t v 3 + t v 4 för vilket t som helst (Kolla gärna!) (p) B { + +, +, } och C { +, +, + } är båda baser för rummet P som består av alla polynom upp till och med grad (a) Bestäm basbytesmatrisen från B till C (b) Bestäm koordinatvektorerna med avseende på bas B och bas C för polynomet p() Lösningsförslag: (a) Om vi tar en tredje bas S {,, } ser vi lätt att basbytesmatrisen från B till S är P S B, matrisen som har S-koordinatvektorerna för baspolynomen i B som kolonner På samma sätt har vi basbytesmatrisen från C till S, P S C Vi har då att basbytesmatrisen från B till C är P C B P C S P S B P S C P S B Vi kan beräkna den genom Gauss-Jordaneliminering genom att utnyttja att, generellt, om A är inverterbar, så gäller A B I A B ] / / [ [P S C P S B / / I / / ] P S C P S B Vi har alltså att (b) Vi har att / / P C B / / / / [ ] S 3 4 3

13 T För koordinatvektorn b b b 3 med avseende på B gäller då att P S B b b b Vi Gausseliminerar den utökade matrisen P S B vilket ger oss koordinatvektorn [ ] B Multiplicerar vi sedan med basbytesmatrisen P C B från vänster får vi koordinatvektorn med avseende på basen C, / / 3/ [ ] C [ ] B P C B / / 5/ / / / SK 9 augusti 4 4