Vi definierar addition av två vektorer och multiplikation med en reell skalär (tal) λλ enligt nedan

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Vi definierar addition av två vektorer och multiplikation med en reell skalär (tal) λλ enligt nedan"

Roland Lundström
för 5 år sedan
Visningar:

1 ORTOGONALA VEKTORER OCH ORTONORMERADE (ORTONORMALA) BASER I R n INLEDNING ( repetition om R n ) Låt RR nn vara mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs RR nn {(aa, aa,, aa nn ) ddärr aa,, aa nn RR} Två vektorer uu (aa, aa,, aa nn ) ooooh vv (,,, nn ) är lika uu vv om och endast om aa, aa, ooooh aa nn nn Vi definierar addition av två vektorer och multiplikation med en reell skalär (tal) λλ enligt nedan (aa, aa,, aa nn ) + (,,, nn ) (aa +, aa +,, aa nn + nn ) λλ(aa, aa,, aa nn ) (λλaa, λλλλ,, λλaa nn ) Nollvektorn i rummet RR nn är (,,,) uu (aa, aa,, aa nn ) ooooh vv (,,, nn ) Längden (eller normen) av en vektor uu (aa, aa,, aa nn ) etecknas u eller uu och definieras med uu (aa ) + (aa ) + + (aa nn ) Skalärprodukt ( dot product) definieras på följande sätt: uu vv aa + aa + aa nn nn Därmed: u u u Vi upprepar att längden av en vektor etecknas u eller uu Anmärkning : ( Standard) Vektorprodukt definieras endast för 3-dimensionella vektorer Anmärkning : Rummet R n där skalärprodukten och normen är definierade på ovanstående sätt kallas även ett euklidiskt rum Definition ( Ortogonala vektorer i R n ) Vi säger att två vektorer u, v är ortogonala om deras skalärprodukt är dvs om u v Definition (Ortogonal mängd) Om vektorerna vv vv nn är parvis ortogonala då säger vi att mängden {vv,, vv nn } är ortogonal Uppgift Vi etraktar rummet R 3 Bestäm om mängden { u, v, w }är ortogonal då a) u, v, w 5 ) u, v, w 5 Svar a) Ja ) Nej Sida av 7

2 Några viktiga egenskaper för längden ( eller normen ) av en vektor u som vi här etecknar u : u u λ u λ u u + v u + v ( Triangelolikheten) u v u v ( Cauchy-Schwarz olikhet) u u u Definition 3 Ortonormerad (eller ortonormal) mängd Om vektorerna vv,, vv nn är parvis ortogonala och vv kk, för varje k,, n, då säger vi att mängden {vv vv nn } är ortonormerad Alltså en ortonormerad mängd estår av parvis ortogonala enhets vektorer (Vektorerna är åde ortogonala och normerade) Anmärkning: Från en ortogonal mängd { vv,, vv nn } får vi en ortonormerad mängd genom att dela varje vektor vv kk med dess norm ( vi " normerar" vektorerna ) Exempel Vektorerna vv (,,) och vv (,,) är ortogonala med avseende på standard skalärprodukt i RR 3 eftersom (vv, vv ) vv vv Vi får ortonormerade vektorer genom att dela varje vektor med dess norm: ff vv vv 6 (,,) ff vv vv 5 (,,) Uppgift Nedanstående vektorer är parvis ortogonala u, v, w 5 Bestäm en ortonormerad mängd genom att " normera " vektorerna u, v, w u u u / 5 / 5 5, på samma sätt v / / 5 5 och w Uppgift 3 Vi etraktar planet x + y z Bestäm två vektorer som är parallella med planet som tillsammans med planets normalvektor N (,, ) ildar en a) ortogonal mängd ) ortonormerad mängd Sida av 7

3 Vi tar två punkter i planet (som ges av x + y z ) t ex O(,,) och A(,,) Vektor u OA (,, ) är då ortogonal mot N För tredje vektorn kan vi ta vektorprodukten v OA N ( 3, 3, ) Vektorn v är parallell med planet eftersom den är vinkelrät mot N Sats (En viktig sats om ortogonala vektorer) Om vektorerna vv vv nn är parvis ortogonala och skilda från nollvektorn då är de linjärt oeroende Bevis Antag att cc vv + cc vv + + cc nn vv nn ( ) Vi ska visa att detta implicerar cc kk för varje k,, n Om vi multiplicerar (*) med vv kk får vi cc kk (vv kk vv kk ) ( ) Alla andra termer försvinner eftersom vv ii vv jj, fförr ii jj (ortogonala vektorer) Från ( ), eftersom vv kk, får vi cc kk Detta etyder att vv,, vv nn är linjärt oeroende VSB Påföljden av föregående satsen är att n stycken ortogonala och nollskilda vektorer i R n ildar en as i vektorrummet R n Därmed gäller samma för n stycken ortonormerade vektorer i R n : n stycken enhetsvektorer i R n som är parvis ortogonala ildar en as i vektorrummet R n som kallas ortonormerad as ORTONORMERAD BAS Definition 4 Ortonormerad (eller ortonormal) as En as (vv,, vv nn ) i R n som estår av parvis ortogonala enhetsvektorer kallas för ortonormerad as KOORDINATER I EN ORTONORMERAD BAS Uppgift 4 Låt (vv,, vv nn ) vara en ortonormerad as i R n och x x v x v x v n n en vektorer i R n då gäller x x v v ) x v + ( v ) x + + ( ( v v n) n Sida 3 av 7

4 Med andra ord koordinater kan eräknas som skalärprodukter: x ( x v ), x ( x v),, x ( x v n n Bevis: Vi startar med relationen x x v + xv + + x n v n och multiplicerar åda leden med vv : Vi får x v x ( v v ) + x( v v ) + + xn( vn v ) För ortonormerade asvektorer gäller v v och v v,, vn v och därför x v x På samma sätt visar vi att ( ), x x v, xn ( x vn) Exempel 4 / 5 Vektorerna v, v 3 / 5, v 3 3 / 5 4 / 5 ildar en ortonormerad as i R 3 Bestäm koordinater för vektorn x i asen ( v, v, v 3 ) x ( x v ) 8/ 5, x ( x v), x3 ( x v3) 6 / 5 ) ORTONORMERADE BASER OCH ORTOGONALA MATRISER Anta att vi yter standardasen mot en ortonormerad as B(vv,, vv nn ) i R n och att P [ v v vn ] är tillhörande asytesmatris ( från B till standardasen S) Då är kolonner i matrisen P ortonormerade Därför gäller P T T P I (notera att rader i P är kolonner i P) T Alltså är P P om kolonner i P är ortonormerade Enligt egenskaper för inversa funktioner gäller även PP T I som etyder att rader i P är också ortonormerade Kvadratiska matriser som uppfyller P T P I kallar vi ortogonala matriser Sida 4 av 7

5 Vi har därmed att asytesmatrisen P från en ortonormerad as till standardasen S är en ortogonalmatris Definition ( av en ortogonal matris) En kvadratisk matris P kallas ortogonal om P T P Enligt ovanstående har vi följande ekvivalenta påstående för en kvadratisk matris P: I T T (P är ortogonal) P P I PP I P är ortonormerade) (kolonner i P är ortonormerade) (rader i Exempel Matrisen själv) Bestäm P / 5 / 5 P / 5 / 5 har ortonormerade kolonner (kontrollera Svar: Inversen är tranformat till P dvs / 5 / 5 T P P / 5 / 5 TEORETISKA FRÅGOR Uppgift 5 (" Pytagoras sats" i R n ) Låt a och vara två vektorer i R n och c a + Bevisa att c a + om och endast om a och är ortogonala vektorer " Vi eräknar c ( a + )( a + ) a + a + Härav följer att c a + om och endast om a dvs om a och är ortogonala vektorer " Uppgift 6 Låt a och vara två vektorer i R n a Låt p proj ( a) och q a p Bevisa att p och q är ortogonala proj ( a) a (Tips Använd "Pytagoras sats") Bevis Sida 5 av 7

6 a a a ( a ) ( a ( p q p a p) p a p p ( a ) ( Alltså är p och q är ortogonala Vi har a p + q där p och q är (enligt ) ortogonala så att vi kan använda Pytagoras sats på : a p + q som visar att a p eller proj ( a) a Anmärkning: Likheten gäller endast om a q dvs om a proj ( a) ; med andra ord om a är parallell med Uppgift 7 Bevisa Cauchy Schwarz olikheten Om a och vara två vektorer i R n då gäller a a (*) Tips Använd föregående uppgift Bevis Om en av a, är då är (*) uppenart sant () Anta att Enligt föregående uppgift gäller proj ( a) a eller a a Härav a a Vi använder och får a a Multiplikationen med ger a a VSB Likheten gäller om en av a, är nollvektorn eller om a och är två parallella vektorer Uppgift 8 Använd Cauchy Schwarz olikheten för att evisa triangelolikheten u + v u + v Tips: Utveckla uttrycket u + v Bevis u + v ( u + v) ( u + v) u + u v+ v Eftersom t t för varje reellt tel, har vi u v u v och därmed u + v u + u v + v eller u + v ( u + v ) Härav, eftersom u + v och u + v, får vi slutligen u + v u + v VSB Sida 6 av 7

7 Definition 5 Vinkeln mellan två vektorer i R n Låt a och vara två icke-nollvektorer i R n Vinkeln θ mellan vektorerna definieras med a θ arccos a a ( ekvivalent med cos( θ ), där θ π ) a a Anmärkning: Enligt Cauchy-Schwarz olikheten är och därför finns θ så a a att cos( θ ), med andra ord; vinkeln är definierad på ett korrekt sått a Sida 7 av 7

Relevanta dokument

RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER ----------------------------------------------------------------- Låt u vara en vektor med tre koordinater, u = x, Vi säger att u är tredimensionell