ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål

Transkript

1 ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Komplexa vektorrum U och underrum V U. Linjära höljet: V = span(v 1, v 2,..., v N ). Antal dimensioner på ett vektorrum: ändligt eller oändligt. Linjärt oberoende vektorer v 1,..., v N. Inre produkt, (u v). Norm av en vektor, u = (u u). Det är bra om du Inofficiella mål Lebesgue-integrerbara funktioner L 2 (I, w). Ortogonal och ortonormerad mängd {ϕ k } N k=1. Gram-Schmidt s ON-process. Komplett ON-system {ϕ k } k=1. Projektion på underrum. Minimera residual. Ortogonala system av polynom: Legendre, Laguerre, Hermite och Chebyshev. (MA1) vet att ett komplext vektorrum U består av vektorer u som kan multipliceras med godtyckliga komplexa tal α C, så att αu 1 U samt även adderas med varandra, alltså u 1 + u 2 U om u 1, u 2 U. (MA2) vet att vi säger att vektorerna u 1,..., u n är linjärt oberoende i U om och endast om α 1 u α n u n = = α 1 =... = α n =. (1) (MA3) vet att det finns komplexa vektorrum som är ändligtdimensionella (dvs har en bas med ändligt många vektorer t.ex. R n ) samt de som är oändligtdimensionella (t.ex. L 2 (I, w).) (MA4) vet att villkoren för en inre produkt (u v) (där (u v) C för u, v U) på ett komplext vektorrum U är (a) Hermitesk symmetri: (u v) = (v u). (b) Linearitet i första argumentet: (αu + βv w) = α(u w) + β(v w), för alla α, β C, samt u, v, w, U. (c) Positivitet: (u u) är reellt och (u u) för alla u U. (d) Definit: (u u) = om och endast om u =. (MA5) vet att en inre produkt (u v) ger upphov till en norm, ett sätt att mäta längden av vektorer, genom u (u u), (2) vilken bland annat uppfyller att u, u = omm u =, αu = α u (där α C och u U), samt triangelolikheten u + v u + v. Med denna norm så får vi även ett sätt att mäta avståndet d(u, v) mellan två vektorer u, v U genom d(u, v) u v. (3) (MA6) vet att ett exempel på ett ändligtdimensionellt komplext vektorrum är C n, listor av n-stycken komplexa tal, under komponentvis addition. Detta rum kan utrustas med den inre produkten (u v) = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. (4) Institutionen för matematik, KTH, SE-1 44, Stockholm, Sweden address: karljo@kth.se. Date: 16 november

2 2 ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF (MA7) vet att inre produkten i rummet L 2 (I, w) (det oändligtdimensionella komplexa vektorrum som består av funktioner f : I C sådana att integralen I f(x) 2 w(x) dx < ) definieras av integralen ˆ (u v) u(x)v(x)w(x) dx, (5) I där I R är ett intervall och w : I R en positiv kontinuerlig reellvärd funktion. (MA8) vet att ett underrum/delrum/subspace V till ett komplext vektorrum U är en delmängd som är sluten under addition och skalär-multiplikation. Vet att enkla exempel på underrum är de som spänns upp av ändligt många vektorer V = span({ϕ k } N k=1 ) {α 1ϕ α N ϕ N : där α i C} U. (6) (MA9) vet att en ortogonal bas {ϕ k } N k=1 till ett underrum uppfyller (ϕ k ϕ j ) = om j k och vi kallar denna ortonormal om även (ϕ k ϕ k ) = 1 för alla k, vilket är det samma som att ϕ k = 1. (MA1) kan använda i beräkningar att den ortogonala projektionen proj V (u) på ett ändligtdimensionellt underrum V = span({ϕ k } N k=1 ) U som spänns upp av en ortogonal bas {ϕ k} N k=1 ges av formeln proj V (u) (u ϕ 1)ϕ 1 ϕ (u ϕ N)ϕ N ϕ N 2. (7) Intuitivt så ger proj V (u) den vektorn i underrummet V som ligger närmast u. (MA11) vet att givet en ortonormal (ON) bas {ϕ k } N k=1 så förenklars projektionsformeln till och vi har Pythagoras-sats proj V (u) = (u ϕ 1 )ϕ (u ϕ N )ϕ N (8) proj V (u) 2 = (u ϕ 1 ) (u ϕ N ) 2 (9) samt att { } kan motiveras geometriskt proj V (u) 2 (u ϕ 1 ) (u ϕ N ) 2 u 2 (1) genom att rita bild och låter vi N så får vi Bessels olikhet (u ϕ k ) 2 u 2. (11) k=1 (MA12) vet att den vektor i underrummet V som ligger närmast u är proj V (u), med andra ord har vi alltså att min u v = u proj V (u), (12) v V detta är bästa-approximation-i-norm egenskapen hos projektionen samt kan använda detta för att minimerar vissa typer av integraler. (MA13) kan använda Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess för att gå från en icke-ortogonal uppsättning vektorer {f k } N k=1 till en ortonormal sådan {e k} N k=1, med hjälp av hjälpvektorerna v i och

3 ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF följande steg, v 1 = f 1 (13) e 1 = v 1 / v 1 (14) v 2 = f 2 proj e1 (f 2 ), (15) e 2 = v 2 / v 2 (16) v 3 = f 3 proj e1 (f 3 ) proj e2 (f 3 ) (17) e 3 = v 3 / v 3 (18) etc. (19) (MA14) vet att ett ortogonalt system med oändligt många vektorer {ϕ k } k=1 sägs vara fullständigt/komplett om det för alla u U gäller att ( u (u ϕ1 )ϕ 1 ϕ (u ϕ ) N)ϕ N ϕ N 2 då N, (2) och man kan i detta fall skriva, där likhet betyder konvergens i norm, (u ϕ k ) u = ϕ k 2 ϕ k. (21) k=1 Detta kan tolkas som att varje vektor u i U kan representeras som en serie ifall vi tolkar konvergensen av serien som konvergens i norm. (MA15) vet att {e imt } m Z är ett komplett ortogonalt system i L 2 ( π, π) samt vet att detta är precis resultatet om att Fourierserier c m e imt (22) m Z konvergerar till ursprungsfunktionen f L 2 ( π, π), där c m = 1 π 2π π f(t)e imt dt, om vi menar konvergens i L 2 -norm. (MA16) kan använda Parsevals formler dvs om {ϕ k } k=1 är ett komplett ortogonalt system så gäller för alla u, v U att (u v) = k=1 (u ϕ k )(ϕ k v) ϕ k 2 = k=1 (u ϕ k )(v ϕ k ) ϕ k 2 (23) samt att detta ger att vi kan beräkna normen av u mha Fourierkoefficienterna (u ϕ k ) u 2 (u ϕ k ) 2 = (u u) = ϕ k 2. (24) Vad detta säger är att u och v s inre produkt kan beräknas med hjälp av dessa funktioners utvecklingar i den givna ortogonala basen. (MA17) känner igen och kan använda följande system av ortogonala polynom, vilka även utgör ortogonala kompletta system, i rummet L 2 (I, w), Legendre: I = (, 1) och w(x) = 1. P = 1, P 1 = x, P 2 = 1 2 (3x2 1), P 3 = 1 2 (5x3 3x),... P n = 1 2 n n! Dn ( (x 2 1) n), ((1 x 2 )P n) + λp n =, P n 2 = 2/(2n + 1). k=1

4 4 ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Laguerre: I = (, ) och w(x) = e x. L = 1, L 1 = x + 1, L 2 = 1 2 (x2 4x + 2), L 3 = 1 6 ( x3 + 9x 2 18x + 6),... L n = ex n! Dn (x n e x ), (xe x L n) + λe x L n =, L n = 1. Hermite: I = (, ) och w(x) = e x2. H = 1, H 1 = 2x, H 2 = 4x 2 2, H 3 = 8x 3 12x,... Chebyshev: I = (, 1) och w(x) = 1/ 1 x 2. T = 1, T 1 = 2x, T 2 = 2x 2 1, T 3 = 4x 3 3x,... T n = cos(n arccos(x)), ( 1 x 2 T n) + T n 2 = λ 1 x 2 T n =, { π, n =, π/2, n >,. H n = () n e x2 D n (e x2 ), (e x2 H n) + λe x2 H n =, H n 2 = n!2 n π. Intressant att notera är att polynomen som uppstår här är lösningar till andra ordningens differentialekvationer, som vi såg i del 1 av kursen. Polynomen här är dessutom exempel på så kallade singulära Sturm-Liouville problem. (MA18) kan rita och förklara både den konkreta bilden (med funktion och viktfunktion) vid minimering av vissa typer av integraler samt den abstrakta bilden (som hör ihop med projektion på underrum i L 2 (I, w)). Obs! Detta är ett försök att bryta ned kursmålen i mindre och mer konkreta bitar. Målen ovan är inte officiella för kursen, utan ett förslag till hur man kan tänka. (U1) Är funktionerna Exempel och uppgifter 1, x, x 2,..., x n, e x, cos x samt sin x, linjärt beroende eller oberoende i vektorrummet C(, 1)? Gör följande: (a) Vad betyder linjärt beroende alternativt oberoende? (b) Börja med funktionerna 1 och x. Beroende? Hur gjorde vi i första delkursen för att kolla detta? (c) Testa med x och x 2. Oberoende? (d) Testa nu med 1, x samt x 2. Oberoende? Hur gör man nu? (e) Testa med e x, cos x samt sin x. Beräkna determinant? (f) Försök koppla ihop resultaten ovan. Antag att α + α 1 x α n x n + β 1 e x + β 2 cos x + β 3 sin x =. (25)

5 ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Kan vi visa att alla koefficienter är så är vi klara. Börja med ett enklare specialfall för att få en idé om hur vi kan göra. Ta bara vektorerna 1,x, samt x 2 vilket och antag α + α 1 x + α 2 x 2 =. (26) En idé är att försöka få fram fler ekvationer ur ekvationen ovan. Tips! Derivera, ger oss och en gång till α 1 + 2α 2 x =. (27) 2α 2 =. (28) Detta är nu ett linjärt system för varje x-värde som kan skrivas 1 x x2 1 2x α α 1 =. (29) 2 och sätter vi x = så får vi α α α 1 =. (3) 2 α 2 med lösningen α = α 1 = α 2 =. Gör vi motsvarande för alla funktioner så får vi 1 x x 2 x n e x cos x sin x 1 2x nx n e x sin x cos x α 2 n(n 1)x n 2 e x cos x sin x n! e x α n = ±(cos x eller sin x) (cos x eller sin x) e x β 1.. (31) ±(cos x eller sin x) (cos x eller sin x) e x β 2 ±(cos x eller sin x) (cos x eller sin x) β 3 e x ±(cos x eller sin x) (cos x eller sin x) Kan vi t.ex. bevisa att determinanten av matrisen är så är vi klara. Matrisen som vi har är på formen ( ) A B (32) D där A är en n n-matris, D är en 3 3-matris, B är en n 3-matris och en 3 n-matris (fylld med nollor). Vi skulle kunna försöka beräkna determinanten av denna block-matris (matris som är uppbyggd av mindre matriser), det visar sig att det finns en formel för detta nämligen ( ) A B det = det(a) det(d). (33) D Vi ser att A är en övertriangulär matris, då är determinanten samma sak som produkten av elementen på diagonalen, dvs. Vad är determinanten av D om vi sätter x =? D kommer att ha någon av formerna , 1 1 1, 1 1, 1 1 1, (34) där alla har nollskild determinant. Vilket gör att vi är klara.

6 6 ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF (U2) Beräkna den inre produkten i rummet L 2 (, 1) mellan funktionerna f(x) = x + 2 och g(x) = ix + x 2. Beräkna även längden av vektorerna f respektive g i detta vektorrum. Bestäm den vektor i underrummet V = span(ix + x 2 ) som ligger närmast vektorn f(x). Inre produkten blir (x + 2 ix + x 2 ) = längderna får vi genom x = (x + 2 x + 2) = alltså x + 2 = 26/3. Vidare ix + x 2 2 = (ix + x 2 ix + x 2 ) = alltså (x + 2)ix + x 2 dx = =... = (x + 2) 2 dx = (x + 2)( ix + x 2 ) dx (35) ix 2 + 2x 2 dx = 2 (2 i) (36) 3 (ix + x 2 )ix + x 2 dx = x 2 + 4x + 4 dx = = (37) x 4 + x 2 dx = = (38) ix + x 2 = 4/ 15. (39) Den eftersökta vektorn är projektionen av vektorn f på underrumet V = span(ix + x 2 ). En ortonomerad bas till detta rum blir kan vi ta som 15(ix + x 2 )/4. Alltså kan vi använda projektionsformeln på detta underrum proj span(ix+x 2 )(x + 2) = (x (ix + x2 )) 4 (ix + x2 ) = (4) (x + 2 (ix + x2 ))(ix + x 2 ) = (41) (2 i)(ix + x2 ) = (42) 5 4 (2 i)(ix + x2 ) (43) (U3) Ortogonalisera följande uppsättningar av vektorer (a) (1, 2, 3), (3, 1, 4) och (2, 1, 1) i C 3. (b) 1, x, samt x 2 i C(, 1). (c) 1, x, samt x 2 i C(, 1). (d) e x, xe x, och x 2 e x i C(, ). Svar:a) (1, 2, 3), (5, 4, 1), (1, 1, ), b) 1, x, x 1/3. (U4) Använd Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess för att skapa en ortonormal bas i underrummet av C(, 1) (med inre produkten (u v) = 1 u(x)v(x) dx) som spänns upp av polynomen 1, x och x 2. Svar: v = 1, ϕ = 1, v 1 = x 1/2, ϕ 1 = 12(x 1/2), v 2 = x 2 x + 1/6 samt ϕ 2 = 6 5(x 2 x + 1/6)) (U5) Bestäm det polynom p(x) av grad högst 1 som minimerar integralen I = Några steg för att förstå uppgiften: ˆ 2 e x p(x) 2 dx. (44)

7 ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF (a) Rita ut funktionen e x i en graf där x går mellan och 2. (b) Rita ut linjen y = e i samma graf (i detta fall är p(x) = e 2 ). Förklara vad I = 2 ex p(x) 2 dx beräknar i figuren. Beräkna detta tal. (Svar: ( + 4e 2 + e 4 )/ ). (c) Samma steg som ovan men byt ut p(x) mot x+1. Vad blir I? (Svar: 49/6 4e 2 +e 4 / ) Sämre eller bättre? (d) Skissa det p(x) som är svaret på frågan. (e) Finn en ON-bas för underrummet span(1, x) := {a + bx : a, b C} C(, 2). Vad kan detta vara bra för? (f) Använd projektion på V = span(1, x) för att bestämma p(x). Förklara varför detta funkar. (Svar: p(x) = 3x + (e 2 7)/2). (U6) Bestäm a, b och c som minimerar integralen I = /2 π/2 sin x (a + bx + cx 2 ) 2 cos x dx. (45) Några steg för att förstå uppgiften: (a) Vad är det för kvalitativ skillnad på denna uppgift och (U5)? (b) Rita ut en funktion cos x på intervallet π/2 till π/2. (c) I en annan graf, rakt under den första, rita ut sin x. (d) I den undre grafen, skissa ut en parabel som du bäst tycker approximerar sin x. (e) Färglägg arean mellan approximationen och sin x. (f) Hur förhåller sig dessa två bilder till integralen I? Varför kallas cos x för en viktfunktion? (g) Analytiskt: finn en ON-bas i rummet L 2 ( π/2, π/2, cos x) och använd projektionssatsen. (Svar: p(x) = πx/(2π 2 16).) (U7) Låt f(x) vara en reellvärd och kontinuerlig på intervallet [, π] med f() = f(π) = samt att f L 2 (, π). Bevisa att f 2 L 2 (,π) f 2 L 2 (,π). För vilka funktioner gäller likhet i uttrycket? Tips: Utvidga f till en udda funktion och tänk på att Fouriersystemet är komplett... Låt oss utvidga f till en udda funktion på intervallet ( π, π) och sedan så utvecklar vi denna funktion till en 2π-periodisk funktion. Vi beräknar fourier-koefficienterna för denna funktion. Eftersom f är udda så kommer endast sin-termerna att överleva, vi får alltså b n = 2 ˆ period f(x) sin(n 2π period x) dx = 1 π { } jämn integrand = = 2 symmetriskt intervall π period π f(x) sin(nx) dx = (46) f(x) sin(nx) dx, (47) f(x) n 1 b n sin(nx). (48) Eftersom vi inte har f s utseende så kan vi inte gå längre än så. Detta är en projektionsformel med basvektorer sin(nx). Vi skriver om den på följande sätt: ty då gäller att basvektorerna ϕ n (x) = f(x) 1 πbn sin(nx), (49) π n 1 1 π sin(nx) har längd 1 i rummet L2 ( π, π).

8 8 ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Vi försöker se om vi kan beräkna Fourierkoefficienterna för f. Vi har att om f är en udda funktion så kommer dess derivata vara en jämn funktion, ty f f( x + h) f( x) f( (x h)) f( x) ( x) = lim = lim h h h h f(x h) + f(x) = lim h h f(x) f(x h) = lim h h (5) = f (x) (51) Vi får alltså endast att cos-termerna överlever i Fourierserien för f, alltså A n = 2 ˆ f (x) cos(n 2π period period period x) dx = 1 f (x) cos(nx) dx = (52) π π { } jämn integrand = = 2 f (x) cos(nx) dx (53) symmetriskt intervall π = [f(x) cos(nx)] π + n = n f(x) sin(nx) dx (54) f(x) sin(nx) dx = nb n (55) där vi använt antagandet om randvärdena för f. För n = så blir A =, alltså f (x) 1 πnbn π cos(nx). (56) n 1 Ett sätt att tänka här är följande: vi har betraktat rummet L 2 ( π, π) och beräknat projektionen av f och f på det underrum som spänns upp av vektorerna 1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x),.... Så koefficienterna för f är b n som endast hänger ihop med sin-termerna. Vi vet enligt parsevals formel således att följande gäller samt men eftersom så gäller att ekvivalent med ekvivalent med π π f(x) 2 dx = n 1 f (x) 2 dx = n 1 π πb n 2 = π n 1 b n 2 (57) πnb n 2 = π n 1 n 2 b n 2 (58) π b n 2 π n 2 b n 2 (59) n 1 n 1 f(x) 2 dx π f (x) 2 dx (6) 2 f(x) 2 dx 2 f (x) 2 dx (61) f(x) 2 dx f (x) 2 dx. (62) Vilket var det vi skulle visa. När gäller likhet? Vi ser direkt att det gäller för funktionen f(x) =. Gäller det för någon annan? Vi ser från ekvation (59) att om denna likhet ska gälla så tvingas b n = för alla n 2. Men för b 1 ges inget villkor. Alltså, de funktioner som uppfyller likheten är på formen där b 1 är ett godtyckligt tal. f(x) = b 1 sin(x), (63)

9 ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF (U8) Bestäm det polynom p av grad 3 som är den bästa approximationen av f(x) = x i rummet L 2 (I, w) där I = (, 1) och w(x) = 1/ 1 x 2. (a) Skissa grafen till f(x) på intervallet I. Samt rita ut den parabel p(x) som bäst approximerar f(x) (gå på känsla). Detta är den konkreta bilden. Ta hänsyn till viktfaktorn. (b) Den abstrakta bilden: Rita ett plan V. Rita en vektor som inte ligger i detta plan, detta är f(x). Rita ut fyra vektorer i planet som spänner upp planet och är vinkelräta (egentligen så spänns ett plan upp av två vektorer, men vi får leka med fantasin här). Benämn dessa T = 1, T 1 = 2x, T 2 = 2x 2 och T 3 = 4x 3 3x. Vad kallas dessa? Vilka egenskaper har dessa i rummet L 2 ((, 1), 1/ 1 x 2 )? (c) Rita ut projektionen av f(x) på planet i den abstrakta bilden. Detta är p = proj V (f). Beräkna denna. Svar: p(x) = 2 π T + 4 3π T 2 = 2 3π (4x2 + 1). (U9) Vilket är det polynom av grad 3 i L 2 (I, w) med I = [, 1] och w(x) = 1 som bäst approximerar 1/(1 + x 2 )? Förklara varför det inte finns någon x-term i svaret. Svar: p(x) = 15 4 (3 π)x (2π 5). (U1) Visa att Laguerre-polynomen L n (x) = ex n! Dn (x n e x ) (64) faktiskt är polynom av grad n för n. (a) Testa för några små värden på n =, 1, 2 att påståendet stämmer. (b) Förklara kedjan, där vi använder notationen att p deg=k (x) är något polynom av grad k, e x D 93 ( p deg=13 (x)e x) ( ) (1) = e x D 92 d dx p deg=13(x)e x p deg=13 (x)e x (65) (2) = e x D 92 ( p deg=12 (x)e x p deg=13 (x)e x) (66) (3) = e x D 92 ( (p deg=12 (x) p deg=13 (x)) e x) (67) (4) = e x D 92 ( p deg=13 (x)e x). (68) (c) Vad är idéen med kedjan ovan? Förklara att vi får e x D 6 ( x 6 e x) = p deg=6 (x). Generalisera. (U11) Visa att Hermite-polynomen är ortogonala i L 2 (R, w) där w(x) = e x2. Visa också att H n 2 = n!2 n π. (a) Visa först att och därför är H n ett polynom av grad n. (b) Härled formeln D n (e x2 ) = p deg=n (x)e x2 (69) H n+1 (x) = 2xH n (x) d dx H n(x). (7) (c) Dra slutsatsen H n (x) är ett polynom av grad n med med koefficienten 2 n framför högsta ordningens term, H n (x) = 2 n x n +... (71)

10 1 ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF (d) Använd följande synsätt (H 8 H 3 ) = ˆ D 8 (e x2 )H 3 (x) dx och försök argumentera för att detta är. Generalisera till att där m n + 1. (e) Med samma synsätt som innan (H 3 H 3 ) = (H m H n ) = (72) ˆ D 3 (e x2 )H 3 (x) dx. Använd partiell integration tre gånger och använd delresultat a) och c) ovan. Visa att detta är = 48 π. Generalisera och få fram en formel för (H n H n ). (U12) Låt f(x) = (1 x 2 ) 3/2. Finn det polynom P (x) av grad högst 3 som minimerar Svar: P (x) = 4 15π (11 12x2 ). f(x) P (x) 2 1 x 2 dx. (73)