SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

Transkript

1 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm den största arean till en sådan triangel. (4) c) I en cirkel med radie r placeras en reguljär 1-hörning på ett sådant sätt att hörnen hamnar på cirkeln. Om sidorna i 1-hörningen har längd, vad är radien till cirkeln? () Lösning: a) Betrakta en triangel där alla vinklar är 6 grader. Låt sidolängderna ha längd d. Delar vi upp triangeln i två rätvinkliga trianglar får vi trianglar där vi känner till sidolängderna. Hypotenusan är d, och det ena katetet är av längd 1 d. Det följer av Pytagoras Sats att det andra katetet har längd d. Av definition av sinus har vi nu att d sin(6) = /d =. b) Låt triangeln ABC ha sidor av längd a, b och c, och låt vinkeln motstående till sida a vara 6 grader. Det första vi gör är att kolla vilka trianglar vi har. Om sidan c = 7, och b = 5, då får vi en unik triangel T 1, och arean A(T 1 ) = sin(6). Om b = 5, och sidan a = 7 då får vi också en unik triangel T. Vi använder cosinussatsen för att bestämma sidan c. Vi har Detta ger 7 = 5 + c 5 c cos(6) = 5 + c 5c. (c 5 ) = = 11 4, och att c = ± Om vinkeln α = 6 då måste sidolängden c 5/, och därmed har vi att c = 16 = 8. Arean blir A(T ) = sin(6). För fallet med c = 7, och a = 5, och vinkeln α = 6, har vi följande. Vi drar en cirkel med radius 5, och center i hörnet C. Cirkelbågen kan ha två skärningar, en skärning, eller ingen skärning, med linjen genom hörnet A, och infallsvinkel 6 grader. Detta betyder att det antingen finns, 1 eller inga trianglar med c = 7, a = 5 och α = 6 grader. Cosinussatsen ger 5 = b b eller ekvivalent (b 7 ) = /4 <. 1

2 Ekvationen har inte reella rötter, och föjldaktligen finns inte den sökta triangeln. c) Den reguljära 1-hörning består av 1 trianglar T. Varje triangel har två sidolängder lika med radien till cirkeln, och öppningsvinkeln är 6/1= grader. Sidan motsvarande till vinkeln har längd. Cosinussatsen ger nu Vi skriver om ekvationen som Detta ger r = ± a) - b) Arean är 1 4 = r + r r r cos() = r r. 4 c) Radien är. = r ( )., varav en rot är positiv.. a) Bestäm skärningspunkterna mellan funktionsgraferna till sinusfunktionen f(x) = sin(x/ + π/6) och konstantfunktionen g(x) = 1/. (4) b) Bestäm uttryck för A och φ sådan att sin(ωt) cos(ωt) = A sin(ωt + φ).() c) Bestäm exakt sin(14π/16). () Lösning: a) Vi söker lösningar till sin( x + π) = 1. Ekvationen sin(u) = 1 har 6 lösningarna u = π 6 + πn för godtyckliga heltal n. Substitutionerna och u = 5π 6 + πn u = x + π 6 dvs (u π 6 ) = x ger lösningarna x = π + 4πn och x = π + 4πn. b) Additionsformeln för sinus ger att A sin(ωt + ϕ) = A sin(ωt) cos(ϕ) + A cos(ωt) sin(ϕ). Ekvationen A sin(ωt + ϕ) = sin(ωt) cos(ωt) ger A cos(ϕ) = och A sin(ϕ) =.

3 Vi får att A = = 1, och väljer A = 1. Ekvationerna ϕ = arccos(/ 1) och ϕ = arcsin( / 1) bestämmer en unik vinkel, nämligen arcsin( / 1), i intervallet [, π). c) Vi har att 14/16 = 7/8 = 1 1/8. Då sin(π x) = sin(x), har vi att sin(π/8) = sin(7π/8). Vi vill använda att Med x = 1/4 får vi att sin (x/) = 1 cos(x). sin(π/8) = ±. 4 Det är klart av definition av sinus att sin(π/8) är positiv. a) Svar x = π + 4πn och x = π + 4πn, heltal n. b) Svar A = 1, ϕ = arcsin( / 1). c) Svar.. a) Skriv följande komplexa tal på formen a + bi. () a) ( i)( 1 i) b) ( i) c)(4 7i) (4 7i) 4 (4 7i). b) Skriv på formen a + bi talet () (cos(π/) + i sin(π/)) 5. c) Låt z 1 och z vara nollställen till polynomet z + az + b, där a och b är reella tal. Visa att antigen har vi att z 1 = z 1 och z = z, eller så har vi att z 1 = z och z = z 1. (4) Lösning: a1) Vi har att 1 i = 1 + i, sådan att ( i)( 1 i) = ( i)( 1 + i) = i( + 4) = 4 + 7i. a) Inversen till ( i) är 1 ( + i). Därmed blir 1 ( i) = ( 1 1 ( + i)) = 1 1 ( 1 + i( + )) = 1 (8 + 6i). 1 a) Vid summering av potenserna får vi att (4 7i) (4 7i) 4 (4 7i) = (4 7i).

4 b) På polärform är talet (cos(π/) + i sin(π/) lika med (1, π/). Vi har att Därmed har vi att det sökta talet är (1, π/) 5 = (1 5, 5π/) = (1, π/4). cos(π/4) + i sin(π/4) = + i. c) Vi har givet att polynomet z + az + b = (z z 1 )(z z ). Nollställemängden förblir den samma efter konjugering z + az + b = z + az + b. Detta medför att konjugering antingen bevarar z 1 och z, vilket betyder att båda är reella. Eller så vill konjugeringen skicka z 1 till z, och z till z 1. 1 a) Svar 4 + 7i, (8 + 6i) och 4 7i. 1 b) Svar + i. c) - 4. a) Bestäm derivatan till () sin (cos(x )). b) Du har att sin () = 1 och att cos () =. Använd derivatans definition för att bestämma sin (x) i en godtycklig punkt. () c) Omkretsen till en cirkel med radie r ges som bekant av πr. Låt A(r) vara arean till cirkeln med radie r. Använd derivatans definition samt lämpliga figurer för att bestämma A(r). Vink: Bestäm först A (r). () Lösning: a) Direkt tillämpning av kedjeregeln ger att derivatan till sin (cos(x )) är b) Additionsformeln för sinus ger att vilket ger att sin(x + h) sin(x) lim h h sin(cos(x )) cos(cos(x ))( 1) sin(x )x. sin(x + h) = sin(x) cos(h) + sin(h) cos(x), ( = lim sin(x) 1 cos(h) + cos(x) sin(h) ). h h h Uttrycket ovan är sin(x) cos () + cos(x) sin () = cos(x). 4

5 c) Uttrycket A(r + h) A(r), med positiva h, kan approximeras enligt följande πr h A(r + h) A(r) π(r + h) h. Negativa h ger liknande uttryck med omvända olikheter. Detta ger att A (r) = lim h A(r + h) A(r) h = πr, och följdaktligen att A(r) = πr + C, för någon konstant C. Vi har att A(r) =, vilket ger att C =. a) Svar 6x sin(cos(x ) cos(cos(x )) sin(x ). b) - c) - 5. a) Bestäm arean mellan funktionsgrafen till funktionen f(x) = cos(x) och x-axeln, över intervallet [ π, π]. () b) Bestäm en primitiv funktion till f(x) = sin(x) π + cos(x). () c) Bestäm t sådan att funktionen F (t) = π/ (t cos(x) + e sin(x) ) dx har ett extremvärde. (4) Lösning: a) Funktionen f(x) = cos(x) är periodisk, och det är klart att den sökta arean är fyra gånger arean π/ π/ cos(x) dx = [sin(x)] π/ π/ =. b) Vi gör substitutionen u = π + cos(x) villket ger du = sin(x) dx dvs 1 du = sin(x) dx. Med denna substitution blir integralen sin(x) π + cos(x) dx = u du = (u) = (π + cos(x)) + C, för någon konstant C. 5

6 c) Funktionen F (t) är π/ Vi har att cos (x) = 1+cos(x/), vilket ger att t π/ t cos (x) + t cos(x)e sin(x) + e sin(x) dx. cos (x) dx = t [ 1 x + sin(x/)]π/ = t ( 1 4 π + ) = 1 4 t (π + ). Substitutionen u = sin(x) ger π/ Detta betyder att cos(x)e sin(x) dx = e u du = [e u ] = [e sin(x) ] π/ = e 1 1. F (t) = 1 4 t (π + ) + t(e 1 1) + π/ e sin(x) dx där π/ e sin(x) är någon konstant, oberoende av talet t. Derivering ger och ekvationen F (t) = har lösning F (t) = 1 t(π + ) + (e 1 1), t = 4(1 e1 ) π +. a) Arean är 8. b) En primitiv funktion är (π + cos(x)). c) Svar t = 4(1 e1 ) π+. 6