Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum

Transkript

1 Analys 360 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

2 Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum () Introduktion I R n har vi, som bekant, skalärprodukten x y = x y +...+x n y n, och kan konstruera flera olika baser av ortonormerade vektor e,..., e n, och när vi valt en sådan skalärprodukt kan varje vektor x R n skrivas x = c i e i, där c i = x e i. k= En sådan framställning av vektorerna i R n är användbar till olika saker som att lösa linjära rekursionssystem och ordinära linjära system av differentialekvationer. Tricket är att välja en ON-bas som är anpassad till det problem man försöker lösa. En vektor i R n kan man tänka sig som en funktion f definierad i heltalen,..., n med värden i R, nämligen f(i) = x i, i =,..., n. Det betyder att vi kan uppfatta alla polygonfunktioner f : [0, ] R med hörn i givna punkter 0 = t < t 2 <... < t n = som en vektor i R n, nämligen den vektor x R n som har komponenterna x i = f(t i ). Men då är det frestande att uppfatta även t.ex. kontinuerliga funktioner f : [0, ] R som element i någont oändligtdimensionellt rum, där varje värde f(t) för punkter t [0, ] definierar en koordinat. Det vi ska göra i det här kapitlet är att just uppfatta funktioner som vektorer i oändligtdimensionella rum och diskutera hur vi kan definiera skalärprodukter av sådana vektorer och från det ortonormerade system och baser av sådana vektorer, alltså funktioner. Vi kommer dock inte att ta det hela vägen, vilket vore att introducera funktionalanalysen och speciellt dess Hilbertrum. I de kommande kapitlen ska vi nämligen endast använda det till att diskutera speciella funktionsserier, som är baserade på idén med ortonormerade baser i allmänna vektorrum. Mycket av det arbetet är betydligt äldre än den mer moderna funktionalanalysen, som dessutom kräver ett nytt integrationsbegrepp ovanpå Riemannintegralen. 2 Euklidiska rum Låt K beteckna de reella eller de komplexa talen (eller någon annan kropp av karakteristik 0). Ett linjärt rum V över K är då en icke-tom mängd, vars element kallas vektorer, på vilken man definierat (i) en addition sådan att u + v = v + u, u + (v + w) = (u + v) + w, (ii) en multiplikation med element i K sådan att 0.u = 0,.u = u, a(u + v) = au + av, (a + b)u = au + bu, (ab)u = a(bu). Här är u, v, w vektorer i V och a, b element i K. Element i K kallar vi ofta skalärer. Anmärkning Den första likheten i (ii) skall läsas så att 0 u är samma vektor för alla u V. Denna vektor betecknas 0 och kallas nollvektorn.

3 Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum 2 () Exempel Låt M vara en godtycklig mängd och låt V vara mängden av alla funktioner på M med värden i K. Definiera addition och multiplikation med element i K som vanligt genom (f + g)(m) = f(m) + g(m), (af)(m) = af(m). Man kontrollerar lätt att V blir ett linjärt rum över K. Låt W vara en delmängd av ett linjärt rum V över K sådant att u, v W, a, b K au + bv W. Då blir W ett linjärt rum över K om vi definierar räknereglerna addition och multiplikation med element i K som i V. Vi säger att W är ett underrum till V. De linjära rum vi är intresserade av kommer alla att vara underrum till det linjära rummet i Exempel för lämpliga val av mängden M. Exempel 2 Om M är ett intervall [α, β] bildar de kontinuerliga, reellvärda funktionerna på [α, β] ett underrum till det linjära rummet över R av alla reellvärda funktioner på [α, β]. Vi betecknar detta C([α, β]; R). Analogt bildar de kontinuerliga, komplexvärda, funktionrna på [α, β] ett linjärt rum över C, vilket vi betecknar C([α, β]; C). Vektorn u V är en linjärkombination av vektorerna u,..., u k i V om det finns skalärer a k K sådana att u = j a ju j. Mängden av alla linjärkombinationer av u,..., u k bildar ett underrum i V som betecknas L(u,..., u k ) och kallas linjära höljet av u,..., u k. Om L(u,..., u k ) = V säger man att u,..., u k genererar V. Ett linjärt rum sägs vara ändligtdimensionellt om det kan genereras av ändligt många vektorer. Slutligen kallas u,..., u k linjärt beroende om a u a k u k = 0 för någon uppsättning a,..., a k som inte alla är noll. Om vektorerna u,..., u k inte är linjärt beroende sägs de vara linjärt oberoende. Vi kommer att intressera oss för linjära rum som är försedda med lite extra struktur, såsom preciseras i nästa definition. Definition En skalärprodukt i ett linjärt rum V är en regel som till varje par av vektorer u och v i V ordnar ett element (u, v) i K på ett sådant sätt att () (2) (3) (au + bv, w) = a(u, v) + b(v, w), a, b K, (u, v) = (v, u) (u, u) 0 med likhet endast då u = 0. Anmärkning Konjugattecknet i (2) garanterar att (u, u) är ett reellt tal även då K = C. Om K = R blir (2) (u, v) = (v, u) och vi får den kända definitionen av skalärprodukt i linjära rum över R. Om K = C kallar vi regeln en komplex skalärprodukt. Enligt () är en sådan linjär i första argumentet då det andra hålls fixt, men detta gäller inte i det andra argumentet om det första hålls fixt. Om vi kombinerar () coh (2) får vi nämligen att (4) (u, av + bw) = ā(u, v) + b(u, w), u, v, w V, a, b K.

4 Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum 3 () På grund av första villkoret i (3) kan vi definiera längden av vektorn u genom u = (u, u), u V. Ett linjärt rum V över K försett med en skalärprodukt kallas ett euklidiskt rum (över K om vi vill precisera oss). Exempel 3 I det linjära rummet C([α, β]; C) definieras en skalärprodukt av (u, v) = β u(x)v(x)dx. β α α Det är klart att () och (2) gäller. Vidare är (u, u) = β u(x) 2 dx 0 β α α och eftersom funktionen x u(x) är en kontinuerlig funktion kan integralen vara lika med noll endast om u = 0. Alltså gäller (3). När vi hänvisar till C([α, β]; C) som ett euklidiskt rum antas det försett med denna skalärprodukt om inget annat sägs. Motsvarande gäller för C([α, β]; R) där vi dock inte behöver konjugattecknet över v. Två vektorer u och v är ortogonala om (u, v) = 0. För ortogonala vektorer gäller Pytagoras sats (5) u + v 2 = u 2 + v 2 om (u, v) = 0. Om vektoreran e,..., e n är parvis ortogonala och alla har längden gäller att om u = a i e i och v = b i e i, så är (6) (u, v) = a i b i. Detta följer av att (u, v) = a i (e i, v) = a i (v, e i ) = a i b i. Speciellt har vi (7) a i e i 2 = a i 2. Definition Låt V vara ett euklidiskt rum. Med ett ortonormerat system i V (ON-system) menar vi en uppräknelig (eller ändlig) mängd {e i } av parvis ortogonala vektorer i V som alla har längden.

5 Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum 4 () Etta viktigt exempel på ett ortonormerat system i ett funktionsrum ges i nästa exempel. Det kommer att behandlas mer ingående i kapitlet Fourierseriernas grunder. Exempel 4 Funktionerna e n (x) = e inx, n ett godtyckligt heltal, utgör ett ortonormerat system i det euklidiska rummet C([ π, π]; C) med skalärprodukt Vi har nämligen att (u, v) = 2π π π u(x)v(x)dx. (e n, e m ) = π e inx e imx = π e i(n m) dx 2π π 2π π och integralen i högerledet är noll då n m och den är 2π då n = m, eftersom integranden då är. 3 Gram-Schmidts ortogonaliseringsförfarande Ett konstruktivt sätt att generera ett ortonormerat system ges av Gram-Schmidts ortogonaliseringsförfarande. Låt {f,..., f n } vara en delmängd av vektorrummet V försett med skalärprodukten (.,.). Vi vill då konstruera ett ortonormerat system {e,..., e n } som spänner upp samma underrum i V som {f i }, alltså för alla k n. Processen är som följer. För n = innebär villkoren att vi ska ta L(f,..., f k ) = L(e,..., e k ) e = ± f f. Vi har alltså två val, vilket också kommer att gälla i fortsättningen. Vi bestämmer oss för +-tecknet. För n = 2 ska vi ha L(f, f 2 ) = L(e, e 2 ) där e redan är bestämd. Det betyder att e 2 = a 2 f 2 + a f = a 2 f 2 + b e, där b = a f. Villkoren på e 2 är nu att (e 2, e ) = 0 och (e 2, e 2 ) =. Det första av dessa innebär att 0 = (a 2 f 2 + b e, e ) = a 2 (f 2, e ) + b, från vilket vi ser att b = a 2 (f 2, e ) och alltså att e 2 = a 2 (f 2 (f 2, e )e ). Sedan väljs a 2 sådan att e 2 2 =, där vi tar den positiva lösningen.

6 Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum 5 () Det är uppenbart att denna konstruktion kan fortsättas: har vi bestämt e,..., e k, så bestäms e k+ av att k e k+ = a k+ f k+ + b k e k så att (e k+, e j ) = a k+ (f k+, e j ) + b j = 0, j =,..., k, vilket i sin tur betyder att e k+ = a k+ (f k+ k j= (f k+, e j )e j ). Konstanten bestäms så att längden blir ett, och kan väljas positiv. Exempel 5 I det euklidiska rummet C([, ]; R) med skalärprodukt (8) (u, v) = j= u(x)v(x)dx betraktar vi alla funktioner av formen x n där n är ett icke-negativt heltal. Med hjälp av dessa funktioner och Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod ska vi illustrera hur man kan konstruera ett ortonormerat system {p n } 0 i C([, ]; R). För att bestämma p n noterar vi först att p 0 är en konstant med p 0 = alltså p 0 (x) = / 2 för alla x, eftersom högstagradstermen skall ha positivt tecken. Skriv nu Villkoret (p, p 0 ) = 0 innebär då att p (x) = a x + b 0 p 0 (x) = a x = vilket betyder att p (x) = a x där vi ska ha = p 2 = a 2 p (x) dx 2 = b 0 2, x 2 dx = 2a2 3. Med andra ord har vi att För att få p 2 skriver vi nu p (x) = 3 2 x. p 2 (x) = a 2 x 2 + b p (x) + b 0 p 0 (x). Villkoren (p 2, p ) = 0 och (p 2, p 0 ) = 0 innebär då att a 2 (x 2, p ) + b = 0, a 2 (x 2, p 0 ) + b 0 = 0, vilket betyder att så b = 0, b 0 = a p 2 = a 2 (x 2 3. x 2 dx 2 = a 2 3,

7 Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum 6 () Normaliserar vi, ser vi att a 2 = 45/8 och alltså p 2 (x) = 45 8 (x2 3 ). Fortsätter vi denna process ser vi att vi i det n + :a steget ska ta p n L(, x,..., x n ) sådant att (p n, x k ) = 0 då k < n och p n =. Här väljer vi hela tiden p n så att högstagradskoefficienten är positiv för att bestämma polynomet p n entydigt. Denna process konstruerar de s.k. Legendrepolynomen som är användbara när man ska ange lösningar till vissa klassiska partiella differentialekvationer. De ska diskuteras närmare i kapitlet Om Legendrepolynomen. 4 Ortogonal projektion För ett underrum U i ett euklidiskt rum V definieras det ortogonala komplementet U av U = {v V ; (v, w) = 0 för alla w U}. Om U är ändligtdimensionellt har vi följande sats. Sats Om e,..., e k är ett ortonormerat system i V och U = L(e,..., e k ), så gäller att varje vektor u V på ett entydigt sätt kan skrivas u = u + u där u U och u U. Vektorn u, som kallas den ortogonala projektionen av u på U, ges av (9) u = (u, e )e (u, e k )e k. Bevis. Varje vektor u U kan skrivas u = k c je j. Vektorn u = u u ligger i U om och endast om (u, e j ) = 0, j =,..., k, d.v.s. precis då (u, e j ) = (u, e j ) = c j. Detta visar entydigheten. Om vi å andra sidan definierar u genom (9) och sätter u = u u, så är (u, e j ) = 0, j =,..., k, d.v.s. u U. Därmed är satsen bevisad. Om w U gäller enligt Pytagoras sats att u w 2 = (u w) + u 2 = u w 2 + u 2, så högerledet är som minst då w = u. Den ortogonala projektionen u av u på U är därför den vektor i U som ligger närmast u. Låt nu {e i } vara ett ortonormerat system i V. Om u är den ortogonala projektionen av u på L(e,..., e k ) så ger Pytagoras sats att (0) u 2 u 2 + u 2 = u 2. Enligt (7) är u 2 = k (u, e j ) 2,

8 Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum 7 () så vi får att k (u, e j ) 2 u 2. Då detta är sant för alla k följer härur Bessels olikhet () (u, e j ) 2 u 2. j= Speciellt ser vi att koefficienterna (u, e j ) är begränsade och att (u, e j ) 0 då j. En annan konsekvens av Bessels olikhet är Cauchy-Schwartz olikhet (2) (u, v) u v. Om nämligen v 0 är e = v/ v ett ortonormerat system i V och enligt () gäller då att (u, e ) u. Multiplikation med v ger (2). Om v = 0 är v = 0 och båda leden är noll i (2). Ur detta följer sedan triangelolikheten (3) u + v u + v, ty u + v 2 = (u + v, u + v) = u 2 + (u, v) + (v, u) + v 2 u u v + v 2 = ( u + v ) 2. Exempel 6 Låt {e n } n= vara det ortonormerade systemet i C([ π, π]; C) som diskuterades i Exempel 4. Koefficienterna c n = (u, e n ) = 2π π π u(x)e inx dx, n Z, kallas då u:s Fourierkoefficienter. Bessels olikhet tar formen c n 2 u 2 = π u(x) 2 dx. 2π π Vi ser att Fourierkoefficienterna är begränsade, c n u för alla n och att c n 0 då n. 5 Ortonormerade baser Så här långt har vi diskuterat vektorer som kan skrivas som kan utvecklas efter ett givet ON-system relativt en given skalärprodukt (u, v). Med andra ord, givet ON-basen {e i } har vi betraktat vektorer som kan skrivas u = c ie i. Frågan är nu, när vet vi att alla vektorer i det euklidiska rummet V kan skrivas så. Med andra ord, när vet vi att vårt ON-system också är en bas för V?

9 Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum 8 () Definition En svit {u N } N om Vi skriver detta som av vektorer i V sägs konvergera mot en vektor u V då u N u 0 då N. u N u i V. Om {u i } är en mängd vektorer i V och {c i } är element i K sådana att skriver vi N c i u i u i V u = c i u i. Lemma Om u N u i V och v N v i V då N, så gäller att Bevis. Vi har att så Cauchy-Schwartz olikhet ger att (u N, v N ) (u, v) då N. (u N, v N ) (u, v) = (u N u, v N ) + (u, v N v), (4) (u N, v N ) (u, v) u N u v N + u v N v. Då v N v + v N v v + om N är tillräckligt stor, följer att högerledet i (4) går mot noll då N. Definition Ett ortonormerat system {e i } för V om varje vektor u V kan skrivas i V sägs vara en ortonormerad bas (ON-bas) u = c i e i, c i K. När så gäller följer ur Lemma att c i = (u, e i ). Om nämligen u N = N c ie i, så ger skalärmultiplikation med e k att c k = (u N, e k ) då k N. Då N går skalärprodukten här mot (u, e k ) enligt Lemma 3, vilket visar påståendet. Sats 2 Om {e i } är en ON-bas för V och u = c i e i, v = d i e i, så är (u, v) = c i d i.

10 Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum 9 () Bevis. Följer direkt ur Lemma och (6). Speciellt får vi att om {e i } är en ON-bas i V så gäller Parsevals formel (5) u 2 = (u, e k ) 2. Anmärkning Varje ortonormerat system {e i } i V uppfyller Bessels olikhet (). Att {e i } är en ON-bas är ekvivalent med att man har likhet i () för alla u V, d.v.s. att Parsevals formel (5) gäller. Detta framgår av (0) som visar att u 2 = k (u, e i ) 2 u 2 om och endast om u 2 = u k (u, e i )e i [[ 2 0 då k. Sats 3 Ett ortonormerat system {e i } är en ON-bas för V om och endast om följande gäller för varje u V : till varje ɛ > 0 finns ett N och ett v L(e,..., e N ) så att u v < ɛ. Bevis. Om {e i } är en ON-bas för V tar vi N så stort att N+ (u, e i) 2 < ɛ. Med v = u = N (u, e i)e i följer då påståendet. Omvänt, om villkoret i satsen är uppfyllt gäller också att u u < ɛ, där u är den ortogonala projektionen av u på L(e,..., e N ). Då ɛ > 0 är godtyckligt följer att u N (u, e i)e i 0 då N 0, d.v.s. varje u V kan skrivas u = (u, e i)e i. 6 Pseudoskalärprodukt Följande exempel visar att det finns ett behov av att generalisera begreppet skalärprodukt. Exempel 7 De Riemannintegrerbara, komplexvärda funktionerna på ett kompakt intervall [α, β] bildar ett underrum, som betecknas R([α, β]; C), till det linjära rummet av alla komplexvärda funktionerna på [α, β]. Vår gamla skalärprodukt (6) (u, v) = β u(x)v(x)dx β α α på C([α, β]; C) är emellertid inte en skalärprodukt på R([α, β]; C). Villkoren () och (2) är visserligen uppfyllda, liksom att (u, u) 0. Det finns emellertid funktioner u R([α, β]; C) som inte är identiskt noll men uppfyller (u, u) = 0. Vi kan ta t.ex. funktionen u( α + β ) =, u(x) = 0 f.ö. 2

11 Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum 0 () Definition En pseudoskalärprodukt i ett linjärt rum V över K är en regel som till varje par av vektorer u och v i V ordnar ett element (u, v) i K på ett sådant sätt att () och (2) är uppfyllda, liksom (7) (u, u) 0. Skillnaden mellan skalärprodukt och pseudoskalärprodukt är därför endast att för en pseudoskalärprodukt kan det finnas u 0 i V med u = 0. Samtliga resultat i avsnitten ovan är fortfarande giltiga då man har en pseudoskalärprodukt istället för en skalärprodukt. Vi använde överhuvudtaget inte egenskapen att u = 0 endast då u = 0 utom vid ett tillfälle: när vi visade Cauchy-Schwartz olikhet. Beviset där visar att om en av u eller v inte är noll, så gäller (2). För att visa att (2) även är sann för en pseudoskalärprodukt, återstår därför att visa att om u = v = 0, så är (u, v) = 0. Men under denna förutsättning är 0 (au + v, au + v) = 2 Re a(u, v) för alla a K, speciellt för a = (u, v). Detta val av a ger att 0 2 (u, v) 2, vilket medför att (u, v) = 0. I fortsättningen kommer vi endast att betrakta pseudoskalärprodukten (6) och enkla modifikationer av denna. Om inte annat säges, underförstår vi alltid att i rummen R([α, β]; C) och R([α, β]; R) ges (u, v) av (6) (i det senare fallet behövs givetvis inte konjugattecknet över v). För senare bruk ska vi nu diskutera hur man kan approximera en godtycklig Riemannintegrerbar funktion med enklare funktioner. Antag att u R([α, β]; R). För givet ɛ > 0 finns då trappfunktioner Φ och Ψ sådana att Φ(x) u(x) Ψ(x) då α x β och β α (Ψ(x) Φ(x))dx < ɛ. Eftersom 0 u(x) Φ(x) Ψ(x) Φ(x) följer att (8) β α u(x) Φ(x) dx < ɛ. Om u(x) M på [α, β] kan man välja Φ så att även Φ(x) M på [α, β]. Genom att dra streckade linjer som i vidstående figur kan man i sin tur approximera trappfunktionen Φ med en funktion v vars graf är en polygonkurva sådan att v(x) M på [α, β] och β α Φ(x) v(x) dx < ɛ. Sätter man ihop detta med (8) får man α β β α u(x) v(x) dx < 2ɛ.

12 Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum () Eftersom både u(x) M och v(x) M på [α, β] följer att u v 2 = β u(x) v(x) 2 dx β 2M u(x) v(x) dx 4Mɛ β α α β α α β α. Sammanfattningsvis så kan man alltså för vajre u R([α, β]; R) och varje ɛ > 0 finna en funktion v vars graf är en polygon så att u v < ɛ. Som framgår av figuren kan man alltid välja v så att v(α) = v(β) = 0. Genom att betrakta real- och imaginärdelarna var för sig kan man inse att motsvarande resultat gäller då u R([α, β]; C). I detta fall kan v väljas så att graferna för real- och imaginärdelarna är polygoner.