denna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) (a) Beräkna u (v 2u) om v = u och u har längd 3. Motivera ert svar.

Transkript

1 Kursen edöms med etyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta etyg För godkänt etyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt 3 poäng För var och en av uppgifterna -6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget Ni får inte lämna in något svar på tentan för en uppgift ni vill utnyttja duggaresultat för Ni kan inte utnyttja duggaresultat för enstaka deluppgifter; antingen utnyttjar ni duggaresultaten för hela uppgiften eller eller lämnar in lösning Ni kan alltså inte kominera duggaresultat och lösning för en uppgift, om en lösning lämnas in på en uppgift kommer duggaresultatet för den uppgiften inte att eaktas För etyg 4 krävs utöver godkänt resultat från -7 minst 5% (9 poäng) från uppgift 8-, för etyg 5 minst 75% (4 poäng) För uppgifterna -7 (godkäntdelen) gäller att ni kan välja mellan att ara ge svar eller ge fullständig lösning, om inte annat anges, till exempel att det anges att motivering krävs Vid enart inlämnat svar ger ara korrekt svar poäng, om svaret lämnas med lösning men är felaktigt finns det en möjlighet att en tillräckligt korrekt ifogad lösning ger poäng För uppgift 8- ska fullständiga, tydliga och renskrivna lösningar redovisas Ge inte lösningar till flera uppgifter på samma ark Lösningar till flera deluppgifter till en och samma uppgift får dock ges på samma ark Följande uppgifter edöms för etyg godkänt (3) denna del en poäng (Dugga ) (a) Beräkna u (v u) om v = 3 Om inget annat anges, ger deluppgifterna i u och u har längd 3 Motivera ert svar Svar Enligt räknereglerna för kryssprodukt är a vinkelrät mot åde a och, så från uppgiften har vi att u (v u) = u u = u = 8, eftersom u u = u () Bestäm en ekvation på normalform för planet som går genom punkten 3 och som är parallell med vektorerna och 3 Svar Uppgitens information passar ra för att få fram planets ekvation på normalform, då normalvektorn n kan fås som 3 n = = 4 8 (p) (p) Så planets ekvation på normalform är x = n y z 3 = 4x + y 8z 6 (Dugga ) (a) Bestäm alla lösningar till ekvationssystemet Svar Systemets utökade koefficientmatris är x + y + z + 3w = x + 3y + z + 4w = 3 y + z + w = (p)

2 Gauss-Jordanreducera denna såfår vi (r-r) (r3-r, r-r) 4 varialer och icketriviala ekvationer gör att lösningen måste eskrivas med två parametrar Pivotelementen är i kolonn och, så de fria varialerna som motsvarar parametrar lir z = s, w = t, s, t R Första ekvationen ger då att x z + w = 3 x = 3 + z w = 3 + s t, medan andra ekvationen på samma sätt ger y + z + w = y = z w = s t Tillsammans ger detta att lösningen lir x 3 + s t 3 y z = s t s = + s + t, t R w t () För vilka värden på det reella talet k är ekvationssystemet som representeras av matrisen lösart? Svar Gaussreducering ger direkt följande radekvivanlenta matris 3 3 (r-r) k k 3 k För att den sista raden inte ska representera en omöjlig ekvation kan inte alla koefficenterna i VL vara noll (eftersom HL är skilt från noll)- Alltså måste k k (p) 3 (Dugga ) (a) Matriserna A, B och C är av typ 3 Finn en matris X som löser ekvationen X A + B X = C eller motivera att det inte kan finnas någon lösning (p) Svar Om ekvationen ska gå att uppfylla måste X A och B X gå att eräkna Men för att matrisen X ska vara inverterar måste den vara kvadratisk Men samditdigt ger den första produkten att X måste ha kolonner och den andra produkten att X måste ha 3 rader Alltså har vi motstridiga krav på X (kvadratisk och samtidigt inte kvadratisk) och alltså kan vi INTE hitta någon sådan matris () Bestäm en as för kolonnrummet för matrisen (p) 4 Svar Radreducera matrisen så får vi (r3-3r) (r3-r, r4-r, r-r) 4 4 Kolonnerna i ursprungsmatrisen som motsvarar pivotelementen i denna trappstegsmatris ildar en as för kolonnrummet En as är alltså 3 och 7

3 4 (Dugga ) (a) Bestäm standardmatrisen för den linjära avildningen R som ges av sammansättningen R = S T från R till R där S har standardmatrisen 3 och T är den linjära avildningen T ( x y ) = x + y x + y (p) x Svar Avildningen T ges av ett högerled som kan skrivas som produkten så avildningens standardmartris är T = Standardmatrisen för avildningen S, S ges i uppgiften y Enligt sats i kursen är nu matrisen för sammansättningen S T 3 S T = = 3 5 () Finn egenvärdena för den matris som representerar avildningen R i a) (p) 3 λ Svar Sekularekvationen för den aktuella matrisen lir = = (3 λ)(5 λ), enligt 5 λ regeln för eräkning av determinanten av en kvadratisk matris av ordning Eftersom polynomet är faktorisedrat kan vi direkt se att egenvärdena är λ = 3 och λ = 5 5 (Dugga 3) (a) Finn en vektor som tillsammans med vektorerna u =, u = och vektorn u3 = (p) ildar en ortogonal as B för R 4 a Svar Vi vet att skalärprodukten av två ortogonala vektorer är noll, så vi söker en vektor c vars d a a skalärprodukt med de givna vektorerna är noll: = c = a+c+d, = c = d d a a + + d, respektive = c = a + c d Detta ger tillsammans ett homogent linjärt ekvationssystem som G-J reduceras för att få fram en lösning som är den eftersökte fjärde asvektorn: 3

4 4 a Detta system har lösningen c = t d 3 3 3, t R Om vi till exempel väljer t = 3 får vi som fjärde vektor i den ortogonala asen () Beräkna koordinaten för vektor u 3 som vektorn (given i standardasen) har med avseende på 6 (Dugga 3) asen B som eskrivs i a) Svar Eftersom det är en ortogonal as ger en formel i kursens kapitel om ortogonalitet direkt att koefficienten är u3 u 3 u 3 = + + ( ) ( ) + = 9 Notera att vektorn eräknad i uppgift a) inte ehövs för att erhålla svaret i ) (a) Finn en as för rummet av alla polynom av typen p(x) = a + ax + ( + x), a, R Svar Eftersom a och kan vara vilka reella tal som helst måste polynomet kunna skrivas som en linjärkomination av de vektorer vi får när vi väljer värdena a =, = respektive a =, = Dessa polynom är p (x) = + x + ( + x) = + x och p (x) = ( + x) = + x + x Att varje sådant polynom som eskrivs i uppgiften kan skrivas som en linjärkomination av p och p är självklart: ilda ara linjärkominationen ap + p Att p och p är linjärt oeroende ses enkelt från att den ena inte kan skrivas som en konstant gånger den andra, eftersom (till exempel, det finns flera möjliga argument) p har en andragradsterm som vi inte kan få från p ara genom att multiplicera med en konstant () Finn asytesmatrisen P C B där B =, och C =, är två aser för ett och samma underrum i R 3 (p) Svar Enligt resultat i kursen så är, om B =, = {u, u} och C =, = {v, v }, asytesmatrisen P C B = u C u C Vi eräknar u C och u C: (p) (p) 4

5 u C: u C = vilket ger u C = a uppfyller u = av + v, vilket ger ekvationssystemet På samma sätt får vi a u C: u C = uppfyller u = av + v, vilket ger ekvationssystemet vilket ger u C = Vilket ger att P C B = 7 (a) Avgör om T (A) = a a där A = svaret väl Vi eräknar u C och u C: a a a a,, är en linjär avildning från M till R Motivera Svar Det finns flera sätt att motivera att avildningen inte är linjär Enklast är nog att konstatera ca ca att för alla reella tal c är ca = vilket ger att T (ca) = ca ca = c T (A) ct (A) ca ca om inte c = eller c = Alltså gäller inte det villkoret i definitionen av linjär avildning för alla reella tal c, så T är ingen linjär avildning () Bestäm nollrummet för avildningen T : P M som ges av T (a + x + cx a ) =, + c a,, c R (p) Svar Nollrummet är de polynom som ger nollmatrisen som resultat: alltså måste a = och + c = c = Detta motsvarar polynomen + x + ( )x = x x, R, vilket är rummet av polynom som spänns upp av det enda polynomet x x (p) 5

6 Följande uppgifter edöms för etyg 4 och 5 8 (a) Konstruera ett linjärt ekvationssystem med fler ekvationer än oekanta som har en unik lösning (p) Svar Enklaste metoden är att ilda ett ekvationssystem med unik lösning och lika många oekanta som ekvationer och sedan lägga till en ekvation till som har samma lösning Till exempel har ekvationssystemet { x = y = uppenart en unik lösning x =, y = Lägger vi till en tredje ekvation som uppfylls av x =, y =, till exempel x + y = 5 har vi ett ekvationssystem med unik lösning, två oekanta och tre ekvationer () Kan du konstruera ett linjärt ekvationssystem med färre ekvationer än oekanta som har en unik lösning? Konstruera ett sådant system eller motivera varför det inte går Svar Det går inte Enligt rangsatsen är, om ett systems koefficientmatris är A, rangen av A+nolldimensionen av A=antalet kolonner i A vilket är lika med antalet oekanta i ekvationssystemet Men rangen av A kan inte vara större än antalet ekvationer i systemet, (rangen av en matris kan inte vara större än antalet rader i matrisen) så om vi har ett ekvationssystem med färre antal ekvationer än oekanta så ger rangsatsen att nolldimensionen av koefficientmatrisen måste vara större än noll Dvs, det finns icketriviala nollösningar till systemet Och i så fall kan ingen lösning, oavsett högerled, vara unik Har vi, till ett givet högerled en lösning, kan vi finna en annan lösning genom att helt eneklt lägga till en icketrivial nollösning (4p) 9 Bestäm egenvärdena för matrisen Avgör om matrisen är diagonaliserar eller inte Motivera svaret väl Svar Den karaktäristiska ekvationen är = λi A = λ λ = λ λ λ λ λ λ (6p) (utveckling längs första raden) Kvar hst vi en 3 3-matris vi ehöver eräkna determinanten av Detta kan göras med Sarrus regel, men det ger ett tredjegradspolynom som är svårt att finna rötterna till Notera dock att om vi stoppar in λ = i denna återstående matris är två rader identiska: alltså är determinanten i detta fall noll, vilket garanterar att utvecklingen med Sarrus regel ger en faktor λ som går att ryta ur polynomet Efter det återstår ara en andragradsekvation átt lösa Betydligt enklare Sarrus regel ger att kar ekvationen lir λ == λ λ = λ (λ λ ), λ som har lösningarna λ = (duelrot), λ = + 3 och λ = 3 Återstår frågan om matrisen är diagonaliserar: Vi vet från sats i kursen att en 4 4-matris är diagonaliserar omm det finns en as för R 4 estående av egenvektorer till matrisen, dvs om det finns 4 linjärt oeroende egenvektorer Vi vet också från sats i kursen att egenvektorer som hör till olika egenvärden i en matris allitd är linjärt oeroende Dessutom vet 6

7 vi från kurssen att antalet linjärt oeroende egenvektorer till ett egenvärde aldirg är högre än antalet gånger egenvärdet är rot till karaktäristiska ekvationen (egenvärdets geometriska multiplicitet är alltid mindre än eller lika med egenvärdets algeraiska multiplicitet) I den här situationen har vi tre egenvärden För att matrisen ska vara diagonaliserar måste alltså något av egenvärdena ha två linjärt oeroende egenvektoer Enligt resonemanget ovan kan ara egenvärdet noll ha det Återstår att kolla om detta egenvärde verkligen har så många linjärt oeroende egenvektorer Egenvektorerna för egenvärdet λ = uppfyller ekvationssystemet v = v = G-J reduktion ger x y som har lösningarna z = t, t R w t egenvektor, så matrisen är inte diagonaliserar, Alltså har egenvärdet noll ara en linjärt oeroende En linjär avildning T : P P ges av (6p) T (p) = p(x ) p(x + ) Bestäm matrisen för avildningen T med avseende på asen C = { x, x x, x } Finn koordinaterna med avseende på asen C för T (p ) där p (x) = 3 x + x Svar Med avseende på asen C = { x, x x, x }, där vi sätter v = x, v = x x och v 3 = x inneär att vi vill ha matrisen T C C = T (v ) C T (v ) C T (v 3) C Vi ehöver alltså först eräkna de tre värdena T (v ), T (v ), T (v 3) och sedan hitta deras koordinater i C Vi örjar med att eräkna värdena: T (v ) = v (x ) v (x + ) = ( (x )) ( (x + )) = x + 3, T (v ) = v (x ) v (x+) = ((x ) (x ) ) ((x+) (x+) ) = (x 5x+6) (x +x) = x +7x 6, T (v 3) = v 3(x ) v 3(x + ) = ((x ) ) ((x + ) ) = (x 4x + 4) (x + x + ) = x 8x + Återstår att hitta koordinaterna i asen C, dvs att lösa ekvationerna 7

8 T (v i) = av + v + cv 3 = a( x) + (x x ) + cx = a + ( a)x + (c )x, i =,, 3 Detta motsvarar att lösa ett och samma ekvationssystem med tre högerled, T (v ), T (v ), T (v 3) andra ord, uttryckt som en enda totalmatris (första raden motsvarar konstant, andra raden x, tredje raden x ) Högerledet i det färdigreducerade systemet är matrisen för avildningen med avseende på C: med andra ord 3 6 T C C = T (v ) C T (v ) C T (v 3) C = Återstår att eräkna koordinaterna i asen C för T (p ) där p (x) = 3 x + x Vi kan nu välja mellan att eräkna koordinaterna för p i asen C och sedan eräkna värdet T (p med hjälp av den standardmatris vi just eräknat för avildningen map asen C, eller också kan vi eräkna T (p och sedan finna koordinaternar för denna vektor i asen C med hjälp av samma koefficientmatris och G-J reduktion som vi redan utnyttjat för att eräkna T C C Den första metoden ger nog lite lättare räkningar: Genom att använda koordinaterna i standardasen för p som nytt högerled i ekvationsystemet ovan får vi med samma G-J reduktion lösningen Multiplicerar vi nu dessa koordinater med den framräknade standardmatrisen för avildningnen i asen C får vi de eftersökta koordinaterna för T (p ) i asen C: = 5 Med 8