Trigonometriska formler Integraler och skalärprodukter Fourierserier Andra ortogonala system. Fourierserier. Fourierserier

Transkript

1

2 Matte D : Additionsformler cos(α β) cos(α + β) = cos α cos β + sin α sin β (cos α cos β sin α sin β) = sin α sin β α = mx, β = nx sin mx sin nx = cos(m n)x cos(m + n)x Derivata f (x) = sin kx f (x) = k cos kx Primitiv funktion cos kx dx = 1 k sin kx + C Integral cos kx dx = [ 1 k sin kx]π = = 1 k (sin kπ sin k()) = 1 k (0 0) = 0 om k 0 heltal. Då fås för n m positiva heltal : sin mx sin nx dx = 1 π (cos(m n)x cos(m + n)x) dx = 0 0 = 0 Dessutom sin mx dx = 1 π (1 cos mx) dx = π + 0 = π

3 Vi har nu för m > 0 och n > 0 heltal sin mx sin nx dx = { 0 om n m π om n = m Med samma teknik fås för m 0 och n > 0 heltal cos mx sin nx dx = 0 och för m 0 och n 0 heltal cos mx cos nx dx = 0 om n m π om n = m > 0 π om n = m = 0

4 Låt w(x) > 0 för alla x. Då gäller 1. b a f (x)g(x)w(x) dx = b g(x)f (x)w(x) dx a. b f (x)(g(x) + h(x))w(x) dx = a = b a f (x)g(x)w(x) dx + b f (x)h(x)w(x) dx a 3. b a f (x)(cg(x))w(x) dx = c b f (x)g(x)w(x) dx, c R a 4. b a f (x) w(x) dx 0 5. b a f (x) w(x) dx = 0 f (x) = 0 för alla x Ja, den sista behöver ju inte gälla om f (x) 0 bara i vissa enskilda punkter t.ex., men för kontinuerliga f är 5 garanterat sann. 1-5 är kraven för en skalärprodukt. Om vi antar att vi har något vektorrum av envariabelfunktioner definierade för a < x < b så är (f g) = b f (x)g(x)w(x) dx a en skalärprodukt.

5 w(x) = 1 för alla x, a = och b = π ger skalärprodukten (f g) = f (x)g(x) dx Enligt vår tidigare beräkning är funktionerna 1(= cos 0x), sin x, cos x, sin x, cos x, sin 3x, cos 3x,... alla ortogonala i denna skalärprodukt, t.ex. (cos x sin 7x) = (sin 3x sin 5x) = (1 cos 8x) = cos x sin 7x dx = 0 sin 3x sin 5x dx = 0 1 cos 8x dx = 0. Normering ger ON-system 1 π, sin x π, cos x sin x π, cos x π, sin 3x π, cos 3x π, π,... Är det en ON-bas? Det är en svår fråga att svara på nu. Vektorrum av funktioner är (oftast) av oändlig dimension och då behövs oändligt många element i en bas. I kurser som Transformteori eller Fourieranalys studeras sådana frågor. Resultatet är att ON-systemet ovan fungerar som en ON-bas för vektorrum av snälla funktioner. Att t.ex. bara ta alla sin-funktionerna men inte cos-funktionerna skulle inte räcka.

6 En kontinuerlig funktion f (x) kan på intervallet < x < π skrivas f (x) = a 0 + b 1 sin x + a 1 cos x + b sin x + a cos x + b 3 sin 3x +... vilket kallas fourierserien för f (x). Det ger en metod att studera f (x) genom att studera dess enklare sin- och cos-beståndsdelar. Hur bestäms koefficienterna? För t.ex. b, bilda (f sin x) = (a 0 + b 1 sin x + a 1 cos x + b sin x + a cos x +... sin x) = a 0 (1 sin x) + b 1 (sin x sin x) + a 1 (cos x sin x) + b (sin x sin x) + a (cos x sin x)+ = 0 a 0 +0 b 1 +0 a 1 +π b +0 a +0 b 3 + = πb (andra likheten här är inte självklar men kan motiveras)

7 En kontinuerlig funktion f (x) kan på intervallet < x < π skrivas f (x) = a 0 + b 1 sin x + a 1 cos x + b sin x + a cos x + b 3 sin 3x +... vilket kallas fourierserien för f (x). Det ger en metod att studera f (x) genom att studera dess enklare sin- och cos-beståndsdelar. Hur bestäms koefficienterna? För t.ex. b, bilda (f sin x) = (a 0 + b 1 sin x + a 1 cos x + b sin x + a cos x +... sin x) = a 0 (1 sin x) + b 1 (sin x sin x) + a 1 (cos x sin x) + b (sin x sin x) + a (cos x sin x)+ = 0 a 0 +0 b 1 +0 a 1 +π b +0 a +0 b 3 + = πb (andra likheten här är inte självklar men kan motiveras) Ex. f (x) = x (= nedan är partiell integration, Envariabelanalys eller Gymn.) πb n = (x sin nx) = cos nx x sin nx dx = [ x n ] π + cos nx n dx = cos nπ n π cos( nπ) n + 0 = π n cos nπ = π n ( 1)n b n = n ( 1)n (x cos nx) = 0 för alla n. På liknande sätt beräknas a n = 1 π Detta betyder att för < x < π gäller x = (sin x 1 sin x+ 1 3 sin 3x 1 4 sin 4x+ 1 5 sin 5x 1 6 sin 6x+ 1 7 sin 7x... )

8 Bild av x, (sin x 1 sin x), (sin x 1 sin x sin 3x 1 4 sin 4x), (sin x 1 sin x+ 1 3 sin 3x 1 4 sin 4x+ 1 5 sin 5x 1 6 sin 6x+ 1 7 sin 7x 1 8 sin 8x) och (sin x 1 1 sin x + 3 sin 3x) för < x < π. 3 1 K3 K K x K1 K K3

9 with plots : plot x, $ sin x K sin 4$x K, $ sin x K 4 sin 6$x sin 7$x K C 6 7 sin $x sin $x, $ sin x K sin $x Bild av x, (sin x 1 sin x), (sin x sin 8$x 1 sin x sin 3x 1 K, x =K4$ Pi.. 4$ Pi, scaling = constrained, 4 sin 4x) och (sin x 1 sin x+ 1 3 sin 3x 1 4 sin 4x+ 1 5 sin 8 5x 1 6 sin 6x+ 1 7 sin 7x 1 color = brown, red, violet, blue 8 sin 8x) för 4π < x < 4π. 10 C sin 3$x 3 K sin 4$x 4 C sin 3$x 3 C sin 5$x 5 5 K10 K x K5 K10 Utanför intervallet < x < π upprepar sig alla sin nx med period π och även hela fourierserien. f (x) = x är bara lika med fourierserien på < x < π. Funktioner som är periodiska på hela reella axeln kan uttryckas med fourierserier på hela axeln.

10 är ett standardverktyg i Signaler och system och för problem i fysik (t.ex. svängningar), och de studeras i Transformteori och Fourieranalys. Exempel på andra ortogonala system (här bestående av polynom): Chebyshev-polynomen 1, x, x 1, 4x 3 3x, 8x 4 8x + 1,... av ökande grad är ortogonala i skalärprodukten (f g) = 1 f (x)g(x)/ 1 x 1 dx. Tillämpas vid approximationer, t.ex. vid design av signalfilter. Legendre-polynomen 1, x, 1 (3x 1), 1 (5x 3 3x), 1 (35x 4 30x + 3),... är 8 ortogonala i skalärprodukten (f g) = 1 f (x)g(x) dx. Tillämpas i t.ex. fysik. 1 Hermite-polynomen 1, x, 4x, 8x 3 1x,... är ortogonala i skalärprodukten (f g) = f (x)g(x)e x dx. Tillämpas i kvantmekanik. Laguerre-polynomen 1, x + 1, 1 (x 4x + ), 1 ( x 3 + 9x 18x + 6),... är 6 ortogonala i skalärprodukten (f g) = f (x)g(x)e x dx. Tillämpas 0 tillsammans med Legendre-polynomen i kvantmekanik för att beskriva väteatomen och förklara dess energinivåer och spektrallinjer. (Bilder: Wikipedia) Ly-α Ba-α Pa-α Br-α Pf-α Hu-α visible 100 nm 1000 nm nm Funktioner studeras genom studier av deras enklare beståndsdelar av ortogonala funktioner. Ofta kommer skalärprodukter automatiskt från tillämpningar, man behöver inte själv avgöra vilken skalärprodukt som ska användas.